Cours de Géométrie et Algèbre: Les Suites

Une application u de N dans R.

u(n) ou un.

Elle possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Elle est majorée et minorée.

Il existe un réel M tel que pour tout n∈N, un ≤ M.

Il existe un réel m tel que pour tout n∈N, un ≥ m.

Pour tout n∈N, un+1 ≥ un.

Elle possède un terme général qui peut être exprimé en fonction de n.

La dérivée d'une fonction f en un point a est la limite du taux d'accroissement de f lorsque x tend vers a.

Une fonction f est dérivable à droite en x0 si la limite du taux d'acroissement à droite de x0 existe et est finie.

Une fonction f est dérivable à gauche en x0 si la limite du taux d'accroissement à gauche de x0 existe et est finie.

Si une fonction f est dérivable au point a, alors elle est continue en a. Cela signifie qu'il n'y a pas de saut ni de trou dans la courbe de la fonction au point a.

Une fonction f est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chaque point de l'intervalle. On peut alors définir la fonction dérivée f', qui donne la dérivée de f en chaque point de l'intervalle.

Une suite géométrique de raison q et de premier terme v0, où Sn représente la somme des termes de la suite jusqu'au terme vn.

Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante et leur différence tend vers 0 à l'infini.

Une fonction f admet en x0 la limite l si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l est inférieure à epsilon dès que la distance entre x et x0 est inférieure à eta et non nulle.

Une fonction f admet en x0 à droite la limite l1 si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l1 est inférieure à epsilon dès que x est supérieur à x0 et la distance entre x et x0 est inférieure à eta.

Une fonction f admet en x0 à gauche la limite l2 si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l2 est inférieure à epsilon dès que x est inférieur à x0 et la distance entre x et x0 est inférieure à eta.

La fonction argument tangente hyperbolique, notée Argth, est la fonction inverse de la fonction tangente hyperbolique (th).

La fonction Argth est définie sur l'intervalle ]-1, 1[ et est dérivable sur cet intervalle.

La dérivée de la fonction Argth est donnée par la formule : Argth'(x) = 1/(1 - x²) pour tout x dans l'intervalle ]-1, 1[.

La fonction argument cosinus hyperbolique, notée Argch, est la fonction inverse de la fonction cosinus hyperbolique (ch).

La fonction Argch est définie sur l'intervalle ]1, +∞[ et est dérivable sur cet intervalle.

La dérivée de la fonction Argch est donnée par la formule : Argch'(x) = 1/√(x² - 1) pour tout x dans l'intervalle ]1, +∞[.

La fonction argument sinus hyperbolique, notée Argsh, est la fonction inverse de la fonction sinus hyperbolique (sh).

La fonction Argsh est définie sur l'ensemble des réels R et est dérivable sur cet ensemble.

Une fonction est continue sur un intervalle fermé si elle est continue en chaque point de l'intervalle.

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[ et si f(a) = f(b), alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f'(c) = 0.

Si une fonction f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = (b - a) f'(c).

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur ]a, b[ (sauf peut-être en x0) et si limx→x0 [f(x)/g(x)] est une forme indéterminée (0/0 ou ∞/∞) et si limx→x0 [f'(x)/g'(x)] = l, alors limx→x0 [f(x)/g(x)] = l.

Une fonction est dite hyperbolique si elle est définie à partir des fonctions sinus et cosinus hyperboliques.

La suite (un) converge vers L si pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N on a |un - L| < ε.

La limite d'une fonction f(x) en x0 est L si pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que si 0 < |x - x0| < δ alors |f(x) - L| < ε.

Un polynôme de Taylor d'ordre n en a d'une fonction f est une approximation polynomiale de f autour du point a. Il prend en compte les dérivés de f jusqu'à l'ordre n.

Le reste de Taylor d'ordre n en a d'une fonction f est la différence entre la valeur réelle de f et son approximation polynomiale de Taylor d'ordre n.

Une fonction f admet un développement limité d'ordre n en a s'il existe un polynôme Pn tel que l'erreur entre f et Pn soit négligeable devant (x-a)^n.

Le reste de Taylor d'ordre n en 0 d'une fonction f est donné par l'intégrale de la dérivée (n+1)-ième de f pondérée par (x-t)^n.

Une fonction f de classe C^(n+1) admet un développement limité d'ordre n en 0 si elle est dérivable n+1 fois et sa dérivée (n+1)-ième est continue.

On peut effectuer des opérations sur les développements limités, comme les additions et les multiplications, en utilisant les développements limités des fonctions correspondantes.