Insiemi in Matematica

Study Notes

Insiemi in matematica

Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti, chiamati elementi.
Gli elementi di un insieme possono essere di qualsiasi tipo: numeri, oggetti, persone, altri insiemi, etc.
Gli insiemi sono rappresentati da lettere maiuscole dell'alfabeto (es. A, B, S). Gli elementi sono rappresentati da lettere minuscole o simboli.
Un elemento appartiene a un insieme (simbolo ∈) o non appartiene a un insieme (simbolo ∉).
Un insieme è determinato dai suoi elementi. Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

Tipi di Insiemi

Insieme vuoto: Un insieme che non contiene alcun elemento. Simbolo: Ø o {}
Insieme finito: Un insieme che contiene un numero finito di elementi.
Insieme infinito: Un insieme che contiene un numero infinito di elementi.
Insieme numerabile: Un insieme infinito che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali.
Insieme non numerabile: Un insieme infinito che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali.

Rappresentazione di insiemi

elencazione: Gli elementi sono elencati tra parentesi graffe {}: A = {1, 2, 3}
descrizione: Gli elementi sono descritti da una proprietà che li caratterizza: A = {x | x è un numero naturale minore di 4}.
diagramma di Venn: Insiemi rappresentati tramite diagrammi, utili per visualizzare relazioni tra insiemi.

Operazioni tra insiemi

unione: L'insieme formato da tutti gli elementi presenti almeno in uno dei due insiemi (A ∪ B).
intersezione: L'insieme formato da tutti gli elementi comuni a entrambi gli insiemi (A ∩ B).
differenza: L'insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B (A \ B o A − B).
complementare: L'insieme formato da tutti gli elementi dell'insieme universo (U) che non appartengono all'insieme A (A^c).

Insieme Universo

L'insieme universo (U) è l'insieme che contiene tutti gli elementi considerati in un dato contesto.
Tutte le altre operazioni si svolgono rispetto all'insieme universo.

Cardinalità di un insieme

La cardinalità di un insieme è il numero di elementi che contiene (indicata con |A|).
Per insiemi finiti, la cardinalità è un numero naturale.
Per insiemi infiniti, la cardinalità può essere infinita.
Cardinalità di insiemi numerabili è contabile mentre la cardinalità di insiemi non numerabili è incontabile.

Sottoinsiemi

Un insieme A è un sottoinsieme di un insieme B (A ⊆ B) se ogni elemento di A è anche un elemento di B.
A è un sottoinsieme proprio di B (A ⊂ B) se A ⊆ B e A ≠ B, cioè se A è un sottoinsieme di B, ma non è uguale a B.
L'insieme vuoto (Ø) è un sottoinsieme di ogni insieme.
Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso.

Insiemi particolari

I numeri naturali (ℕ): 1, 2, 3,...
I numeri interi (ℤ):..., -2, -1, 0, 1, 2,...
I numeri razionali (ℚ): tutti i numeri che possono essere espressi come frazione p/q, dove p e q sono interi e q ≠ 0.
I numeri reali (ℝ): tutti i numeri razionali e irrazionali.

Insiemi di insiemi

È possibile creare insiemi di insiemi, ad esempio, un insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme.
Ogni elemento di un insieme di insiemi è un insieme.

Altre nozioni

Diagrammi di Venn: Visualizzazione delle relazioni tra insiemi tramite regioni sovrapposte all'interno di cerchi.
Proprietà delle operazioni: Le operazioni tra insiemi hanno proprietà analoghe a quelle delle operazioni tra numeri.

Description

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