Geometria Analitica: Piani nello Spazio

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Questions and Answers

L'equazione cartesiana di un piano nello spazio è ottenuta imponendo che il determinante di una matrice sia uguale a zero. Qual è il rango di questa matrice per i punti che giacciono sul piano?

  • 2 (correct)
  • 1
  • 4
  • 3

Qual è la relazione tra il vettore perpendicolare ad un piano e i suoi vettori direttori?

  • Sono ortogonali (correct)
  • Sono linearmente dipendenti
  • Non c'è una relazione specifica
  • Sono paralleli

Se due piani sono paralleli, cosa possiamo dire dei loro vettori perpendicolari?

  • Sono uguali o proporzionali (correct)
  • Sono paralleli
  • Sono ortogonali
  • Sono linearmente indipendenti

Dato un piano α : ax + by + cz + d = 0, quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al vettore   a  b ?

<p>È un vettore perpendicolare a α (A)</p> Signup and view all the answers

Quali due punti su un piano sono necessari per ottenere un vettore direttore del piano?

<p>Due punti qualsiasi sul piano (D)</p> Signup and view all the answers

Quali conclusioni possiamo trarre se un piano ha due diversi insiemi di equazioni parametriche?

<p>Le equazioni rappresentano piani diversi (D)</p> Signup and view all the answers

Due piani hanno la stessa equazione cartesiana ma con coefficienti diversi. Cosa possiamo dire di questi piani?

<p>I piani coincidono (C)</p> Signup and view all the answers

Se un piano è parallelo ad un altro piano di equazione ax + by + cz + d = 0, quale sarà la sua equazione cartesiana?

<p>ax + by + cz + e = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti rappresentazioni è corretta per le equazioni cartesiane di una retta nello spazio?

<p>ax + by + cz + d = 0, ex + fy + gz + h = 0, con a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni riguardo al Teorema di Rouché-Capelli è vera nell'ambito delle equazioni cartesiane di una retta nello spazio?

<p>Il teorema afferma che il sistema ammette ∞1 soluzioni, poiché la retta ha dimensione 1. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il significato geometrico della condizione rg   = 1, dove   è la matrice 3 × 2 che rappresenta la relazione tra il vettore direzione e il vettore P1 − P2?

<p>I due vettori sono linearmente dipendenti, quindi P1 e P2 appartengono alla stessa retta. (A)</p> Signup and view all the answers

Quali sono le equazioni parametriche di una retta nello spazio?

<p>x = x0 + tℓ , y = y0 + tm, z = z0 + tn, con t ∈ R (B)</p> Signup and view all the answers

Quale dei seguenti è un vettore direzione per la retta r :   + Span  ?

<p>  (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni sul rango della matrice 3 × 2   è vera?

<p>Il rango può essere 0, 1 o 2 a seconda dei valori di x, y, z. (B)</p> Signup and view all the answers

Quali sono le equazioni cartesiane della retta passante per i punti P1 = (1, 2, 3) e P2 = (4, 5, 6)?

<p>x − 1 = y − 2 = z − 3 (A)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti equazioni rappresenta un piano che contiene la retta r :   + Span  ?

<p>x + 2y − z = 0 (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione parametrica della retta r in termini di t?

<p>x = 1 + 2t (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti espressioni rappresenta l'equazione cartesiana della retta r?

<p>x + 2z - 5 = 0 (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione parametrica del piano α?

<p>y = 2 + t (A), z = 0 + t (C), x = -1 + t (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione cartesiana del piano α?

<p>x + y - z - 1 = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è il vettore direttore della retta r?

<p>(3, -1, 2) (B)</p> Signup and view all the answers

Quale è il punto P attraverso il quale passa la retta r?

<p>(-1, -1, 2) (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti opzioni rappresenta una delle equazioni parametriche errate del piano α?

<p>x = t + 1 (A), x = -1 + 2l (B)</p> Signup and view all the answers

Che relazione esiste tra le equazioni parametriche della retta r e il valore di t?

<p>t rappresenta una variabile di controllo per la retta (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizione affinché un piano non intersechi una sfera?

<p>d(C, α) &gt; r (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione cartesiana di una sfera con centro C e raggio r?

<p>(x - xC)^2 + (y - yC)^2 + (z - zC)^2 = r^2 (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresentano i parametri a, b, c, d nell'equazione della sfera?

<p>I coefficienti della sfera e delle sue proprietà geometriche (C)</p> Signup and view all the answers

Quando un piano è tangente a una sfera?

