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Studienskript - Weiterführende Mathematik

• Lernskript zur Grundlage des Kurses.
• Ergänzend stehen Online-Bibliothek und Videos zur Verfügung für individuellen Lern-Mix.
• Stoffaneignung im eigenen Tempo unter Berücksichtigung lerntyp-spezifischer Anforderungen.
• Didaktische Aufteilung in Lektionen mit Lernzyklen.
• Jeder Lernzyklus beinhaltet neuen inhaltlichen Schwerpunkt.
• Schnelles und effektives Hinzufügen neuen Lernstoffs zum vorhandenen Wissen.

Interaktive Quizzes in der IU Learn App

• Am Ende jedes Lernzyklus, um eigenständig zu überprüfen, ob neue Inhalte verinnerlicht sind.
• Wissensüberprüfung auf der Lernplattform, um Wissen unter Beweis zu stellen.
• Automatisierte Fragen zur direkten Rückmeldung über Lernfortschritte.

Anforderungen an die Wissenskontrolle

• Mindestens 80 % der Fragen müssen richtig beantwortet sein, um die Wissenskontrolle zu bestehen.
• Möglichkeit zur unbegrenzten Wiederholung der Tests.

Abschließende Evaluierung

• Nach bestandener Wissenskontrolle für sämtliche Lektionen ist die abschließende Evaluierung des Kurses durchzuführen.
• Gendergerechte und inklusive Sprache in den Skripten.
• Das generische Maskulinum schließt Frauen, Männer, Inter- und Trans-Personen sowie jene, die sich keinem Geschlecht zuordnen, ein.

Lektion 1: Analysis

• Funktionen in einer einzelnen Variablen differenzieren und integrieren.
• Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale für Funktionen mit mehreren Variablen berechnen.
• Funktion durch Taylor-Reihe approximieren.
• Grundlegende Konzepte der Variationsrechnung anwenden.

Einführung in die Analysis

• Funktionen drücken Beziehungen zwischen Variablen formal aus.
• Rate der Veränderung der abhängigen Variable gegenüber der unabhängigen Variable ist von besonderem Interesse. Sowohl mathematisch als auch für Anwendungen.
• Differentialrechnung als Methode zur Bestimmung, wie sich eine abhängige Variable gegenüber einer unabhängigen Variable ändert.
• Partielle Ableitung zur Untersuchung der Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf jede unabhängige Variable.
• Variationsrechnung zielt darauf ab, die Eingangsfunktion zu finden, welche die abhängige Variable maximiert oder minimiert.

Ableitungen von Funktionen mit einer einzelnen Variablen

• Geschwindigkeit v(t) gibt an, wie schnell sich ein Auto zu jedem Zeitpunkt t fährt.
• Durchschnittsgeschwindigkeit über ein gegebenes Zeitintervall beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der ein Auto eine Strecke in diesem Zeitintervall zurücklegt.
• Af = f(x + ∆x) – f(x) ist die Änderung des Wertes der Funktion f.
• f'(x)= df(x) / dx = lim (∆x → 0) f(x + ∆x) – f(x) / ∆x
• Für Grenzwert muss der Quotient f(x + Dx) – f(x) / Axe sich dem gleichen Wert f'(x) nähern, egal ob wir uns von der linken oder der rechten Seite an x annähern.

Ableitungen höherer Ordnung

• Ableitungen sind selbst Funktionen; ihre Änderungsraten können betrachtet werden.
• Ableitungen von Ableitungen einer Funktion f sind Ableitungen höherer Ordnung von f.
• Die zweite Ableitung verwendet: f"(x)= df'(x) / dx = lim (∆x → 0) f'(x + Δx) – f'(x) / Δx
• Allgemeine n-te Ableitung: f(n)(x) = df(n-1)(x) / dx = (∆x → 0) lim f(n − 1)(x + ∆x) − f(n - 1)(x) / ∆x
• df(x) / dx = a * dxn / dx = nxn − 1

