Cours de Géométrie et Algèbre: Les Suites

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Questions and Answers

Quels termes sont utilisés pour qualifier une suite qui est à la fois majorée et minorée ?

  • Suite croissante
  • Suite divergente
  • Suite oscillante
  • Suite bornée (correct)

Associez chaque type de suite avec son illustration :

Suite croissante = u(n) = n Suite bornée = u(n) = (-1)^n Suite majorée = u(n) = n^2 Suite minorée = u(n) = 1/n

Quelle est la formule de Argch (x) pour x ∈]1, +∞[ ?

√(x² − 1)

Quelle est la relation utilisée pour calculer ch(a - b) ?

<p>ch a ch b - sh a sh b</p> Signup and view all the answers

Si une fonction f est dérivable en a, alors elle est toujours discontinue en a.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Comment note-t-on la dérivée d'une fonction f en a ?

<p>f'(a)</p> Signup and view all the answers

Une fonction peut être dérivable même si elle possède une discontinuité.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le terme utilisé pour décrire le reste d'ordre n en a de la fonction f?

<p>Reste de Taylor (A)</p> Signup and view all the answers

Ecrire la formule du polynôme de Taylor Pn(x) d'ordre n pour la fonction f.

<p>f^{(n)}(a)</p> Signup and view all the answers

Le reste de Taylor peut être exprimé en termes d'une intégrale de la dérivée n+1ème.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition principale pour appliquer le théorème de Rolle ?

<p>f(a) = f(b) (D)</p> Signup and view all the answers

Le théorème des accroissements finis est une généralisation du théorème de Rolle.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Dans quel cas peut-on utiliser la règle de l'Hôpital ?

<p>Lorsque la forme est 0/0 ou ∞/∞ (B)</p> Signup and view all the answers

La fonction P(x) définie par P(x) = 3x^4 − 11x^3 + 12x^2 − 4x + 2 s'annule au moins une fois sur ]0, 1[.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une limite à droite d'une fonction en un point x0?

<p>Une limite à droite est la valeur vers laquelle se rapproche la fonction lorsque x approche x0 par la droite.</p> Signup and view all the answers

On note la limite d'une fonction en un point x0 par lim f(x) = _____

<p>l</p> Signup and view all the answers

Associez chaque type de limite avec sa définition:

<p>Limite à droite = limx→x + f (x) = l1 Limite à gauche = limx→x - f (x) = l2 Limite = lim f(x) = l</p> Signup and view all the answers

Quelles conditions doivent être vérifiées pour que deux suites soient adjacentes?

<p>Une suite est croissante, l'autre est décroissante et leur différence converge vers zéro. (C)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Qu'est-ce qu'une suite?

Une application u de N dans R.

Comment appelle-t-on le n-ième terme d'une suite?

u(n) ou un.

Qu'est-ce qu'une suite bornée?

Elle possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Comment identifier une suite bornée?

Elle est majorée et minorée.

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Comment définir une suite majorée?

Il existe un réel M tel que pour tout n∈N, un ≤ M.

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Comment définir une suite minorée?

Il existe un réel m tel que pour tout n∈N, un ≥ m.

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Comment définir une suite croissante?

Pour tout n∈N, un+1 ≥ un.

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Comment est définie une suite?

Elle possède un terme général qui peut être exprimé en fonction de n.

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La dérivée d'une fonction en un point

La dérivée d'une fonction f en un point a est la limite du taux d'accroissement de f lorsque x tend vers a.

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Dérivabilité à droite

Une fonction f est dérivable à droite en x0 si la limite du taux d'acroissement à droite de x0 existe et est finie.

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Dérivabilité à gauche

Une fonction f est dérivable à gauche en x0 si la limite du taux d'accroissement à gauche de x0 existe et est finie.

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Dérivabilité implique la continuité

Si une fonction f est dérivable au point a, alors elle est continue en a. Cela signifie qu'il n'y a pas de saut ni de trou dans la courbe de la fonction au point a.

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Fonction dérivable

Une fonction f est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chaque point de l'intervalle. On peut alors définir la fonction dérivée f', qui donne la dérivée de f en chaque point de l'intervalle.

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Formule de la somme des termes d'une suite géométrique

Une suite géométrique de raison q et de premier terme v0, où Sn représente la somme des termes de la suite jusqu'au terme vn.

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Suites adjacentes: définition

Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante et leur différence tend vers 0 à l'infini.

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Définition de la limite d'une fonction.

