Inecuaciones Cuadráticas: Conceptos Básicos

• Una inecuación cuadrática es una desigualdad donde la variable aparece en un término de segundo grado.
• La forma general de una inecuación cuadrática es ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c 0, o ax² + bx + c ≤ 0, donde a, b, y c son constantes, y a ≠ 0.
• Resolver una inecuación cuadrática implica encontrar el conjunto de todos los números reales que satisfacen la desigualdad.

Método de Resolución

• Para resolver una inecuación cuadrática, primero se transforma la desigualdad en la forma general.
• Se encuentra las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente ax² + bx + c = 0. Estas raíces dividen la recta numérica en intervalos.
• Se analiza el signo de la expresión cuadrática ax² + bx + c en cada uno de estos intervalos, eligiendo un valor de prueba dentro de cada intervalo y sustituyéndolo en la expresión.
• La solución de la inecuación es el conjunto de intervalos donde la expresión cuadrática tiene el signo requerido por la desigualdad (mayor que cero, menor que cero, mayor o igual que cero, menor o igual que cero).
• Si el discriminante (b² - 4ac) es negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, y en este caso, la expresión cuadrática es siempre positiva o siempre negativa.
• Si a > 0 y el discriminante es negativo, la expresión cuadrática es siempre positiva; si a < 0 y el discriminante es negativo, la expresión cuadrática es siempre negativa.

Pasos para Resolver Inecuaciones Cuadráticas

• Llevar la inecuación a la forma general: ax² + bx + c > 0 (o 0.
  • En (-∞, -1), se elige x = -2, entonces (-2)² - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.
  • En (-1, 4), se elige x = 0, entonces (0)² - 3(0) - 4 = -4 < 0.
  • En (4, ∞), se elige x = 5, entonces (5)² - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.
• La inecuación x² - 3x - 4 > 0 se cumple en los intervalos (-∞, -1) y (4, ∞).
• La solución es (-∞, -1) ∪ (4, ∞).

Casos Especiales

• Si la inecuación es de la forma ax² + bx + c > 0 y la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene raíces reales y a > 0, entonces la solución son todos los números reales.
• Si la inecuación es de la forma ax² + bx + c < 0 y la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene raíces reales y a > 0, entonces no hay solución.
• Si la inecuación es de la forma ax² + bx + c > 0 y la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene raíces reales y a < 0, entonces no hay solución.
• Si la inecuación es de la forma ax² + bx + c < 0 y la ecuación ax² + bx + c = 0 no tiene raíces reales y a < 0, entonces la solución son todos los números reales.

Importancia del Signo de 'a'

• El signo del coeficiente 'a' en ax² + bx + c determina la concavidad de la parábola representada por la ecuación cuadrática.
• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
• Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
• Esto influye en cómo se interpretan los intervalos de solución de la inecuación.

Discriminante

• El discriminante (Δ = b² - 4ac) proporciona información sobre la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática.
• Si Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
• Si Δ = 0, la ecuación tiene una raíz real (o dos raíces reales iguales).
• Si Δ < 0, la ecuación no tiene raíces reales.

Aplicaciones

• Las inecuaciones cuadráticas se utilizan en problemas de optimización, física (por ejemplo, para describir el movimiento de proyectiles) y economía.
• Permiten modelar situaciones donde se busca un rango de valores que cumplan ciertas condiciones.

Representación Gráfica

• La solución de una inecuación cuadrática puede visualizarse gráficamente.
• Se dibuja la parábola y = ax² + bx + c.
• Los intervalos donde la parábola está por encima del eje x corresponden a la solución de ax² + bx + c > 0.
• Los intervalos donde la parábola está por debajo del eje x corresponden a la solución de ax² + bx + c < 0.

Conjunto Solución

• El conjunto solución de una inecuación cuadrática es el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la inecuación.
• Se expresa como una unión de intervalos.
• Los corchetes [ ] se usan para incluir los extremos del intervalo (cuando la desigualdad es no estricta, ≥ o ≤).
• Los paréntesis ( ) se usan para excluir los extremos del intervalo (cuando la desigualdad es estricta, > o <).

Consideraciones Adicionales

• Al resolver inecuaciones cuadráticas, es crucial verificar la solución obtenida.
• Se puede verificar eligiendo valores de prueba dentro y fuera del conjunto solución y sustituyéndolos en la inecuación original.
• Esto ayuda a detectar posibles errores en el proceso de resolución.

Aprende sobre inecuaciones cuadráticas, desigualdades con términos de segundo grado. Explora la forma general ax² + bx + c > 0 y cómo resolverlas. Descubre cómo encontrar raíces y analizar signos en intervalos para hallar soluciones.