Lernprinzipien Quiz

Rahmenlehrplan

• Ein österreichischer Lehrplan für die Volksschule (VS).
• Er umfasst Lernziele, Inhalte, didaktische und gestalterische Hinweise.
• Spielraum für Planungsfreiheit sowie methodisch-didaktische Gestaltung wird durch diesen Lehrplan ermöglicht.

Lehrstoffgliederung im Lehrplan

• Aufbau der natürlichen Zahlen
• Rechenoperationen
• Größen
• Geometrie

Grundstufe (GST) im Lehrplan

• Grundstufe 1: 1. und 2. Schulstufe
• Grundstufe 2: 3. und 4. Schulstufe

Bildungsstandards

• Konkret formulierte Lernergebnisse, abgeleitet aus dem Lehrplan
• Basieren auf grundlegenden Kompetenzen, die Schüler am Ende der 4. Schulstufe beherrschen sollen
• Kompetenzen sind langfristig verfügbare, flexibel einsetzbare Fähigkeiten/Fertigkeiten in variablen Situationen
• Kompetenzmodelle sind prozessorientierte Vorstellungen über den Kompetenzerwerb
• Kompetenzbereiche sind fertigkeitsbezogene Teilbereiche

Funktionen von Bildungsstandards

• Evaluations- und Überprüfungsfunktion (BIST-Überprüfung, standardisierte Outputmessung, Bildungsmonitoring)
• Orientierungsfunktion (Ziel- und Ergebnisorientierung im Unterricht)
• Förderfunktion (Diagnostik als Grundlage für Fördermaßnahmen)
• Entwicklungsfunktion (Grundlage für kompetenzorientierte Schulentwicklung)

Gefahren und Grenzen von BIST

• Bildungsstandards können zu Regel- bzw. Durchschnittsnormen werden.
• Allgemeine mathematische Kompetenzen sind schwer mit Punkten zu bewerten.
• Unterrichtsqualität wird nicht verbessert durch Lernstandserhebungen allein.
• "Teaching to the test".
• Zeitliche und finanzielle Ressourcen werden durch Lernstandserhebungen gebunden.

Allgemeine Kompetenzen

• Modellieren
• Operieren
• Kommunizieren
• Problemlösen

Inhaltliche Kompetenzen

• Arbeiten mit Zahlen
• Arbeiten mit Operationen
• Arbeiten mit Größen
• Arbeiten mit Ebene und Raum

Kompetenzraster

• Rechtliche Grundlagen

Bereiche des Kompetenzrasters

• Mindestanforderung
• Wesentliche Anforderung
• (weit) darüberhinausgehende Anforderungen

Ziele und Zwecke des Kompetenzrasters

• Pädagogische Diagnostik
• Formative Leistungsfeststellung
• Summative Leistungsbeurteilung
• Schriftliche Erläuterung der Ziffernnote
• Material als Rechenhilfe, Fokus auf Mengen und Handlung mit Mengen

Ziele des Mathematikunterrichts

• Förderung und Entwicklung von: Fach- und Sachkompetenzen (BIST), Lern- bzw. Methodenkompetenzen
• Sozialkompetenzen (Regeln einhalten, Konflikte lösen)
• Personale Kompetenzen (eigenverantwortliches Arbeiten, Stärken/Schwächen kennen)
• Medienkompetenz (Medien zur Informationsbeschaffung nutzen)

Vermittelte Kompetenzen

• Grundlegende mathematische Kenntnisse und Kompetenzen (Rechnen, räumliche Orientierung, Umgang mit Größen)
• Überfachliche Kompetenzen (Problemlösefähigkeit, Ausdauer, Konzentrationsfähigkeit)

Methode vs. Didaktik

• Didaktik legt fest, WAS gelehrt wird, WARUM es wichtig ist und MIT WELCHEM ZIEL
• Methode bestimmt, WIE der Unterricht umgesetzt wird
• Methode ist die praktische Umsetzung der didaktischen Planung

Didaktische Prinzipien

• Theoretische Grundsätze abgeleitet aus Lern-Lehr-Theorien, Unterrichtserfahrungen oder methodischen Traditionen (oft nicht evidenzbasiert)
• Helfen bei der Stoffwahl und -gliederung, Unterrichtsplanung und Durchführung, Materialauswahl.