<p>Quando d(C, α) = r (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la forma per trovare l'equazione di una sfera data da quattro punti non complanari?

<p>Utilizzare il Teorema di Cramer (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo alla distanza punto-pano?

<p>La distanza è sempre positiva o zero (A)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni sulla sfera è vera?

<p>Esiste solo una sfera che può toccare un piano in un punto (C)</p> Signup and view all the answers

Quando è valida l'equazione x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0?

<p>Solo se rappresenta una sfera (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione cartesiana del piano α che passa per i punti A, B e C?

<p>x - y - 4z + 3 = 0 (D)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti opzioni rappresenta un vettore direttore del piano α?

<p>(-1, 1, 1) (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione cartesiana del piano parallelo a α e passante per l'origine?

<p>x - 2y + 5z = 0 (C)</p> Signup and view all the answers

Che forma ha l'equazione cartesiana del piano che passa per il punto P e ha un vettore perpendicolare (1, 3, -2)?

<p>x + 3y - 2z + 1 = 0 (A)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo le rette r e s?

<p>Le rette r e s sono sghembe. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è la direzione del vettore ottenuto da C - A?

<p>(-1, 1, 0) (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è il valore di d nell'equazione del piano parallelo a α?

<p>0 (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'equazione della retta r in forma parametrica?

<p>x = 1 + t, y = 1 - t, z = 1 + 2t (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è falsa riguardo a un piano α definito da P0 + Span(v1, v2)?

<p>α è un insieme di punti che possono essere rappresentati da un'unica equazione cartesiana. (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa significa che i vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti?

<p>v1 e v2 non possono essere espressi come multipli scalari l'uno dell'altro. (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresentano le equazioni parametriche di un piano?

<p>Un'espressione esplicita per ogni punto del piano in termini di due parametri liberi. (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle equazioni cartesiane di un piano?

<p>Le soluzioni dell'equazione rappresentano tutti i punti che si trovano nel piano. (D)</p> Signup and view all the answers

Perché un piano è un sottospazio vettoriale dello spazio?

<p>Perché è un insieme di punti che possono essere espressi come combinazione lineare di due vettori indipendenti. (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la dimensione di un piano?

<p>2 (A)</p> Signup and view all the answers

Se un piano α è definito da P0 + Span(v1, v2), quale delle seguenti condizioni è necessaria per assicurarsi che α passi per l'origine?

<p>P0 deve essere il vettore nullo. (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle equazioni parametriche e cartesiane di un piano?

<p>Le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane rappresentano lo stesso piano ma con diverse forme. (D)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Sottoinsieme dello spazio della forma

Un insieme di punti che si forma utilizzando combinazioni lineari di vettori.

Span(v1, v2)

Insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori v1 e v2.

Vettori direttori

Vettori linearmente indipendenti che definiscono direzioni in uno spazio.

Equazioni parametriche

Equazioni che descrivono tutte le posizioni di un piano variando parametri t1 e t2.

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Equazioni cartesiane

Equazione che determina se un punto giace su un piano: ax + by + cz + d = 0.

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Teorema di Rouché-Capelli

Teorema che descrive le condizioni sulle soluzioni di sistemi di equazioni lineari.

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Combinazione lineare

Somma pesata di vettori, utilizzando coefficienti reali.

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Dimensione del piano

Il piano ha dimensione 2, il che implica che è definito da 2 vettori non allineati.

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Equazione cartesiana di un piano

L'equazione generale di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0.

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Vettore perpendicolare

Un vettore che è ortogonale a un piano, rappresentato da (a, b, c).

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Span di vettori

L'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori, come v1 e v2.

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Determinante zero

Quando il determinante della matrice è zero, indica che i vettori sono linearmente dipendenti.

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Equazione parallela

Due piani paralleli hanno la stessa forma ax + by + cz + k = 0, cambiando solo d.

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Condizione di appartenenza al piano

Un punto appartiene al piano se soddisfa l'equazione ax + by + cz + d = 0.

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Rango di una matrice

Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti nella matrice.

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Dimensione di una retta

La retta ha dimensione 1 perché è unidimensionale.

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Intersezione di piani

Modello geometrico per visualizzare una retta nello spazio.

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Sistemi di equazioni

Gruppo di equazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente.

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Distanza punto-piano

Distanza da un punto a un piano α, considerando un punto P sulla retta r.

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Distanza tra piani paralleli

Distanza costante tra due piani paralleli α e β, misurata da un punto su α a β.

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Distanza tra oggetti incidenti

La distanza tra oggetti che si intersecano è 0.

