Lineáris algebra és vektorgeometria

A mátrixok számok olyan téglalap alakú elrendezései, amelyeket sorokba és oszlopokba rendeznek.

A mátrixok olyan eszközök, amelyek lehetővé teszik számok hatékony tárolását és kezelését.

A mátrixok sorainak és oszlopainak száma meghatározza a mátrix méretét. n sor és k oszlop esetén a mátrix n x k méretű.

A mátrixok elemei számszerű értékek, amelyek a mátrix sorainak és oszlopainak metszéspontján helyezkednek el.

Az n x k méretű A mátrixot az aij elemekkel jelöljük, ahol i = 1, 2, ..., n és j = 1, 2, ..., k. Az aij elem az i-edik sor j-edik oszlopában helyezkedik el.

A mátrix determinánsa egy szám, amely a mátrix elemei alapján számítható. A determináns a mátrix tulajdonságainak egyik fontos jellemzője.

A determináns értékének kiszámítása a mátrix méretének megfelelő képlet alkalmazásával történik. A képlet a mátrix elemeit és a megfelelő előjeleket veszi figyelembe.

Egy négyzetes mátrix, ahol a főátló alatti elemek mind 0-k.

Egy négyzetes mátrix, ahol a főátló feletti elemek mind 0-k.

Egy négyzetes mátrix, ahol a főátlóra szimmetrikusak az elemek, azaz aij=aji.

Egy négyzetes mátrix, ahol a főátlóra nézve antiszimmetrikusak az elemek: aij=-aji.

Egy mátrix, aminek valamennyi eleme 0.

Egy olyan mátrix, ahol a főátlón kívül minden elem nulla. A mátrix mind felső, mind alsó háromszögmatix is.

Egy kn méretű mátrixot kapunk, aminek elemei az eredeti nk méretű mátrix elemeinek transzponáltjai

A transzponált mátrixot A™-mal jelöljük.

Egy vektor, melynek minden eleme 1.

Egy mátrix, amelyben a sorok és oszlopok felcserélve lettek.

Egy olyan mátrix, amelynek a sorai és oszlopai felcserélve lettek.

A mátrix sorai és oszlopai felcserélve vannak. Az eredeti mátrix A, a transzponáltja pedig A^T.

Egy mátrix, melynek minden eleme 0, kivéve a főátlóban lévő elemek, melyek 1-esek.

Egy olyan mátrix, amelyet az egységmátrixből kaphatunk a sorok vagy oszlopok felcserélésével.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával.

Egy mátrixot balról vagy jobbról szorozhatjuk egy szorzóval. A bal oldali szorzás esetén a sorok, a jobb oldali szorzás esetén pedig az oszlopok szorzódnak a szorzóval.

Egy n × n-es mátrix inverze az a mátrix, amelyet az eredeti mátrixszal szorozva az egységmátrixot kapjuk.

Ha AB = E, ahol A és B mátrixok, akkor AB = E.

Egy n × n-es mátrix inverzét az A−1 képlettel számíthatjuk ki, ahol adj A az A mátrix adjungáltja, és det A az A mátrix determinánsa.

Az A mátrix adjungáltját úgy kapjuk, hogy minden eleme helyére a hozzá tartozó előjeles aldetermináns értékét írjuk, majd transzponáljuk.

A mátrix inverze a következő képlettel számítható ki: A−1 = adj A / det A.

Ha egy négyzetes mátrix determinánsa 0, akkor szinguláris.

Ha egy négyzetes mátrix determinánsa nem 0, akkor reguláris.

A sorok és oszlopok számának összefüggése a mátrix méretével.

Az egyenletrendszer megoldása során kapott egyenlet, melyben az összes ismeretlen együtthatója 0, míg a jobboldalon álló konstans tag értéke nem 0.

A mátrixot, amelyet az egyenletrendszer ismeretlenekének együtthatóiból képezünk.

Az egyenletrendszer mátrixát kiegészítjük az egyenletek jobb oldalán található konstansokkal.

Az egyenletrendszer mátrixának átalakítása elemi sorműveletek segítségével, amelyek nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldásait.

Az egyenletrendszer mátrixán végrehajtható műveletek, amelyek nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldásait.

Két sor felcserélése a mátrixban.

Egy sornak egy számmal való szorzása.

Egy sorhoz egy másik sor többszörösének hozzáadása.

Az elemi sorműveletek segítségével az egyenletrendszer mátrixát felső háromszögmátrix alakba hozzuk, amelyből a megoldások könnyen leolvashatók.