Cours de Géométrie et Algèbre: Les Suites
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Questions and Answers

Quels termes sont utilisés pour qualifier une suite qui est à la fois majorée et minorée ?

  • Suite croissante
  • Suite divergente
  • Suite oscillante
  • Suite bornée (correct)
  • Associez chaque type de suite avec son illustration :

    Suite croissante = u(n) = n Suite bornée = u(n) = (-1)^n Suite majorée = u(n) = n^2 Suite minorée = u(n) = 1/n

    Quelle est la formule de Argch (x) pour x ∈]1, +∞[ ?

    √(x² − 1)

    Quelle est la relation utilisée pour calculer ch(a - b) ?

    <p>ch a ch b - sh a sh b</p> Signup and view all the answers

    Si une fonction f est dérivable en a, alors elle est toujours discontinue en a.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Comment note-t-on la dérivée d'une fonction f en a ?

    <p>f'(a)</p> Signup and view all the answers

    Une fonction peut être dérivable même si elle possède une discontinuité.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Quel est le terme utilisé pour décrire le reste d'ordre n en a de la fonction f?

    <p>Reste de Taylor</p> Signup and view all the answers

    Ecrire la formule du polynôme de Taylor Pn(x) d'ordre n pour la fonction f.

    <p>f^{(n)}(a)</p> Signup and view all the answers

    Le reste de Taylor peut être exprimé en termes d'une intégrale de la dérivée n+1ème.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition principale pour appliquer le théorème de Rolle ?

    <p>f(a) = f(b)</p> Signup and view all the answers

    Le théorème des accroissements finis est une généralisation du théorème de Rolle.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Dans quel cas peut-on utiliser la règle de l'Hôpital ?

    <p>Lorsque la forme est 0/0 ou ∞/∞</p> Signup and view all the answers

    La fonction P(x) définie par P(x) = 3x^4 − 11x^3 + 12x^2 − 4x + 2 s'annule au moins une fois sur ]0, 1[.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qu'une limite à droite d'une fonction en un point x0?

    <p>Une limite à droite est la valeur vers laquelle se rapproche la fonction lorsque x approche x0 par la droite.</p> Signup and view all the answers

    On note la limite d'une fonction en un point x0 par lim f(x) = _____

    <p>l</p> Signup and view all the answers

    Associez chaque type de limite avec sa définition:

    <p>Limite à droite = limx→x + f (x) = l1 Limite à gauche = limx→x - f (x) = l2 Limite = lim f(x) = l</p> Signup and view all the answers

    Quelles conditions doivent être vérifiées pour que deux suites soient adjacentes?

    <p>Une suite est croissante, l'autre est décroissante et leur différence converge vers zéro.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Cours de Géométrie et Algèbre

    • Le cours est donné par Fatima Ezzahra Fikri
    • Le cours couvre les Suites, Limites des fonctions numériques de la variable réelle, Fonctions Continues, Fonctions dérivables, Fonctions hyperboliques, Développements Limités, Etudes de courbes paramétriques.

    Les Suites

    • Une suite est une application u de N dans R.
    • Pour n∈ N, u(n) est noté un et est appelé le n-ième terme ou terme général de la suite.
    • Exemple 1: (√n)n≥0 est la suite de termes 0, 1, √2, √3, ...
    • Exemple 2: (-1)n est la suite de termes +1, -1, +1, -1, ...
    • Définition:
      • Une suite (un)n∈N est majorée si ∃M ∈ R :∀n ∈ N un ≤ M
      • Une suite (un)n∈N est minorée si ∃m ∈ R :∀n ∈ N un ≥ m
      • Une suite (un)n∈N est bornée si elle est majorée et minorée.
    • Définition:
      • Une suite (un)n∈N est croissante si ∀n ∈ N : un+1 ≥ un.
      • Une suite (un)n∈N est décroissante si ∀n ∈ N : un+1 ≤ un.
      • Une suite (un)n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.