Une fonction f admet en x0 la limite l si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l est inférieure à epsilon dès que la distance entre x et x0 est inférieure à eta et non nulle.

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Définition de la limite à droite d'une fonction.

Une fonction f admet en x0 à droite la limite l1 si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l1 est inférieure à epsilon dès que x est supérieur à x0 et la distance entre x et x0 est inférieure à eta.

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Définition de la limite à gauche d'une fonction.

Une fonction f admet en x0 à gauche la limite l2 si pour tout epsilon positif, il existe un eta positif tel que pour tout x dans l'intervalle I, la distance entre f(x) et l2 est inférieure à epsilon dès que x est inférieur à x0 et la distance entre x et x0 est inférieure à eta.

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Fonction argth

La fonction argument tangente hyperbolique, notée Argth, est la fonction inverse de la fonction tangente hyperbolique (th).

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Domaine de définition d'Argth

La fonction Argth est définie sur l'intervalle ]-1, 1[ et est dérivable sur cet intervalle.

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Dérivée de Argth

La dérivée de la fonction Argth est donnée par la formule : Argth'(x) = 1/(1 - x²) pour tout x dans l'intervalle ]-1, 1[.

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Fonction Argch

La fonction argument cosinus hyperbolique, notée Argch, est la fonction inverse de la fonction cosinus hyperbolique (ch).

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Domaine de définition d'Argch

La fonction Argch est définie sur l'intervalle ]1, +∞[ et est dérivable sur cet intervalle.

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Dérivée de Argch

La dérivée de la fonction Argch est donnée par la formule : Argch'(x) = 1/√(x² - 1) pour tout x dans l'intervalle ]1, +∞[.

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Fonction Argsh

La fonction argument sinus hyperbolique, notée Argsh, est la fonction inverse de la fonction sinus hyperbolique (sh).

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Domaine de définition d'Argsh

La fonction Argsh est définie sur l'ensemble des réels R et est dérivable sur cet ensemble.

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Fonction continue

Une fonction est continue sur un intervalle fermé si elle est continue en chaque point de l'intervalle.

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Théorème de Rolle

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[ et si f(a) = f(b), alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f'(c) = 0.

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Théorème des accroissements finis

Si une fonction f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe un point c dans ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = (b - a) f'(c).

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Règle de l'Hospital

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur ]a, b[ (sauf peut-être en x0) et si limx→x0 [f(x)/g(x)] est une forme indéterminée (0/0 ou ∞/∞) et si limx→x0 [f'(x)/g'(x)] = l, alors limx→x0 [f(x)/g(x)] = l.

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Fonction hyperbolique

Une fonction est dite hyperbolique si elle est définie à partir des fonctions sinus et cosinus hyperboliques.

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Convergence d'une suite

La suite (un) converge vers L si pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N on a |un - L| < ε.

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Limite d'une fonction

La limite d'une fonction f(x) en x0 est L si pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que si 0 < |x - x0| < δ alors |f(x) - L| < ε.

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Polynôme de Taylor

Un polynôme de Taylor d'ordre n en a d'une fonction f est une approximation polynomiale de f autour du point a. Il prend en compte les dérivés de f jusqu'à l'ordre n.

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Reste de Taylor

Le reste de Taylor d'ordre n en a d'une fonction f est la différence entre la valeur réelle de f et son approximation polynomiale de Taylor d'ordre n.

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Développement limité

Une fonction f admet un développement limité d'ordre n en a s'il existe un polynôme Pn tel que l'erreur entre f et Pn soit négligeable devant (x-a)^n.

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Reste de Taylor intégral

Le reste de Taylor d'ordre n en 0 d'une fonction f est donné par l'intégrale de la dérivée (n+1)-ième de f pondérée par (x-t)^n.

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Fonction de classe C^(n+1)

Une fonction f de classe C^(n+1) admet un développement limité d'ordre n en 0 si elle est dérivable n+1 fois et sa dérivée (n+1)-ième est continue.

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Opérations sur les développements limités

On peut effectuer des opérations sur les développements limités, comme les additions et les multiplications, en utilisant les développements limités des fonctions correspondantes.

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Study Notes

Cours de Géométrie et Algèbre

  • Le cours est donné par Fatima Ezzahra Fikri
  • Le cours couvre les Suites, Limites des fonctions numériques de la variable réelle, Fonctions Continues, Fonctions dérivables, Fonctions hyperboliques, Développements Limités, Etudes de courbes paramétriques.

