Géométrie et Algèbre - Chapitre 1 : Les Suites

Cours de Géométrie et Algèbre

• Cours donné par Fatima Ezzahra Fikri
• Structure: Suites, limites des fonctions numériques de la variable réelle, fonctions continues, fonctions dérivables, fonctions hyperboliques, développements limités, étude de courbes paramétriques

Chapitre 1 : Les Suites

• Définition : Une suite est une application u de N dans R.
• Terme général : Pour n ∈ N, on note u(n) par u_n, appelé n-ième terme ou terme général de la suite.
• Exemple 1 : √n (pour n ≥ 0) est une suite avec les termes : 0, 1, √2, √3, …
• Exemple 2 : (-1)ⁿ est une suite avec les termes : 1, -1, 1, -1, …
• Suite majorée : ∃ M ∈ R : ∀ n ∈ N, u_n ≤ M
• Suite minorée : ∃ m ∈ R : ∀ n ∈ N, u_n ≥ m
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est majorée et minorée.

Définition de Suite Croissante / Décroissante / Monotone

• Suite croissante : ∀ n ∈ N : u_n+1 ≥ u_n
• Suite décroissante : ∀ n ∈ N : u_n+1 ≤ u_n
• Suite monotone : Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Limite Finie et Limites Infinies d'une Suite

• Limite finie : La suite (u_n)_n∈N a pour limite l ∈ R si pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout n ≥ n₀, |u_n − l| ≤ ε.
• Limite infinie : La suite u_n tend vers +∞ (ou -∞) si pour tout A > 0, il existe n₀∈ N tel que n ≥ n₀ alors u_n > A (ou u_n < -A).

Suites Convergentes

• Définition : Une suite est convergente si elle admet une limite finie.
• Proposition : Si une suite est convergente, sa limite est unique.
• Proposition : Toute suite convergente est bornée.

Suites Arithmétiques

• Définition : Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un nombre r (raison) tel que u_n+1 = u_n + r pour tout entier n.
• Terme général : u_n = u₀ + nr
• Somme des n premiers termes : S_n = (n + 1)/2(u₀ + u_n)

Suites Géométriques

• Définition : Une suite (v_n) est géométrique s'il existe un nombre q (raison) tel que v_n+1 = qv_n pour tout entier n.
• Terme général : v_n = v₀qⁿ
• Proposition : v_n = v_pq^(n−p)
• Somme des n premiers termes : S_n = (v₀(1-qⁿ⁺¹))/(1 - q)

Suites Adjacentes

• Définition : Deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et lim_n→∞(u_n - v_n) = 0.

Limites des Fonctions

• Définition : Soit x0 ∈ I (intervalle de R) et f une fonction sur I. f admet une limite l en x0 si ∀ ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, 0 < |x − x0| < η ⇒ |f(x) − l| < ε.

Propriétés des Limites

• Limites de sommes : limn→∞ (f(n) + g(n)) = limn→∞ f(n) + limn→∞ g(n)
• Limite d'un produit : limn→∞ f(n) * g(n) = limn→∞ f(n) * limn→∞ g(n)
• Limite d'une constante : limn→∞ af(n) = a * limn→∞ f(n)

Fonctions Continues

• Définition: Une fonction f est continue en x₀ si lim_x→x0 f(x) = f(x₀)
• Définition : f est uniformément continue sur l'intervalle I si ∀ ε > 0, ∃η > 0, ∀x, x′ ∈ I, |x − x′| < η ⇒ |f(x) − f(x′)| < ε.
• Théorème : Toute fonction uniformément continue sur un intervalle fermé et borné est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires

• Définition : Soit une fonction f continue sur [a, b] de R. Pour toute valeur c comprise entre f(a) et f(b), il existe x₀ ∈ [a, b] tel que f(x₀) = c.
• Corollaire: L'image d'un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle.

Théorème du point fixe

• Théorème: Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors il existe au moins un point xo dans [a, b] tel que f(xo) = xo.

Fonctions contractantes

• Définition: Une fonction f sur I est contractante s'il existe k ∈]0, 1[ tel que |f(x) - f(y)| ≤ k|x – y| pour tous x, y ∈ I.
• Propriété: Toute fonction contractante est uniformément continue et donc continue.

Fonctions dérivables

• Définition : f est dérivable en a si lim_x→a (f(x) – f(a))/(x – a) existe et est finie.
• Théorème: Toute fonction dérivable en a est continue en a.
• Règle de l'Hôpital: Si lim_x→x0 f(x)/g(x) est indéterminé, alors lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f'(x)/g'(x)

Fonctions Convexes

• Définition : f : [a, b] → R est convexe si ∀ x, y ∈ [a, b] et tout λ ∈ [0, 1] : f(λx + (1 – λ)y) ≤ λf(x) + (1 – λ)f(y)

Fonctions hyperboliques

• Définitions des fonctions hyperboliques : chx, shx, thx

Fonctions hyperboliques réciproques

• Définitions des fonctions réciproques : Argsh, Argch, Argth

Polynôme de Taylor

• Définitions et propriétés du polynôme de Taylor et de son reste
• Opérations sur les développements limités

Fonctions équivalentes

• Définition : Deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de x0 si lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1.

Equations paramétriques

• Définition d'une courbe par des équations paramétriques.
• Calcul de domaine de définition.
• Recherche des asymptotes (verticales, horizontales, obliques).
• Déterminer les tangentes horizontales, tangentes verticales, points singuliers.

Ce quiz explore le chapitre 1 sur les suites dans le cadre du cours de géométrie et d'algèbre. Vous y découvrirez la définition des suites, leurs caractéristiques et des exemples concrets. Testez vos connaissances sur les suites croissantes, décroissantes et bornées.