Prinzipien im Mathematikunterricht

• Operatives Lernen: Verstehen einer Sache, auch losgelöst von konkreter Handlung (Addition – Dazugeben, Vermehren)
• Vom Konkreten zum Abstrakten: Multimodale Aufnahme von Informationen, Kodierung durch Lautsprache und Symbolik (Zahlverständnis)
• Aktives Lernen: Selbstständige Auseinandersetzung mit Inhalten, Problemen, Informationen (Aufmerksamkeitsfokussierung)
• Integrationsprinzip: Neues Wissen muss anschlussfähig sein (Geometrie - Flächen)
• Prinzip der Passung: Keine Über- und Unterforderung (Berücksichtigung des Wissens von Schulanfängern).
• Prinzip der Redundanz: Mehrfachnennung von Infos, neue Lerninhalte in bekannten Settings einbauen.
• Prinzip der Isolierung der Schwierigkeit: Reduktion komplexer Handlungsfelder (Zehnerübergänge)
• Spiralprinzip: Wiederholtes Aufgreifen zentraler Ideen (Gleichheitszeichen)
• Exemplarisches Lernen: Ableitung von allgemeinen Einsichten aus einzelnen Beispielen (Erarbeitung von Rechengesetzen)
• Sokratisches Prinzip: Lernen, Fragen zu stellen (durch Lehrperson oder Schüler)

Üben und Erfolgssicherung

• Absicherung von Wissen, Automatisierung, Motivation.
• Art des Übens ist relevant (Geballtes Üben vs. Rhythmisiertes Üben).

Embodied Cognition

• Sammelbegriff für Prozesse und Strukturen, die sich auf Aufnahme, Verarbeitung und Speicherung von Informationen beziehen

Motorische Gesten

• Inhaltstragende Bewegungen des Körpers besonders mit den Händen

Kriterien für effizientes Lernen (Hattie)

• Die Lehrperson betreffend: Lehrer-Schüler-Beziehung, Nicht-Etikettieren von Lernenden, Klarheit der Lehrperson
• Den Unterricht betreffend: Fragenstellen, Feedback, lautes Denken, Problemlösen, direkte Instruktion, Rhythmisiertes vs. geballtes Lernen

Positive und negative Punkte im Mathematikunterricht

• Positiv: Produktiver Umgang mit Fehlern, Berücksichtigung von Lernvoraussetzungen, Rhythmisiertes Üben, Beziehungen
• Negativ: Mechanisches Einüben, geballtes Üben, fixe Orientierung an Lehrplan und Schulbuch, Bestrafung von Fehlern

Verkörpertes Lernen (Embodied Learning)

• Knüpft an neurowissenschaftliche Forschung an
• Lernen durch Nachahmung, konkrete Handlungen als Ausgangspunkt für abstraktes Denken und Verstehen
• Analogiebildung als Werkzeug vom Konkreten zum Abstrakten.
• Gezielter und bewusster Einsatz von motorischen Gesten
• Explizieren gelernter Inhalte
• Implizites Lernen komplexer Informationen

Unspezifisches Vorwissen

• Intelligenz
• Gedächtnisspanne (seriell-visuell, auditiv-sprachlich)
• Elternhaus und Förderung im Elternhaus (Bildungsnähe der Eltern)
• Phonologische Bewusstheit
• Konzeptuelle Fähigkeiten (Kategorien bilden, Konzepte erkennen)
• Räumliche Orientierung resp. Raumvorstellung
• Feinmotorik/Handschema (Teile der Hand wahrnehmen)
• Zusammenhang zwischen Fingeragnosie und Rechenschwäche

