Limits Theorems: Generating Function

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Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Elles ont la même espérance

Elles ont la même loi (correct)

Elles ont la même variance

Elles ont la même fonction de répartition

Quelle est la fonction génératrice de X + Y si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes ?

ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t) (correct)

ϕX+Y (t) = ϕX (t) + ϕY (t)

$rac{1}{ϕX(t)}$ + $rac{1}{ϕY(t)}$

$rac{1}{2}$ ($rac{1}{ϕX(t)}$ + $rac{1}{ϕY(t)}$)

Quelle est la loi suivie par X + Y si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres λ et λ ′ respectivement ?

Loi binomiale

Loi exponentielle

Loi de Poisson de paramètre (λ + λ ′ ) (correct)

Loi normale

Quelle est l'inégalité démontrée par l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire intégrable à valeurs positives ?

$P [X ≥ a] ≤ EX$ Signup and view all the answers

Que représente la convergence en probabilité selon la loi faible des grands nombres ?

$rac{(X1 + · · · + Xn)}{n}$ converge vers l'espérance µ Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

La fonction génératrice des moments de X est la fonction ϕX(t) = E(e^tX), définie pour tout réel t tel que e^tX est intégrable. Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

La valeur en zéro de la dérivée n-ième de la fonction génératrice d'une variable aléatoire X est égale au moment d'ordre n de X : ϕ^(n)_X(0) = E(X^n). Signup and view all the answers

Quelle est la signification de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

Elle représente une transformation linéaire des moments d'ordre n de X. Signup and view all the answers

Dans le cas où X est une variable aléatoire discrète, quelle est la forme de la fonction génératrice des moments ?

ϕX(t) = ∑ X^n e^tn P[X = n] Signup and view all the answers

Quelle est l'utilité pratique de la fonction génératrice des moments dans l'étude des variables aléatoires ?

Elle simplifie le calcul des moments et des cumulants de la variable aléatoire. Signup and view all the answers

Quelle propriété caractérise la fonction génératrice des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Elles ont la même loi Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

La transformée de Laplace de la densité de probabilité de X Signup and view all the answers

Quelle est l'utilité pratique de la fonction génératrice des moments dans l'étude des variables aléatoires ?

Elle permet de calculer directement les moments d'ordre n d'une variable aléatoire Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

La dérivée n-ième donne le moment d'ordre n centré en zéro de X Signup and view all the answers

Quelle inégalité est démontrée par l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire intégrable à valeurs positives ?

$P[X \geq a] \leq \frac{E[X]}{a}$ Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

La fonction génératrice des moments de X est la fonction, notée ϕX , définie par ϕX (t) = E(e tX ) Signup and view all the answers

Quelle relation existe-t-il entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

ϕ (n) X (0) = E(X n ) Signup and view all the answers

Comment est définie la fonction génératrice des moments dans le cas d'une variable aléatoire continue de densité f ?

ϕX (t) = Z +∞ −∞ e tx f (x) dx Signup and view all the answers

Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Elles ont la même loi de probabilité Signup and view all the answers

Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Elles ont la même loi de probabilité Signup and view all the answers

Limits Theorems: Generating Function

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Questions and Answers

Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Quelle est la fonction génératrice de X + Y si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes ?

Quelle est la loi suivie par X + Y si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres λ et λ ′ respectivement ?

Quelle est l'inégalité démontrée par l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire intégrable à valeurs positives ?

Que représente la convergence en probabilité selon la loi faible des grands nombres ?

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

Quelle est la relation entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

Quelle est la signification de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

Dans le cas où X est une variable aléatoire discrète, quelle est la forme de la fonction génératrice des moments ?

Quelle est l'utilité pratique de la fonction génératrice des moments dans l'étude des variables aléatoires ?

Quelle propriété caractérise la fonction génératrice des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

Quelle est l'utilité pratique de la fonction génératrice des moments dans l'étude des variables aléatoires ?

Quelle est la relation entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

Quelle inégalité est démontrée par l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire intégrable à valeurs positives ?

Quelle est la définition de la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X ?

Quelle relation existe-t-il entre la dérivée n-ième de la fonction génératrice et les moments d'ordre n d'une variable aléatoire X ?

Comment est définie la fonction génératrice des moments dans le cas d'une variable aléatoire continue de densité f ?

Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

Quelle propriété caractérise la loi des variables aléatoires X et Y si elles ont la même fonction génératrice ?

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