Stationäre Punkte

• Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, also Punkte, an denen die Steigung gleich null ist
• Diese müssen nicht zwangsläufig bei einem lokalen Minimum gleich Null sein. Man bezeichne x Є |R. Für ein a gilt:
• Die Funktion f hat ein Maximum an einem stationären Punkt = a, wenn f' (a) = 0 und f''(a) < 0,
• Die Funktion f hat ein Minimum an einem stationären Punkt = a, wenn f' (a) = 0 und f''(a) > 0
• Der Sattelpunkt wird bezeichnet, wenn f' (a) = 0 gilt und f'' das Vorzeichen wechselt.
• Ein Maximum oder Minimum muss nicht das globale Maximum bzw. Minimum der Funktion sein.

Ableitungsregeln

• Besteht die zu differenzierende Funktion aus einem konstanten und einem variablen Teil, so gilt f ‘ (x) = a * g ‘ (x)

Ableitungen von Produkten

• Produktregel: df(x) / dx = [u(x)v(x)] = u(x)dv(x) / dx + v(x)du(x) / dx
• Kurz: f' = uv' + vu'.

Die Kettenregel

• df /dx = df / du * du / dx

Ableitungen von Quotienten

1 Die Produktregel in Kombination mit der Kettenregel um Quotienten abzuleiten: f(x) = u(x) * v(x)

• ergibt: f' = vu'− uv' / v2

Integration als Fläche unter dem Graphen

V = Veränderung der Position (Entfernung) über ein Zeitintervall Die erste Ableitung der Position ist die momentane Geschwindigkeit As = v*At Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist, wird eine allgemeinere Methode gebraucht

Integrale als Fläche unter dem Graphen

I=\int^B_Af(x)dx Dieser Begriff wird als bestimmtes Integral bezeichnet. Wenn der Grenzwert nicht existiert, ist das Integral nicht definiert.

Regeln für die Integration

\int^BAx^ndx= B^(n+1) / n+1 + C

wobei

• n nicht gleich 1 sein darf
• C ist eine Integrationskonstante

Integration als Umkehrung des Ableitens

\int^BAf(u)du= A(B) - A(A) Dieses besagt, dass die Ableitung des Integrals den ursprünglichen Integranden zurückgibt er besagt, dass das bestimmte Integral mit der Ableitung des unbestimmten Integrals in Beziehung gesetzt.

Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen

• Die etwas intuitive Definition des Integrals als Fläche ist, wenn es unendliche Integrationsgrenzen gibt, wird die Definition jedoch auf diese Fälle ausgeweitest \int^B_Af(x)dx = lim_B->inf \int^E_Af(x) dx

Berechnung von Integralen

Es gibt nur wenige einfache Regeln, die angewendet werden können

• Integrale sind in Integral Tabellen zu finden
• Integration durch logarithmische Integration, Zerlegung, Substitution

Taylor-Approximation

f'(x) ≈ f'(a) + (x -a)f"(a) f'(x) ≈ f"(a) + (x - a)f"'(a)

Man kann den Ausdruck aus 1.24 nehmen und einsetzen Ermöglicht es der Taylor-Approximation n-ten Grades ergibt, die wie folgt geschrieben werden kann: f(x) ≈ f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2f''(a) / 2! + ... + (x-a)^n f^(n)(a) / n!

Partielle Ableitungen:

fx = lim Ax->0 f(x + ∆x,y) – f(x,y) / Ax fy = lim Ay->0 f(x,y + ∆y) – f(x,y) / Ay ∂f/∂x wird oft so geschrieben, aber hier sind einige gebräuchliche Kurznotationen fur den Fall von Ableitungen aufgefuöht:

• ∂f / ∂x = fx = ∂xf

höherer Ordnung lassen sich wie folgt darstellen (∂/∂x)(∂f /(∂x) = (∂²f) / (∂x²) = fxx (∂/∂y)(∂f /(∂y) = (∂²f) / (∂y²) = fyy (∂/∂x ∂f /(∂y )= (∂²f)/(∂y ∂x) = fyx. bzw (∂/∂y ∂f /(∂x) = (∂²f)/(∂x∂y) = fxy gilt: (∂²f) / (∂x∂y) = (∂²f) / (∂y ∂x)

Totale Ableitung

df= ∂f /∂xdx + ∂f/∂ydy

Kettenregel

dz = (∂ f/ ∂X) dX1 + (∂ f/∂x2 ) dx²...