Spezifisches Vorwissen

• Prenumärik
• Relativer Zahlbegriff

Kategorien im spezifischen Vorwissen

• Mengenbezogen (keine Zahlwörter)
• Zahlbezogen (Zahlen und Zahlwörter werden verwendet)

Mengenbezogenes Vorwissen

• Sortieren und Klassifizieren
• Seriation (Muster bilden, Reihen bilden)
• Eins-zu-eins Zuordnung
• Mengenvergleiche (kleiner/größer; mehr/weniger)
• Invarianzeinsicht

Zahlbezogenes Vorwissen

• Zählfertigkeit
• Simultanerfassung
• Quasi-Simultanerfassung
• Mengen-Zahlen Kompetenz
• Mentaler Zahlenstrahl
• Arabisches Zahlwissen
• Erste Rechenfertigkeit im kindlichen Alltag
• Abruf arithmetischer Fakten aus dem Langzeitgedächtnis

Hilfsmittel für pädagogische Diagnostik

• Diagnostische Aufgaben
• Nicht-standardisierte Beobachtungs-/Befragungshilfen
• Standardisierte Tests

Bedeutung pädagogischer Diagnostik

• Um das Vorwissen der Schulanfänger zu diagnostizieren

Standardisierter Test

• Verfahren zur Erhebung relevanten Vorwissens von Kindern mit Vergleich der Leistung mit der Norm

Wert und Wichtigkeit von Fehlern

• Fehler sind eine wertvolle Informationsquelle und weisen auf systematische Fehlkonzepte hin

Wichtige Begriffe

• Simultanerfassung: Mengen von 0-4 ohne Zählen erfassen
• Quasi-Simultanerfassung: Mustererkennung bei Mengen > 4 auf einen Blick erkennen
• Groupitizing: wiederholtes Simultanerfassen und Zusammensetzen
• Mustererkennung: 6er beim Würfeln
• Arithmetisches Faktenwissen
• Invarianzeinsicht: Menge bleibt gleich, auch wenn sich Darstellung/Anordnung ändert
• Phonologische Bewusstheit, Handschema, Fingergnosie, Fingeragnosie

Arabisches Zahlenwissen

• Ziffern erkennen und von Symbolen/Buchstaben unterscheiden

Mengen-Zahlen Kompetenz

• Mengen und Zahlen verstehen/vergleichen und einfache Rechnungen durchführen

Didaktische Arbeitsmittel

• Konkret manipulierbares Material, welches mathematisches Denken fördert
• Materialien, mit denen mathematische Sachverhalte auch OHNE Zahl- und Rechenzeichen repräsentiert werden
• Aufbau von mentalen Vorstellungen
• Unabhängig von der konkreten Handlung

Klassifizierung von didaktischen Mitteln

• Unstrukturiert (z.B. Kastanien, Wendeplättchen)
• Strukturiert unflexibel (z.B. Numicon, bunte Perlenstäbe)
• Strukturiert flexibel (z.B. Finger, Rechenrahmen)
• Mittel zur Zahldarstellung, zum Rechnen, zum Argumentieren und Begründen, können Lösungshilfe oder Lernhilfe sein

Kriterien für die Wahl didaktischer Arbeitsmittel

• Mathematisch inhaltliche Kriterien: Beschaffenheit, Materialhandlung, Anordnung, Nutzung von Vorwissen
• Didaktisch organisatorische Kriterien: Zeit, Anleitung

Zentrale Aspekte bei der Arbeit mit didaktischen Arbeitsmitteln

• Selbstständiges Handeln, gezielte Anleitung und die Übertragung des erlernten Wissens auf abstrakte Rechenstrategien
• Helfen, Muster und Strukturen zu erkennen
• Übergang vom konkreten zum mentalen Rechnen

