Geometria pre grafikov (1) - Obsah

Metóda používaná v geometrii, ktorá prevádza geometrické problémy na algebraické úlohy, rieši tieto úlohy a potom interpretuje výsledky geometricky.

V analytickej geometrii sa geometrické objekty reprezentujú pomocou čísiel, ako sú súradnice, a vzťahov medzi nimi, ako sú rovnice a nerovnice.

Základné kroky používané pri riešení geometrického problému metódou analytickej geometrie. Zahŕňajú preloženie geometrického problému na algebraický, vyriešenie algebraického problému a interpretáciu výsledku geometricky.

Priama čiara prechádzajúca vrcholom trojuholníka a kolmá na opačnú stranu.

Zvolený systém súradníc na určovanie polôh bodov v rovine.

Súradnice vrcholov trojuholníka v zvolenej sústave súradníc.

Rovnica popisujúca polohu priamky, ktorá predstavuje výšku trojuholníka.

Spoločná riešenie všetkých rovníc výšok trojuholníka znamená, že všetky výšky sa stretávajú v jednom bode.

Vektor je určený rozdielom dvoch bodov.

Ak má bod A súradnice (a1, a2, a3) a bod B súradnice (b1, b2, b3), tak vektor B − A má súradnice (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).

Nulový vektor je vektor s nulovou dĺžkou a smerom.

Vektor B − A je nulový práve vtedy, keď A = B.

Vektor je určený triedou orientovaných úsečiek, ktoré sú navzájom rovnako dlhé a rovnako orientované.

Orientovaná úsečka reprezentuje vektor.

Vzťah orientovanej úsečky a vektora je podobný ako vzťah zlomku a racionálneho čísla.

Vektor je abstraktný koncept, nie je to konkrétna orientovaná úsečka.

Vektorová zložka (smerový priestor) roviny je generovaná ľubovoľnými dvomi lineárne nezávislými smerovými vektormi roviny.

Vektory b = B − A, c = C − A, d = D − A sú lineárne závislé práve vtedy, keď body A, B, C, D ležia v rovine (sú komplanárne).

Ak A∈α a u∈V(alpha) je nenulový vektor, tak priamka Au leží v rovine α.

Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, keď každý smerový vektor priamky je smerovým vektorom roviny: p || α ⇔ V(p) ⊂ V(α)

Roviny sú navzájom rovnobežné práve vtedy, keď majú rovnaké smerové vektory: α || β ⇔ V(α) = V(β)

V E3 je daný bod A a lineárne nezávislé vektory b,c,d. Tieto tvoria bázu vektorového priestoru V(A, b, c, d).

Význam súradnicového systému v geometrii je v tom, že umožňuje reprezentovať body v priestore pomocou čísel. Pomocou súradníc môžeme presne určiť polohu bodu a následne vykonať geometrické výpočty.

Základná myšlienka spočíva v tom, že zvolíme takú súradnicovú sústavu, ktorá bude čo najviac prispôsobená danému geometrickému útvaru (napríklad trojuholníku). Tým sa zjednodušia rovnice a následné výpočty.

Pri zvolení vhodného súradnicového systému sa vrcholy trojuholníka môžu nachádzať na osiach súradnicového systému, čím sa zjednodušia ich súradnice.

Rovnice výšok trojuholníka predstavujú rovnice priamok, ktoré sú kolmé na strany trojuholníka a prechádzajú ich protilehlými vrcholmi.

Hlavným cieľom je dokázvať, že výšky trojuholníka (kolmé na strany trojuholníka a prechádzajúce protilehlými vrcholmi) sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholníka.

Ak nájdeme aspoň jeden bod, ktorý vyhovuje všetkým trom rovniciam výšok, znamená to, že všetky tri výšky sa pretínajú v tomto bode. Tým je dôkaz kompletne zrealizovaný.

Ortocentrum je bod, v ktorom sa pretínajú všetky tri výšky trojuholníka. Toto zistenie je dôležité pre pochopenie vlastností geometrických tvarov, najmä trojuholníkov.

Dokázanie existencie ortocentra je dôležité, pretože to potvrdzuje, že výšky trojuholníka majú jeden spoločný bod. Toto je jeden z kľúčových geometrických vlastností trojuholníkov.

Pre dané vektory A a B, bod A + t(B − A) leží na priamke AB. Táto podmienka vyžaduje, aby podpriestor obsahujúci dva body A a B, obsahoval aj priamku nimi určenú. Podpriestory tak preberajú vlastnosť priamky, že spájajú dva body do jednej entity.

Vektorový súčet dvoch vektorov predstavuje posunutie bodu vzhľadom na začiatok súradnicového systému. Každý bod v priestore môže byť vyjadrený ako posunutie od počiatku.

Sústava súradníc je definovaná bodom (začiatkom) a bázou vektorovej zložky priestoru, čím sa vytvára systém na jednoznačnú identifikáciu polohy bodov v priestore.

Sústava súradníc je definovaná bodom (začiatkom), trima lineárne nezávislými vektormi (súradnicovými vektormi) a tromi priamkami nimi určenými (súradnicovými osami) v 3D priestore.

Polohový vektor bodu určuje jeho polohu v priestore vzhľadom na začiatok sústavy súradníc. Smer a dĺžka vektora predstavujú polohu bodu v priestore.

V Euklidovskom priestore E3 pre každý bod X existuje presne jedna trojica čísel (u,v,w) v R3, ktorá reprezentuje bod X ako lineárnu kombináciu bodu A a vektorov b, c, d. To znamená, že každý bod v E3 možno jednoznačne vyjadriť s pomocou bodu A a vektorov b, c, d.

Vektorový priestor V(E3) pozostávajúci zo všetkých vektorov v trojrozmernom Euklidovskom priestore je priestor s dimenziou 3. To znamená, že môžeme nájsť 3 lineárne nezávislé vektory, ktoré dokážu generovať ľubovoľný vektor v V(E3).

Množina bodov A + U je množina bodov, ktoré dostaneme tak, že k bodu A pripočítame všetky vektory z vektorového podpriestoru U. Napríklad, ak U je priamka, A + U predstavuje priamku posunutú o vektor A.

Vektorová zložka podpriestoru α = A + U je vektorový priestor U. Dimenzia podpriestoru α sa rovná dimenzii jeho vektorovej zložky U.

Každý bod X v euklidovskom priestore E3 patrí do A + U práve vtedy, keď vektor X − A je z U. Inými slovami, X je v A + U, keď ho posunutím o vektor −A dostaneme vektor, ktorý je z vektorového priestoru U.

Priamky a roviny v E3 možno chápať ako jednorozmerné a dvojrozmerné podpriestory, kde A je bod na priamke alebo v rovine a V(p) alebo V(α) je ich vektorová zložka.

Ak máme nenulový vektor u z vektorového priestoru U, bod B = A + u a priamku p = 〈AB〉, potom je smer V(p) generovaný vektorom u. To znamená, že priamka p je reprezentáciou U posunutej bodom A.

Podpriestor U generovaný vektorom u. Posunuté o bod A poskytuje priamku, ktorá zodpovedá podpriestoru U.