    Limites des fonctions numériques de la variable réelle

    • Définition: La suite (un)n∈N a pour limite / ∈ R si : pour tout ɛ > 0, il existe un entier naturel no tel que si n ≥ no alors |un – I| ≤ ε.

    • Défination:

      • La suite (un)n∈N tend vers +∞ et on note limn→+∞ Un = +∞ si : ∀A > 0 ∃no ∈ N (∀n ∈N) (n ≥ no ⇒ Un > A)
      • La suite (Un)n∈N tend vers -∞ et on note limn→+∞ Un = -∞ si : ∀A > 0 ∃no ∈ N (∀n ∈N) (n ≥ no ⇒ un < -A)
    • Définition: Une suite (un) n∈N est convergente si elle admet une limite. Elle est divergente sinon

    • Proposition: Si une suite est convergente, sa limite est unique. Toute suite convergente est bornée.

    Suites arithmétiques

    • Une suite (un)nen est arithmétique s'il existe un nombre r tel que Un+1 = Un + r pour tout n.
    • Le nombre r est appelé raison de la suite.
    • Proposition: Soit (Un)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Alors pour tout entier naturel n, Un = uo + nr. Un = Up + (n − p)r
    • Proposition: Soient (un)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 et Sn = U0 + U1 + U2 + ... + un. Alors Sn = (n+1)/2 (U0 + Un)

    Suites géométriques

    • Une suite (Vn)nen est géométrique s'il existe un nombre q tel que Vn+1 = qVn pour tout n.
    • Le nombre q est appelé raison de la suite
    • Proposition: Soit (Vn) n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme vo. Alors pour tout entier naturel n, Vn = qnvo. Vn = qn-PVp

    Fonctions Continues

    • Définition : Soit xo ∈ I (un intervalle de R). f admet en xo la limite / si : ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − xo| < η ⇒ |f(x) – I\ < ε]
    • Définition f(x)= f(x0) (ou f(x)).
    • Définition : Soit f une fonction numérique sur un intervalle I de R. f est uniformément continue sur I si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x′ ∈ I [0 < |x − x'\ < n = |f(x) − f(x')\ < ε]

    Théorème des valeurs Intermédiaires

    • Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1 < x2 deux éléments de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f(x1) et f(x2), il existe X0 ∈]X1, X2[ tel que f(x0) = c.

    Théorème du point fixe.

    • Théorème : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point xo ∈ [a, b] tel que f(x) = xo.

    Fonctions d'ordre n

    • Théorème : Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f'(c)
    • Définition : Soient f: I → R et a∈I. f est dérivable au point a si limx→a [f(x) – f(a)] / (x – a) existe et est finie, et on le note f'(a)..

    Fonctions convexes

    • Définition : f : [a, b] → R est une fonction convexe si pour tout x, y ∈ [a, b] et tout λ∈ [0, 1] on a: f(x + (1-λ)y) ≤ f(x) + (1 − λ)f(y)

    Fonctions hyperboliques

    • Définition: chx = (ex + e-x) / 2, shx = (ex − e-x) / 2, thx = shx / chx

    Fonctions hyperboliques réciproques

    • Définition: Argsh, Argch, Argth

    • Proposition: La fonction Argsh, Argch, Argth sont dérivables

    Développement des fonctions usuelles

    • Les développements limités des fonctions usuelles (ex, (1+x)a, sinx, cosx, sinhx, coshx, ln(x+1)) au voisinage de 0 sont donnés.

    Fonctions équivalentes

    • Définition: f ~ g (f et g sont équivalents au voisinage de xo) si limx→xo [f(x) - g(x)] / (x – xo) = 0
    • Exemples: -sin(x) ~ x -tan(x) ~ x -ln(1+x) ~ x -ex−1 ~ x

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    Description

    Ce quiz couvre les concepts fondamentaux des suites en géométrie et algèbre. Il inclut des définitions essentielles telles que les suites majorées, minorées, et les suites croissantes ou décroissantes. Préparez-vous à tester vos connaissances sur ces notions clés.

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