Arten, didaktische Arbeitsmittel zu verwenden

• Zählhilfe vs. Rechenhilfe

Bedeutung strukturierter Arbeitsmittel beim Aufbau eines kardinalen Mengenbegriffs

• Ermöglichen es, Mengen als Ganzheit zu erfassen und Zahlzerlegungen zu verstehen

Bedeutung der Handlung mit Material

• Hilft beim Erfassen mathematischer Strukturen und beim Übergang zum abstrakten Denken

Vorteile der Nutzung von Fingern als Arbeitsmittel

• Immer verfügbar, körpernah, kostenlos, neurobiologisch verankert
• Ermöglicht die 5er- und 10er-Struktur

Beachten beim Einsatz der Finger

• Nicht nur als Zählhilfe, sondern zur Mengenstrukturierung und Zahlzerlegung nutzen

ANS (Approximate Number System)

• Angeborenes, nonverbales System um Mengen grob zu vergleichen

Subitizing

• Erfassen kleiner Mengen (bis 4) sofort und ohne bewusstes Zählen

Relativer Zahlbegriff

• Zahl steht nicht isoliert, sondern in Beziehung zu anderen Zahlen
• 6 ist um 1 größer als 5 und um 2 kleiner als 8

Relationaler Zahlbegriff

• Das Teile-Ganzes-Verständnis einer Zahl
• 8 kann in 5 und 3, 4 und 4 zerlegt werden

Protoquantitatives Schema

• Frühe Phase des Mengenverständnisses
• Mengen vergleichen (mehr/weniger), ohne sie exakt zu zählen

Quantitatives Schema

• Fortgeschrittenes Zahlenverständnis, exaktes Zählen und starre Mengen

Asynchrones Zählen

• Die Zahlwortreihe wird zwar beherrscht, aber die 1:1-Zuordnung ist fehlerhaft

Resultatives Zählen

• Die letzte genannte Zahl gibt die Anzahl der Objekte an

Verkürztes Zählen

• Rechenstrategie, bei der Zahlenbereiche zusammengefasst werden

Zahlaspekte

• Kardinalzahlaspekt (Mächtigkeit, Anzahl)
• Ordinalzahl Aspekt (Zählzahl, Ordnungszahl)
• Maßzahlaspekte
• Operatoraspekt
• Rechenzahlaspekt (Algebraischer Aspekt)
• Codierungsaspekt
• Geometrischen Aspekt
• Narrativer Aspekt
• Relationaler Aspekt

Das ZGV-Modell

• Beschreibt die Entwicklung der Zahl-Größen-Verknüpfung nach Krajewski. Es zeigt den Übergang vom zählenden Rechnen über die Nutzung von Grundstrategien bis hin zum Faktenabruf

Besonderheiten bei der Zahlwortbildung im Deutschen

• Ersten Wörter der Zahlwortreihe (1-12) und die Zehnerzahlen müssen gelernt werden
• "elf“ und „zwölf“ sind unregelmäßige Zahlwörter
• Einer werden im Deutschen vor Zehnern gesprochen
• Ab 21 werden Einer und Zehner mit UND verbunden

Zählprinzipien

• How-to-Count: 1-zu-1 Zuordnung, Prinzip der stabilen Reihenfolge, Kardinalzahlprinzip
• What-to-Count: Abstraktionsprinzip, Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

Stufen der Zählfertigkeit

• Ganzheitsauffassung der ZWR (string level)
• Unflexible ZWR
• Teilweise Flexible ZWR
• Flexible ZWR
• Vollständig reversible ZWR
• Zusammenhänge von Addition und Subtraktion werden verstanden.

Motorische Gesten bei der Zählentwicklung

• Die Aufmerksamkeit wird gelenkt, diskrete Wörter verdeutlichen/aufzeigen, der Arbeitsspeicher wird entlasten.