Mehrfachintegrale

I = ∫ ∫Rf(x, y)dA,wobei dA ein infinitesimal kleiner Bereich in der x,y-Ebene ist, in dem die Funktion f(x, y) ausgewertet wird.

Variationsrechnung

• dient dazu, diejenige Ausgangsverteilung zu finden, die im betrachteten System am wahrscheinlichsten anzutreffen ist I=\int^b_a F(y,y',x) dx mit I Integral, F Funktion, y Funktionswert, B obere Grenze und A untere Grenze

• Es gilt die Euler-Lacrange Gleichung : (∂F / ∂y) + (d/dx) * (∂F / ∂y‘)=0

Lektion 2 Integraltransformationen

Lernziele

• Integraltransformationen verstehen
• Die Wirkung von zwei Funktionen mithilfe eines Faltungsintegrals zu kombinieren
• Faltungen zur Beschreibung realer Anwendungen wie endliche Sensorauflösungen oder Bildbearbeitung zu verwenden
• Periodische Signale als Fourier-Reihe auszudrücken
• Zeitbereichs- und Frequenzbereichsfunktionen mithilfe von Fourier-Transformationen auszudrücken

Integraltransformationen und Anwendungen

• Transformationen, die für praktische Anwendungen von großer Bedeutung sind, nämlich Faltungen und Fourier-Transformationen.
• Faltungen beschreiben, wie zwei Funktionen miteinander interagieren, z. B. wie die endliche Auflösung eines Sensors oder Messgeräts den Wert der von diesem Gerät gemessenen Größe beeinflusst.
• Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen werden zur Analyse und Beschreibung periodischer Signale verwendet.

Faltungen

• Verzerrung der Messgenauigkeit eines Messinstruments durch intrinsische Auflösung
• Das Messinstrument selbst eine Verzerrung einführt. Anstatt f und 9 als (echte) Signal- und Auflösungsfunktion zu interpretieren, stellt eine der Funktionen, z. B. f, das Bild und die andere, g, einen sogenannten Faltungskern (kurz: Kern) dar, mit dem das Bild bearbeitet wird

Fourier Transformation

Man kann das Signal als eine Summe von sinusförmigen Funktionen ausdrucken. Im Allgemeinen gilt, dass: f(x)= a0 + ∞∑n=1 [an cos(2 * pi * nx/L) + bn sin(2 * pi * nx/L)] Für ein periodisches Signal gelten die sogenannten Dirichlet-Bedingungen:

• Die Funktion muss periodisch sein
• Endlich viele Extrema
• Das Integral muss existieren

Lektion 3 Vektoralgebra

Lernziele

• Skalare und Vektoren zu unterscheiden
• Grundlegende Operationen mit Vektoren durchzuführen
• Vektoren geometrisch und physikalisch zu interpretieren
• Beispiele für Anwendungen zu nennen, die grundlegende Vektoroperationen verwenden

Skalare und Vektoren

Skalare: Messen eindimensionale Größen wie Temperatur oder Gewicht. z. B. Erdbeschleunigung -9,8 m/s² Vektoren: mathematische Objekte, die sowohl eine Länge als auch eine Richtung haben.

