La Ecuación de Onda Unidimensional

La Ecuación de Onda Unidimensional

• Se examina una cuerda de longitud $L$ con una densidad uniforme $\rho$ (masa por unidad de longitud).
• $u(x,t)$ representa el desplazamiento de la cuerda desde su posición de equilibrio en la posición $x$ y el tiempo $t$.
• Suponiendo un desplazamiento pequeño y una tensión constante $T$, la ecuación de movimiento es $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, donde $c = \sqrt{T/\rho}$ es la velocidad de la onda.

Solución por Separación de Variables

• Se buscan soluciones de la forma $u(x,t) = X(x)T(t)$, el resultado de la sustitución en la ecuación de onda es $X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t)$.
• Dividiendo por $X(x)T(t)$, resulta $\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$, donde $\lambda$ es constante.
• Esto produce dos ecuaciones diferenciales ordinarias: $X''(x) + \lambda X(x) = 0$ y $T''(t) + c^2\lambda T(t) = 0$.

Condiciones de Frontera

• Las condiciones de frontera dependen de cómo se fija la cuerda en los extremos.
• Si la cuerda está fija en ambos extremos, $u(0, t) = 0$ y $u(L, t) = 0$, lo que implica $X(0) = 0$ y $X(L) = 0$.

Resolviendo para $X(x)$

• La solución general a $X''(x) + \lambda X(x) = 0$ depende del signo de $\lambda$.
  • Si $\lambda = 0$, $X(x) = A x + B$, pero las condiciones de frontera implican $A = B = 0$, dando $X(x) = 0$ (solución trivial).
  • Si $\lambda < 0$, $X(x) = A e^{\sqrt{-\lambda}x} + B e^{-\sqrt{-\lambda}x$, pero las condiciones de frontera implican $A = B = 0$, dando $X(x) = 0$ (solución trivial).
  • Si $\lambda > 0$, $X(x) = A \cos(\sqrt{\lambda}x) + B \sin(\sqrt{\lambda}x)$.
• La condición de frontera $X(0) = 0$ implica $A = 0$.
• La condición de frontera $X(L) = 0$ implica $\sqrt{\lambda} = n\pi/L$ para $n = 1, 2, 3, \dots$.
• Por lo tanto, las soluciones son $X_n(x) = B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots$ y $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

Resolviendo para $T(t)$

• La ecuación para $T(t)$ es $T''(t) + c^2 \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 T(t) = 0$, con soluciones generales $T_n(t) = C_n \cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + D_n \sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)$.

Solución General

• La solución general es una superposición de las soluciones del producto: $\qquad u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \left[a_n \cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)\right]$, donde $a_n = B_nC_n$ y $b_n = B_nD_n$.

Condiciones Iniciales

• Para determinar los coeficientes $a_n$ y $b_n$, se necesitan condiciones iniciales: $u(x, 0) = f(x)$ (desplazamiento inicial), $\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x)$ (velocidad inicial).
• Usando estas condiciones: $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cn\pi}{L}b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$.
• Los coeficientes están dados por series de Fourier seno: $a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$, $b_n = \frac{2}{cn\pi} \int_0^L g(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$.
• La solución a la ecuación de onda unidimensional con extremos fijos es una superposición de modos normales.
• Cada modo normal tiene una frecuencia espacial y temporal específica, que está determinado por: La longitud de la cuerda, la velocidad de la onda y las condiciones iniciales.