Grenzwert von (n / (n + 2))

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Questions and Answers

Was muss für alle $ ext{n} \geq \text{N}$ gelten, um den Grenzwert nachzuweisen?

\(| \frac{n}{n + 2} - 1 | < \varepsilon| (correct)
$\frac{2}{n + 2} > \varepsilon$
$n + 2 > \frac{2}{\varepsilon}$
\(| \frac{n}{n + 2} - 1 | > \varepsilon|

Wie wird die Differenz (| \frac{n}{n + 2} - 1 |) berechnet?

$\frac{-2}{n - 2}$
$\frac{n + 2}{n}$
$\frac{2}{n + 2}$ (correct)
$\frac{n + 2 - n}{2}$

Was ist der Wert von (N) in Bezug auf (\varepsilon)?

$N = \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} + 2 \right\rceil$
$N = \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} - 2 \right\rceil$ (correct)
$N = \frac{2}{\varepsilon} + 2$
$N = \frac{\varepsilon}{2} + 2$

Welche Ungleichung muss erfüllt sein, um den Nachweis zu erbringen?

(n > \frac{2}{\varepsilon} - 2) (D) Signup and view all the answers

Was passiert, wenn (n) kleiner ist als (N)?

Der Grenzwert kann nicht nachgewiesen werden. (B), Die Differenz ist größer als (\varepsilon). (C) Signup and view all the answers

Welche Bedingung muss für die Wahl von $N$ gelten?

N muss eine natürliche Zahl sein. (A), N muss so gewählt werden, dass $N > rac{2}{eta} - 2$. (B) Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Beweis am besten?

Der Beweis verwendet die Grenzwertdefinition und behandelt die Konvergenz. (B) Signup and view all the answers

Welcher Ausdruck beschreibt die Konvergenz von $n/(n+2)$ gegen den Grenzwert $1$?

$ | rac{n}{n + 2} - 1 | < rac{2}{n + 2} $ (B) Signup and view all the answers

Was geschieht, wenn $n < N$ in Bezug auf den Ausdruck $| rac{n}{n + 2} - 1 |$?

Der Ausdruck erfüllt die Bedingung $| rac{n}{n + 2} - 1 | < eta$ nicht. (D) Signup and view all the answers

Welche Rolle spielt das Symbol $ ext{ceil} $ in der Wahl von $N$?

Es garantiert, dass $N$ eine natürliche Zahl ist. (C) Signup and view all the answers

Flashcards

Grenzwertdefinition

Der Grenzwert einer Funktion f(n) für n gegen unendlich ist a, wenn für jedes ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: |f(n) - a| < ε

Differenz bilden

Um den Abstand zwischen einem Ausdruck und seinem Grenzwert zu berechnen, muss man den Ausdruck von seinem Grenzwert subtrahieren und den Absolutwert der Differenz nehmen.

Ungleichung aufstellen

Die Differenz kleiner als ε umzuformen, um die Bedingung für alle n ≥ N zu erfüllen.

n nach oben abschätzen

Isoliertes n in einer Ungleichung, um die Bedingung nach dem nächsten natürlichen N zu finden.

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N bestimmen

Die nächste ganze Zahl größer als die berechnete Grenze n ist die natürliche Zahl.

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Grenzwert zeigen

Um zu beweisen, dass eine Folge gegen einen bestimmten Wert konvergiert, mssen wir die Definition des Grenzwerts anwenden. Dazu finden wir fr jedes beliebig kleine > 0 eine natrliche Zahl N, sodass fr alle n N der Abstand zwischen der Folge und ihrem Grenzwert kleiner als ist.

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Nach n auflsen

Um die Bedingung fr (n \geq N ) zu erfllen, lsen wir die Ungleichung (rac{2}{n+2} < \varepsilon) nach (n) auf.

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Study Notes

Grenzwert von (n / (n + 2))

Ziel: Beweisen, dass der Grenzwert des Ausdrucks n / (n + 2) für n gegen unendlich 1 ist.
Definition des Grenzwertes: Für jede beliebige positive Zahl ε (Epsilon) existiert eine natürliche Zahl N, sodass für alle n ≥ N die Ungleichung |(n / (n + 2)) - 1| < ε gilt.

Beweis Schritte

Differenzbildung: Der Betrag der Differenz zwischen dem Ausdruck und dem Grenzwert (1) wird berechnet.
- |(n / (n + 2)) - 1| = |(-2) / (n + 2)| = 2 / (n + 2)
Ungleichung: Die Differenz wird kleiner als ε gesetzt.
- 2 / (n + 2) < ε
Nach n auflösen: Die Ungleichung nach n aufgelöst wird, um einen Ausdruck für n in Bezug auf ε zu finden.
- n + 2 > 2 / ε
- n > 2 / ε - 2
N definieren: Eine geeignete natürliche Zahl N wird definiert, die die Ungleichung erfüllt.
- N = ⌈2 / ε - 2⌉ (wobei ⌈.⌉ die nächste größere ganze Zahl bezeichnet)
Schlussfolgerung: Die so definierte Zahl N garantiert, dass für alle n ≥ N die Ungleichung |(n / (n + 2)) - 1| < ε gilt. Dies deckt die Definition des Grenzwertes ab, und somit ist der Grenzwert 1.