Relativen Zahlbegriff erarbeiten

• Darstellung mit den Fingern mit verschiedenen Übungen.

Triple-Code-Modell

• Beschreibt wie Zahlen im Gehirn in 3 Codes verarbeitet werden
• Analoge Mengenvorstellung, Auditiv-verbaler Code, Visuell-arabischer Code

Unterschied zwischen relativem und relationalem Zahlbegriff

• Relativer Zahlbegriff: Zahlen werden nicht isoliert betrachtet
• Relationaler Zahlbegriff: Bezieht sich auf das Teile-Ganzes-Verständnis einer Zahl

Grundlegende Strategien beim Lösen von Aufgaben

• Zählen
• Operatives Ableiten
• Faktenabruf (arithmetisches Faktenwissen)
• Verdoppeln
• Halbieren

Arten des zählenden Rechnens

• Count all, Count on, Count min, Count up, Count back

Zählen als Rechenstrategie

• Zählendes Rechnen über die Mitte des ersten Schuljahres hinaus, = Hinweis auf eine Rechenschwäche
• Belastet den Arbeitsspeicher und arithmetisches Faktenwissen wird nicht aufgebaut, was wiederum bei schwierigeren Rechnungen zum Problem wird.

Didaktogene Komponenten

• Werden durch die Gestaltung des Unterricht bestimmt und können Einfluss auf die Entwicklung von mathematischen Lernschwierigkeiten haben.

Stofflichen Hürden

• Kardinales Mengenverständnis (relativer Zahlenbegriff)
• Teile-Ganzes Verständnis (relationaler Zahlbegriff)
• Verständnis des Stellenwertsystems
• Zehnerüber- bzw. Unterschreitung

Komposition

• Zusammensetzen/Zerlegen von Zahlen, um eine Rechenaufgabe leichter lösen zu können

Grundstrategien

• Umkehraufgaben
• Tauschaufgaben
• Analogieaufgaben

Grundstrategien erarbeiten

• Verwendung von didaktischen Arbeitsmitteln

Kovarianz

• Verbindung von Rechenoperationen um Aufgaben zu vereinfachen
• Verdoppeln
• Halbieren
• Nachbaraufgaben

Kompensation

• Gleich- und Gegenseitiges verändern

Arithmetische Fakten

• Werden im Langzeitgedächtnis abgespeichert und sind spontan und ohne große Anstrengung abrufbar.

Teilschrittverfahren

• Eine Rechenstrategie, bei der eine Rechenaufgabe in kleinere, einfachere Schritte zerlegt wird

Schwierigkeitsgrad von Rechnungen im ZR20

• Die Größe des zweiten Summanden/Subtrahenden und die Zehnerüber-/unterschreitung.

Umgang mit den Schwierigkeitsgrad ZR20

• Mit Tauschaufgaben, Summanden oder die Kraft der 5
• Keine schwierige Aufgaben anfangs. Die Kinder sollen Material zur Veranschaulichung nutzen und Automatisierung arithmetischer Fakten entwickeln

Stellenwertprinzip

• Aufbau des relativen Zahlenwertbegriffs von Zahlen >10
• Funktion und den Aufbau von Bündelung verstehen

Fortgesetzte Bündelung

• Den Zahlenwert, also die Anzahl der Bündel

Informationen jeder Ziffer einer Zahl

• Stellenwert: die Mächtigkeit des Bündels dieser Stelle
• Zahlwert: die Anzahl der Bündel

Dreiergliederung

• Die Dreiergliederung H, Z, E wiederholt sich immer wieder
• Basis für die Verarbeitung größerer Zahlen

Zehner-Einer Inversion

• Wir sprechen Zahlen anders als sie geschrieben werden: Wir sprechen zuerst die Einer, dann die Zehner.
• Reihenfolge, wie Zahlen gelernt haben, sollte nicht angepasst werden, weil könnte das später zu Problemen im Umgang mit Computern, Taschenrechnern und Handys führen.

