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Grenzwert von (n / (n + 2))

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Questions and Answers

Was muss für alle $ ext{n} \geq \text{N}$ gelten, um den Grenzwert nachzuweisen?

\(| \frac{n}{n + 2} - 1 | < \varepsilon| (correct)

$\frac{2}{n + 2} > \varepsilon$

$n + 2 > \frac{2}{\varepsilon}$

\(| \frac{n}{n + 2} - 1 | > \varepsilon|

Wie wird die Differenz (| \frac{n}{n + 2} - 1 |) berechnet?

$\frac{-2}{n - 2}$

$\frac{n + 2}{n}$

$\frac{2}{n + 2}$ (correct)

$\frac{n + 2 - n}{2}$

Was ist der Wert von (N) in Bezug auf (\varepsilon)?

$N = \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} + 2 \right\rceil$

$N = \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} - 2 \right\rceil$ (correct)

$N = \frac{2}{\varepsilon} + 2$

$N = \frac{\varepsilon}{2} + 2$

Welche Ungleichung muss erfüllt sein, um den Nachweis zu erbringen?

(n > \frac{2}{\varepsilon} - 2) Signup and view all the answers

Was passiert, wenn (n) kleiner ist als (N)?

Der Grenzwert kann nicht nachgewiesen werden. Signup and view all the answers

Welche Bedingung muss für die Wahl von $N$ gelten?

N muss eine natürliche Zahl sein. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Beweis am besten?

Der Beweis verwendet die Grenzwertdefinition und behandelt die Konvergenz. Signup and view all the answers

Welcher Ausdruck beschreibt die Konvergenz von $n/(n+2)$ gegen den Grenzwert $1$?

$ | rac{n}{n + 2} - 1 | < rac{2}{n + 2} $ Signup and view all the answers

Was geschieht, wenn $n < N$ in Bezug auf den Ausdruck $| rac{n}{n + 2} - 1 |$?

Der Ausdruck erfüllt die Bedingung $| rac{n}{n + 2} - 1 | < eta$ nicht. Signup and view all the answers

Welche Rolle spielt das Symbol $ ext{ceil} $ in der Wahl von $N$?

Es garantiert, dass $N$ eine natürliche Zahl ist. Signup and view all the answers

Study Notes

Grenzwert von (n / (n + 2))

Ziel: Beweisen, dass der Grenzwert des Ausdrucks n / (n + 2) für n gegen unendlich 1 ist.
Definition des Grenzwertes: Für jede beliebige positive Zahl ε (Epsilon) existiert eine natürliche Zahl N, sodass für alle n ≥ N die Ungleichung |(n / (n + 2)) - 1| < ε gilt.

Beweis Schritte

Differenzbildung: Der Betrag der Differenz zwischen dem Ausdruck und dem Grenzwert (1) wird berechnet.
- |(n / (n + 2)) - 1| = |(-2) / (n + 2)| = 2 / (n + 2)
Ungleichung: Die Differenz wird kleiner als ε gesetzt.
- 2 / (n + 2) < ε
Nach n auflösen: Die Ungleichung nach n aufgelöst wird, um einen Ausdruck für n in Bezug auf ε zu finden.
- n + 2 > 2 / ε
- n > 2 / ε - 2
N definieren: Eine geeignete natürliche Zahl N wird definiert, die die Ungleichung erfüllt.
- N = ⌈2 / ε - 2⌉ (wobei ⌈.⌉ die nächste größere ganze Zahl bezeichnet)
Schlussfolgerung: Die so definierte Zahl N garantiert, dass für alle n ≥ N die Ungleichung |(n / (n + 2)) - 1| < ε gilt. Dies deckt die Definition des Grenzwertes ab, und somit ist der Grenzwert 1.

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Description

In diesem Quiz lernen Sie, wie der Grenzwert des Ausdrucks n / (n + 2) für n gegen unendlich 1 ist. Besondere Aufmerksamkeit wird der Definition des Grenzwertes und den nötigen Beweis-Schritten geschenkt. Ziel ist es, die mathematischen Schritte zur Lösung und den Prozess des Beweisens zu verstehen.