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Questions and Answers
Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine injektive Funktion am besten?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine injektive Funktion am besten?
- Mehrere Werte im Definitionsbereich können den gleichen Wert im Wertebereich haben.
- Jeder Wert im Definitionsbereich hat einen eindeutigen Wert im Wertebereich. (correct)
- Die Funktion ist periodisch.
- Jeder Wert im Wertebereich hat einen eindeutigen Wert im Definitionsbereich.
Nenne eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine Funktion als injektiv gilt.
Nenne eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine Funktion als injektiv gilt.
Verschiedene Eingaben führen zu verschiedenen Ausgaben.
Ordne die Funktionen danach, ob sie injektiv sind oder nicht.
Ordne die Funktionen danach, ob sie injektiv sind oder nicht.
f(x) = x + 1 = Injektiv f(x) = x^2 = Nicht injektiv f(x) = 2x - 3 = Injektiv f(x) = |x| = Nicht injektiv
Die Funktion f(x) = c, wobei c eine Konstante ist, ist injektiv.
Die Funktion f(x) = c, wobei c eine Konstante ist, ist injektiv.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine surjektive Funktion korrekt?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine surjektive Funktion korrekt?
Die Funktion $f(x) = x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$ ist surjektiv, wenn der Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst.
Die Funktion $f(x) = x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$ ist surjektiv, wenn der Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst.
Eine Funktion ist nicht surjektiv, wenn ihr Wertebereich ______ enthält, die von keiner Eingabe erreicht werden.
Eine Funktion ist nicht surjektiv, wenn ihr Wertebereich ______ enthält, die von keiner Eingabe erreicht werden.
Welche Änderung würde bewirken, dass die Funktion $f(x) = x^2$ für $x \in \mathbb{R}$ surjektiv wird?
Welche Änderung würde bewirken, dass die Funktion $f(x) = x^2$ für $x \in \mathbb{R}$ surjektiv wird?
Eine Funktion kann bijektiv sein, auch wenn ein Wert im Wertebereich nicht von einem Wert im Definitionsbereich erreicht wird.
Eine Funktion kann bijektiv sein, auch wenn ein Wert im Wertebereich nicht von einem Wert im Definitionsbereich erreicht wird.
Nennen Sie die zwei Eigenschaften, die eine Funktion erfüllen muss, um als bijektiv zu gelten.
Nennen Sie die zwei Eigenschaften, die eine Funktion erfüllen muss, um als bijektiv zu gelten.
Welche der folgenden Funktionen ist bijektiv, wenn der Definitions- und Wertebereich die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist?
Welche der folgenden Funktionen ist bijektiv, wenn der Definitions- und Wertebereich die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Kontrapositivum einer Wenn-Dann-Aussage?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Kontrapositivum einer Wenn-Dann-Aussage?
Formulieren Sie das Kontrapositivum der folgenden Aussage: 'Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.'
Formulieren Sie das Kontrapositivum der folgenden Aussage: 'Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.'
Welche logische Beziehung besteht zwischen einer Wenn-Dann-Aussage und ihrem Kontrapositivum?
Welche logische Beziehung besteht zwischen einer Wenn-Dann-Aussage und ihrem Kontrapositivum?
Welche Aussage beschreibt das Schubfachprinzip korrekt?
Welche Aussage beschreibt das Schubfachprinzip korrekt?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Unterschied zwischen Zielmenge und Bildmenge einer Funktion am besten?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Unterschied zwischen Zielmenge und Bildmenge einer Funktion am besten?
Flashcards
Was bedeutet Injektiv?
Was bedeutet Injektiv?
Eine Funktion, bei der jede Eingabe zu einer eindeutigen Ausgabe führt. Kein Ausgabewert wird doppelt verwendet.
Beispiel für eine injektive Funktion
Beispiel für eine injektive Funktion
f(x) = 2x ist injektiv, da jede eingesetzte Zahl ein eindeutiges Ergebnis liefert und jede Zahl kommt nur einmal vor.