Relative Zahlbegriff im Zahlenraum >10 erarbeiten

• Analog zum Zahlenraum 10 erarbeitet
• Beispiel: Arbeiten mit Fingern! Arbeiten mit Fingern und Stäbebündeln!

Mengendiktat

• Spurch die Zahlwort laut und achte auf die Phonologische Bewusstheit
• Lege die Zahl mit Material von links nach rechts und INVERSION wahrnehmen

Phonologische Bewusstheit

• Hilft den Kindern Zahlen besser zu verarbeiten
• Hilfreich, um sich der Struktur einer Zahl bewusst zu werden.
• Darstellung mit den Fingern mit verschiedenen Übungen.

Schreibung von zweistelligen Zahlen

• Verwenden von Zehnerbündeln

Rechenzeichen in der Volksschule

• „und" (Plus) +, „weg“ (Minus) -, „mal" *, „(geteilt) durch“ :, „ist (gleich)“/ „ist nicht (gleich)“ =/=, „größer" >, „kleiner" < , „ist (gleich)“/ „ist nicht (gleich)“ =/=
• Darf auch „und" und „weg“ statt „plus“ und „minus“ verwendet werden?

Umgang mit Rechenzeichen

• Wichtig ist, dass die Rechenzeichen nicht nur abgemalt werden.
• Immer wenn sie schreiben -> dazu begleitend Sprechen

Bedeutung Gleichheitszeichen

• Ergibt- Bestehst aus z.B. (Maria hat 3€. Oma schenkt ihr 2€ dazu. Wie viele € hat Maria jetzt?)
• Zerlegt in- Gleich viel wie z.B. (In der Obstschüssel liegen Äpfel und Birnen. Insgesamt sind es 8 Stück Obst. 3 davon sind Birnen. Wie viele Äpfel sind in der Obstschüssel?)
• Sollte früh behandelt werde.
• Im der Reihenfolge, 1+1= 2, dann 2+1 ist ungleich 1

Einführung von Gleichungen/Ungleichungen

• Kinder mit Linealen und Bausteinen arbeiten lassen

Grundrechnungsarten

• Addition (Summand + Summand=Summe)
• Subtraktion (Minuend – Subtrahend=Differenz)
• Multiplikation (Multiplikator (Faktor) x Multiplikand (Faktor))

Grundvorstellungen der Addition

• Verändern (Dazugeben)
• Verbinden
• Vergleichen
• Ausgleichen/Ergänzen
• Radiergummis

Grundvorstellungen der Subtraktion

• Verändern (Abziehen)
• Vergleichen
• Ausgleichen/Ergänzen

Grundvorstellungen der Multiplikation

• Zeitlich-sukzessive Handlung
• Räumlich-simultane Anordnung
• Kombinatorische Aufgabenstellung

Aufgaben mit proportionalem Zusammenhang

• Radiergummis

Multiplikativer Vergleich

• Alexandra ist viermal so alt wie Miriam. Miriam ist 2.

Grundvorstellungen der Division

• Verteilen (Teilen)
• Einteilen in (Messen)

Zahlenrechnen vs. Ziffernrechnen

• Zahlenrechnen (Kopfrechnen)
• Ziffernrechnen

Erklärungen der angegebenen Rechengesetze

• Kommutativgesetz (Addition/Multiplikation) Tauschaufgabe
• Konstanz der Summe/des Produkts (gegensinniges Verändern) & Konstanz der Differenz/des Quotienten (gleichsinniges Verändern)
• Assoziativgesetz (Addition/Multiplikation) sinnvolles Zusammenfassen von Summanden/Faktoren)
• Distributivgesetz Verbindung additiver und multiplikativer Operationen

Das Monotonie Gesetz

• Wird ein Summand vergrößert (verkleinert), vergrößert sich auch die Summe entsprechend, bei den anderen Rechenarten analog

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