Les Suites

  • Une suite est une application u de N dans R.
  • Pour n∈ N, u(n) est noté un et est appelé le n-ième terme ou terme général de la suite.
  • Exemple 1: (√n)n≥0 est la suite de termes 0, 1, √2, √3, ...
  • Exemple 2: (-1)n est la suite de termes +1, -1, +1, -1, ...
  • Définition:
    • Une suite (un)n∈N est majorée si ∃M ∈ R :∀n ∈ N un ≤ M
    • Une suite (un)n∈N est minorée si ∃m ∈ R :∀n ∈ N un ≥ m
    • Une suite (un)n∈N est bornée si elle est majorée et minorée.
  • Définition:
    • Une suite (un)n∈N est croissante si ∀n ∈ N : un+1 ≥ un.
    • Une suite (un)n∈N est décroissante si ∀n ∈ N : un+1 ≤ un.
    • Une suite (un)n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Limites des fonctions numériques de la variable réelle

  • Définition: La suite (un)n∈N a pour limite / ∈ R si : pour tout ɛ > 0, il existe un entier naturel no tel que si n ≥ no alors |un – I| ≤ ε.

  • Défination:

    • La suite (un)n∈N tend vers +∞ et on note limn→+∞ Un = +∞ si : ∀A > 0 ∃no ∈ N (∀n ∈N) (n ≥ no ⇒ Un > A)
    • La suite (Un)n∈N tend vers -∞ et on note limn→+∞ Un = -∞ si : ∀A > 0 ∃no ∈ N (∀n ∈N) (n ≥ no ⇒ un < -A)
  • Définition: Une suite (un) n∈N est convergente si elle admet une limite. Elle est divergente sinon

  • Proposition: Si une suite est convergente, sa limite est unique. Toute suite convergente est bornée.

Suites arithmétiques

  • Une suite (un)nen est arithmétique s'il existe un nombre r tel que Un+1 = Un + r pour tout n.
  • Le nombre r est appelé raison de la suite.
  • Proposition: Soit (Un)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Alors pour tout entier naturel n, Un = uo + nr. Un = Up + (n − p)r
  • Proposition: Soient (un)n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 et Sn = U0 + U1 + U2 + ... + un. Alors Sn = (n+1)/2 (U0 + Un)

Suites géométriques

  • Une suite (Vn)nen est géométrique s'il existe un nombre q tel que Vn+1 = qVn pour tout n.
  • Le nombre q est appelé raison de la suite
  • Proposition: Soit (Vn) n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme vo. Alors pour tout entier naturel n, Vn = qnvo. Vn = qn-PVp

Fonctions Continues

  • Définition : Soit xo ∈ I (un intervalle de R). f admet en xo la limite / si : ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − xo| < η ⇒ |f(x) – I\ < ε]
  • Définition f(x)= f(x0) (ou f(x)).
  • Définition : Soit f une fonction numérique sur un intervalle I de R. f est uniformément continue sur I si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x′ ∈ I [0 < |x − x'\ < n = |f(x) − f(x')\ < ε]

Théorème des valeurs Intermédiaires

  • Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1 < x2 deux éléments de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f(x1) et f(x2), il existe X0 ∈]X1, X2[ tel que f(x0) = c.

Théorème du point fixe.

  • Théorème : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point xo ∈ [a, b] tel que f(x) = xo.

Fonctions d'ordre n

  • Théorème : Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f'(c)
  • Définition : Soient f: I → R et a∈I. f est dérivable au point a si limx→a [f(x) – f(a)] / (x – a) existe et est finie, et on le note f'(a)..

Fonctions convexes

  • Définition : f : [a, b] → R est une fonction convexe si pour tout x, y ∈ [a, b] et tout λ∈ [0, 1] on a: f(x + (1-λ)y) ≤ f(x) + (1 − λ)f(y)

Fonctions hyperboliques

  • Définition: chx = (ex + e-x) / 2, shx = (ex − e-x) / 2, thx = shx / chx

Fonctions hyperboliques réciproques

  • Définition: Argsh, Argch, Argth

  • Proposition: La fonction Argsh, Argch, Argth sont dérivables

Développement des fonctions usuelles

  • Les développements limités des fonctions usuelles (ex, (1+x)a, sinx, cosx, sinhx, coshx, ln(x+1)) au voisinage de 0 sont donnés.

Fonctions équivalentes

  • Définition: f ~ g (f et g sont équivalents au voisinage de xo) si limx→xo [f(x) - g(x)] / (x – xo) = 0
  • Exemples: -sin(x) ~ x -tan(x) ~ x -ln(1+x) ~ x -ex−1 ~ x

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