Was bedeutet Surjektivität?
Was bedeutet Surjektivität?
Jede Zahl im Wertebereich wird von mindestens einer Eingabe getroffen; es gibt keine "Lücken" in der Ausgabe.
Beispiel für Surjektivität
Beispiel für Surjektivität
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Wann ist eine Funktion nicht surjektiv?
Wann ist eine Funktion nicht surjektiv?
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Was bedeutet Bijektivität?
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Beispiel für Bijektivität
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Was ist das Kontrapositivum?
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Beispiel eines Kontrapositivum
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Schubfachprinzip (Dirichlet)
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Schubfachprinzip Geburtstagsbeispiel
Schubfachprinzip Geburtstagsbeispiel
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Was ist die Bildmenge?
Was ist die Bildmenge?
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Was ist die Zielmenge?
Was ist die Zielmenge?
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Study Notes
- Eine Funktion wird als injektiv (oder eins-zu-eins) bezeichnet, wenn jede unterschiedliche Eingabe zu einer unterschiedlichen Ausgabe führt.
- Dies bedeutet, dass kein Wert im Bildbereich der Funktion mehr als einmal als Ergebnis vorkommt.
Beispiel für Injektivität
- Die Funktion f(x) = 2x ist injektiv.
- Setzt man x = 1 ein, erhält man f(1) = 2.
- Setzt man x = 2 ein, ergibt sich f(2) = 4.
- Jeder Wert im Bildbereich dieser Funktion tritt nur einmal auf.
Surjektivität (auf)
- Eine Funktion ist surjektiv, wenn jede Zahl im Wertebereich von mindestens einer Eingabe getroffen wird.
- Es gibt keine „Lücken“ in der Ausgabe.
Beispiel für Surjektivität
- 𝑔(𝑥) = 𝑥³ für 𝑥∈𝑅 ist surjektiv, da jede Zahl (positiv oder negativ) irgendwann erreicht wird.
- Eine Funktion, die nur positive Werte erzeugen kann (z. B. x²) ist nicht surjektiv, wenn auch negative Zahlen im Wertebereich liegen sollen.
Bijektiv (eins-zu-eins und auf)
- Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv gleichzeitig ist.
- Das heißt, jeder Wert in der Ausgabe kommt genau einmal vor.
Beispiel für Bijektivität
- ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1 wobei 𝑥∈𝑅
- Jede Zahl kommt genau einmal vor, also ist sie injektiv.
- Alle Zahlen können getroffen werden, also ist sie surjektiv und somit ist die Funktion bijektiv.
Kontrapositivum
- Das Kontrapositivum ist eine logische Umformung einer Wenn-Dann-Aussage.
- Wenn eine Aussage die Form "Wenn A, dann B" (A⇒B) hat, dann ist das Kontrapositivum: "Wenn nicht B, dann nicht A" (¬B⇒¬A).
- Das Kontrapositivum ist immer logisch äquivalent zur ursprünglichen Aussage.
Schubfachprinzip (Dirichletsches Schubfachprinzip)
- Wenn mehr Objekte als Schubladen vorhanden sind und jedes Objekt in eine Schublade gelegt wird, muss mindestens eine Schublade mindestens zwei Objekte enthalten.
Beispiel Geburtstage
- Es gibt 366 mögliche Geburtstage (inklusive 29. Februar).
- Wenn sich 367 Personen in einem Raum befinden, müssen mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben.
Bildmenge (Wertemenge) und Zielmenge
- Die Bildmenge (auch Wertemenge genannt) ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte einer Funktion.
- Die Zielmenge ist die Menge, in die die Funktion theoretisch Werte schicken könnte.
- Die Bildmenge enthält nur die tatsächlich erreichten Werte.
Beispiel Bildmenge und Zielmenge
- Funktion: f(x) = x²
- Zielmenge: ℝ (alle reellen Zahlen)
- Bildmenge: [0, ∞], da Quadrate nie negativ sind.
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