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Sfera in R3

Insieme di punti che distano r dal punto centrale C in uno spazio tridimensionale.

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Equazione cartesiana della sfera

Equazione di una sfera data da (x − xC)² + (y − yC)² + (z − zC)² = r².

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Condizione per sfera

Una sfera esiste se 4a² + 4b² + 4c² - d ≥ 0 dal suo sistema di equazioni.

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Intersezione sfera-piano

Intersezione tra una sfera e un piano può essere vuota, un punto, o una circonferenza.

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Teorema di Cramer

Teorema che garantisce un’unica soluzione per un sistema di equazioni lineari.

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Piano α

Piano definito dai punti A, B e C in uno spazio tridimensionale.

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Determinante del piano

Calcolo del determinante per trovare l'equazione cartesiana di un piano.

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Equazione cartesiana del piano

Forma generale dell'equazione di un piano: ax + by + cz + d = 0.

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Piano parallelo

Piano con la stessa inclinazione di un altro, differente solo nella posizione.

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Rette sghembe

Due rette che non si intersecano e non sono parallele.

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Passaggio per un punto

Il criterio per determinare se un piano passa per un punto specifico.

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Equazioni parametriche della retta

Equazioni che descrivono un insieme di punti su una retta utilizzando un parametro.

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Equazione cartesiana della retta

Equazione che esprime la retta in forma ax + by + cz + d = 0.

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Punto P nella geometria

Un punto specifico attraverso cui passa la retta o il piano.

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Equazioni parametriche del piano

Equazioni che rappresentano punti su un piano usando due parametri.

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Determinante nella geometria

Un valore che indica se i vettori sono linearmente indipendenti o meno.

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Parametri nella geometria dello spazio

Variabili che determinano le posizioni dei punti nelle equazioni parametriche.

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Study Notes

Spazio Tridimensionale

  • Uno spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale di dimensione 3.
  • Si lavora tipicamente con R³.
  • Le coordinate sono espresse rispetto alla base canonica, se non specificato diversamente.
  • I sottospazi vettoriali Span(e₁), Span(e₂), Span(e₃) corrispondono agli assi x, y, z rispettivamente.
  • Un vettore in R³ è rappresentato da un punto nello spazio.
  • La distanza tra due punti P₁ e P₂ si calcola con il Teorema di Pitagora: √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²)
  • Il punto medio tra due punti P₁ e P₂ si ricava con la formula: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2).

Piani nello Spazio

  • Un piano a nello spazio è un sottospazio affine di dimensione 2.
  • Ha la forma: P₀ + Span(v₁, v₂), dove P₀ è un punto dello spazio e v₁, v₂ sono vettori linearmente indipendenti, detti vettori direttori.
  • I vettori direttori generano il piano.
  • Per tre punti non allineati passa un unico piano.
  • Equazioni parametriche di un piano: {x = x₀ + t₁l₁ + t₂l₂, y = y₀ + t₁m₁ + t₂m₂, z = z₀ + t₁n₁ + t₂n₂}
  • Equazioni cartesiane di un piano sono della forma: ax + by + cz + d = 0, dove a, b, c, d sono costanti.

Prodotto Vettoriale

  • Il prodotto vettoriale di due vettori v e w in R³ è un nuovo vettore v∧w, perpendicolare sia a v che a w.
  • È calcolato tramite un determinante.
  • Il prodotto vettoriale non è commutativo (v∧w = - (w∧v)).
  • Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono linearmente dipendenti (proporzionali).

Rette nello Spazio

  • Una retta r nello spazio è un sottospazio affine di dimensione 1.
  • Ha la forma: P₀ + Span(v), dove P₀ è un punto dello spazio e v è il vettore direttore.
  • Per due punti distinti passa un'unica retta.
  • Equazioni parametriche di una retta: {x = x₀ + tl, y = y₀ + tm, z = z₀ + tn}
  • Equazioni cartesiane di una retta sono date da un sistema di due equazioni piane.

Distanze nello Spazio

  • La distanza tra due punti P₁ e P₂ si calcola usando la formula della distanza euclidea.
  • La distanza tra un punto e un piano.
  • La distanza tra due rette parallele.
  • La distanza tra due rette sghembe.
  • La distanza tra un piano e una retta parallela al piano.
  • Le formule per la distanza tra altri oggetti spaziali si basano sull'idea di perpendicolarità.

Sfere

  • Una sfera è l'insieme di tutti i punti che hanno la stessa distanza da un punto centrale chiamato centro.
  • Questa distanza è il raggio della sfera.
  • L'equazione di una sfera ha la forma: (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r².

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