Hàm số bậc hai và Tọa độ đỉnh

Xác định hệ số

• Hàm số bậc hai được cho bởi công thức ( y = ax^2 + bx + c ), với ( a \neq 0 ).
• Trong trường hợp này, ( a = 2 ), ( b = -3 ) và ( c = 1 ).

Tọa độ đỉnh

• Tọa độ đỉnh của parabol được xác định bởi công thức ( x_{đỉnh} = \frac{-b}{2a} ) và ( y_{đỉnh} = f(x_{đỉnh}) ).
• Áp dụng vào hàm số ( y = 2x^2 - 3x + 1 ), ta có:
  • ( x_{đỉnh} = \frac{-(-3)}{2(2)} = \frac{3}{4} )
  • ( y_{đỉnh} = 2 \left( \frac{3}{4} \right)^2 - 3 \left( \frac{3}{4} \right) + 1 = -\frac{1}{8} ).
• Vậy tọa độ đỉnh của parabol là ( \left( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8} \right) ).

Xét dấu hàm số

• Hàm số ( y = 2x^2 - 3x + 1 ) có hệ số ( a = 2 > 0 ), nên parabol hướng lên trên.
• Dấu của hàm số phụ thuộc vào giá trị của ( x ) so với tọa độ đỉnh ( x_{đỉnh} = \frac{3}{4} ).
  • ( x < \frac{3}{4} ): hàm số có giá trị âm.
  • ( x > \frac{3}{4} ): hàm số có giá trị dương.

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất

• Trên đoạn ( [-1; 2] ), giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại ( x_{đỉnh} = \frac{3}{4} ), vì hàm số giảm trên khoảng ( (-\infty; \frac{3}{4}) ) và tăng trên khoảng ( (\frac{3}{4}; +\infty) ).
• Giá trị lớn nhất của hàm số được xác định bằng cách so sánh giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn ( [-1; 2] ).
  • ( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 6 )
  • ( f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 3 )
• Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ( [-1; 2] ) là ( 6 ) đạt được tại ( x = -1 ), và giá trị nhỏ nhất là ( -\frac{1}{8} ) đạt được tại ( x = \frac{3}{4} ).

Vẽ đồ thị

• Đồ thị của hàm số ( y = 2x^2 - 3x + 1 ) là một parabol.
• Để vẽ đồ thị, ta cần xác định các điểm đặc biệt sau:
  • Tọa độ đỉnh ( (\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) ).
  • Điểm cắt với trục tung: Khi ( x = 0 ), ta có ( y = 1 ).
  • Điểm cắt với trục hoành: Khi ( y = 0 ), ta có phương trình ( 2x^2 - 3x + 1 = 0 )
• Giải phương trình ( 2x^2 - 3x + 1 = 0 ) ta tìm được hai nghiệm ( x = 1 ) và ( x = \frac{1}{2} ).
• Vậy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm ( (1, 0) ) và ( (\frac{1}{2}, 0) ).

Nghiệm của phương trình

• Phương trình ( 2x^2 - 3x + 1 = 0 ) có hai nghiệm ( x = 1 ) và ( x = \frac{1}{2} ).
• Các nghiệm này chính là hoành độ của hai điểm cắt trục hoành của đồ thị hàm số ( y = 2x^2 - 3x + 1 ).