Grundlegende Definitionen für Vektoren

Um Vektoren einheitlich abzubilden, dividiere durch ihre Länge

Zusammenfassung der wichtigsten Punkte beim Rechnen mit Vektoren:

• Die Summe von Vektoren ist auch ein Vektor • das Skalarprodukt liefert einen Skalar • Das Kreuzprodukt liefert wieder einen Vektor • Eine Basis muss linear unabhängig seine; so darf ein Vektor nicht durch eine Kombination der anderen beschrieben werden. • die Menge muss alle Möglichkeiten abdecken

Lektion 4 Vektoranalysis

Lernziele

• Vektorfunktionen zu differenzieren und integrieren
• Entlang einer beliebigen Geraden zu differenzieren
• Über eine beliebige Oberfläche zu integrieren
• Skalar- und Vektorfelder zu erkennen und zu visualisieren
• Vektoroperatoren auf Skalar- und Vektorfeldern zu verwenden und interpretieren

Skalar- und Vektorfelder

Skalarfelder sind Funktionen, die jedem Raumpunkt einen Messwert zuweisen (z.B. Temperaturverteilung im Raum). Vektorfelder ordnen jedem Punkt einen Vektor zu (z.B. Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids).

V-Operator

• Ermöglicht nun Ableitungen von Vektorfeldern sowie in vielen Anwendungen in der Physik und den Informationswissenschaften verwendet wird
• Dies wird in kartesischen Koordinaten wird der Operator so definiert, dass er partielle Ableitungen koordinatenmäßig bildet , nämlich

Lektion 5 Matrizen und Vektorräume

Lernziele

• Matrizen und spezielle Matrizen zu erkennen
• Berechnungen mit Matrizen durchzuführen
• Die Determinante, die Spur und die Transponierte von Matrizen sowie die komplex Konjugierte und hermitesch Transponierte von Matrizen zu berechnen
• Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen zu bestimmen
• Matrizen zu diagonalisieren und einen Basiswechsel durchzuführen
• Tensoren zu erkennen und mit ihnen elementare Berechnungen durchzuführen

Matrix-Algebra

Matrixaddition und –subtraktion werden komponentenweise durchgeführt, sind kommutativ sowie assoziativ

Element der Matrix A in Zeile i und Spalte j

aij , dann lassen sich folgende Matrizen unterscheiden

• quadratische Matrizen
• Diagona Matrixen, in denen nur die diagonalen Elemente > Null sind
• Einheetsmtrixen, in denen nur die diagonalen Elemente 1 sind

Determinanten, Spuren, Transponierte

Diejenige Matrix, welche ihre Zeilen und Spalten vertauscht, wird als Transponierte bezeichnet und mit AT bezeichnet Für Matrizen mit komplexen Einträgen (a + bi)finden wir die komplex konjugierte Matrix A*, indem wir das komplex Konjugierte jedes Eintrags von A nehmen Die Norm eines Vektors ist definiert als |||=√(Σiai²) Dies ist eine Verallgemeinerung der Länge eines Vektors

Kreuzprodukt von Matrizen

ax b = (a2b3-b2a3) i - (21b3-b183) j + (a1b2-b1a2) k

Tensorprodukt von Matrizen

• Das dyadische Produkt führt immer zu einem Tensor höheren Rangs: riklm = aik bilm . Das dyadische Produkt ist im Allgemeinen nicht kommutativ, daher aik blm≠ blm α aik · Im Falle von zwei Tensoren

Lineare Unabhängigkeit

• Die Linearkeit kann nicht durch eine Kombination derer ausgedrückt werden
• Aufspannende Menge , es muss mölich sein mit einer bestimmten Menge jeden Wert zu erreichen

Lektion 6 Informationstheorie

Lernziele

Den Unterschied zwischen einer Vorhersage und beobachteten Ereignissen mithilfe des MSE auszudrücken

• Den Gini-Index zu verstehen und zu bestimmen
• Mit den Konzepten der Informationsentropie, der Shannon-Entropie und der Kullback-Leibler-Divergenz umzugehen
• Mithilfe der Kreuzentropie zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu vergleichen

Konzepte und Metriken

Einige dieser Konzepte sind aus der nachfolgenden Beschreibung entnommen

Gini Index

der Gini-Index ist ein statistisches Maß für den Grad der Ungleichheit