Le modèle du gaz parfait

Le Modèle du Gaz Parfait

• Un gaz parfait est un modèle théorique d'un gaz idéal avec des molécules ponctuelles, sans interactions (sauf collisions), collisions élastiques, et mouvement aléatoire.
• Ce modèle est précis pour les gaz réels à basse pression et haute température, où les interactions moléculaires sont négligeables.

L'Équation d'état du gaz parfait

• L'équation d'état relie la pression (P), le volume (V) et la température (T) d'un gaz parfait : PV = nRT.
• P est la pression en pascals (Pa), V est le volume en mètres cubes (m³), n est le nombre de moles (mol).
• R est la constante des gaz parfaits (8,32 J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹), et T est la température absolue en kelvins (K).
• Conversion : T(K) = θ(°C) + 273,15.

Volume Molaire

• Le volume molaire (Vm) est le volume d'une mole de gaz à une température et une pression données : Vm = V/n = RT/P.
• Dans les conditions normales (0°C et 1 bar), Vm = 22,4 L⋅mol⁻¹ pour tous les gaz parfaits.

Transformations Thermodynamiques des Gaz Parfaits

• Une transformation thermodynamique est un changement d'état.
• Différents types existent selon les paramètres constants.

Transformations Isothermes (T Constante)

• Température constante : T₁ = T₂ = T.
• Relation d'état : P₁V₁ = P₂V₂.
• Application : compression ou détente lente avec équilibre thermique.

Transformations Isobares (P Constante)

• Pression constante : P₁ = P₂ = P.
• Relation d'état : V₁/T₁ = V₂/T₂ ou V₁/V₂ = T₁/T₂.
• Application : chauffage ou refroidissement dans un cylindre à pression constante.

Transformations Isochores (V Constant)

• Volume constant : V₁ = V₂ = V.
• Relation d'état : P₁/T₁ = P₂/T₂ ou P₁/P₂ = T₁/T₂.
• Application : chauffage ou refroidissement dans un récipient fermé.

Transformations Adiabatiques (Pas d'Échange de Chaleur)

• Pas d'échange de chaleur (Q = 0).
• Relations d'état : P₁V₁ᵞ = P₂V₂ᵞ, T₁V₁ᵞ⁻¹ = T₂V₂ᵞ⁻¹, T₁P₁⁽¹⁻ᵞ⁾/ᵞ = T₂P₂⁽¹⁻ᵞ⁾/ᵞ.
• γ est le coefficient adiabatique : 1,67 (monoatomique), 1,4 (diatomique), ≈ 1,3 (polyatomique).
• Application : compression ou détente rapide sans échange thermique.

Chaleur Échangée lors d'une Variation de Température sans Changement d'état

• Formule : Q = m × c × ΔT.
• m est la masse (kg), c est la capacité calorifique massique (J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹), et ΔT est la variation de température (K ou °C).
• c varie selon la substance.
• Exemples : Eau liquide: c ≈ 4185 J/(kg⋅K), Vapeur d'eau: c ≈ 2010 J/(kg⋅K), Glace: c ≈ 2090 J/(kg⋅K).

Chaleur Échangée lors d'un Changement d'état

• Formule : Q = m × L.
• m est la masse (kg), L est la chaleur latente spécifique (J/kg).
• L varie selon la transition : fusion (Lf), vaporisation (Lv), sublimation (Ls).
• Exemples : Fusion de la glace: Lf ≈ 334 kJ/kg, Vaporisation de l'eau: Lv ≈ 2257 kJ/kg.

Travail des Forces de Pression

• Formule : W = ∫P dV.
• Transformation isochore : W = 0.
• Transformation isobare : W = P(V₂ - V₁).
• Transformation isotherme (gaz parfait) : W = nRT ln(V₂/V₁) = nRT ln(P₁/P₂).

Premier Principe de la Thermodynamique

• Conservation de l'énergie : ΔU = Q + W.
• ΔU est la variation d'énergie interne, Q est la chaleur reçue, et W est le travail reçu.
• Pour un gaz parfait : ΔU = n × Cv × ΔT (Cv est la capacité thermique molaire à volume constant).
• Transformation isotherme : ΔU = 0, donc Q = -W.
• Transformation isochore : W = 0, donc Q = ΔU = n × Cv × ΔT.
• Transformation adiabatique : Q = 0, donc W = ΔU = n × Cv × ΔT.

Cycles Thermodynamiques

• Une succession de transformations ramenant le système à son état initial.
• Utilisés dans les machines thermiques (moteurs, réfrigérateurs, pompes à chaleur).

Cycle de Carnot

• Composé de quatre transformations réversibles : détente isotherme, détente adiabatique, compression isotherme, compression adiabatique.
• Rendement maximal : η = 1 - T₂/T₁ (T₁ = source chaude, T₂ = source froide en K).

Cycles Frigorifiques

• Utilisent un fluide frigorigène pour extraire la chaleur d'un milieu froid et la rejeter dans un milieu chaud, avec apport de travail.
• Coefficient de performance (COP) : COP = |Effet frigorifique| / |Travail fourni|.
• Cycle idéal : COP = T₁/(T₂ - T₁) (T₁ = source froide, T₂ = source chaude).

Méthodes de Résolution des Problèmes

Calcul du Volume d'un Gaz

• Convertir T en kelvins : T(K) = θ(°C) + 273,15.
• Convertir P en pascals : P(Pa) = P(bar) × 10⁵.
• Calculer n : n = m/M (M = masse molaire).
• Appliquer la loi des gaz parfaits : V = nRT/P.

Calcul pour les Transformations

• Utiliser la relation appropriée :
• Isotherme : P₁V₁ = P₂V₂.
• Isobare : V₁/T₁ = V₂/T₂.
• Isochore : P₁/T₁ = P₂/T₂.
• Adiabatique : P₁V₁ᵞ = P₂V₂ᵞ ou T₁P₁⁽¹⁻ᵞ⁾/ᵞ = T₂P₂⁽¹⁻ᵞ⁾/ᵞ.

Calcul d'Échanges Thermiques

• Sans changement d'état : Q = m × c × ΔT.
• Avec changement d'état : Q = m × L.
• Pour les processus complexes, additionner la chaleur de chaque étape.