गणित में वास्तविक संख्याओं के गुण

Study Notes

Commutative Property: The order of real numbers does not change the result of addition and multiplication.
- a + b = b + a
- a × b = b × a
Associative Property: The order in which real numbers are added or multiplied does not change the result.
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
Distributive Property: Real numbers can be distributed over addition.
- a × (b + c) = a × b + a × c
Existence of Additive and Multiplicative Identities: There exist real numbers 0 and 1, such that:
- a + 0 = a
- a × 1 = a
Existence of Additive and Multiplicative Inverses: For each real number a, there exist real numbers -a and 1/a, such that:
- a + (-a) = 0
- a × (1/a) = 1

Definition: An irrational number is a real number that cannot be expressed as a finite decimal or fraction.
Examples: π, e, √2, ...
Properties:
- Irrational numbers are non-repeating and non-terminating.
- Irrational numbers cannot be expressed as a simple fraction (p/q, where p and q are integers).
- Irrational numbers can be represented as infinite non-repeating decimals.

Measurement: Real numbers are used to measure physical quantities like length, area, volume, and temperature.
Algebra: Real numbers are used to solve algebraic equations and inequalities.
Geometry: Real numbers are used to define geometric shapes and calculate their properties (e.g., perimeter, area).
Calculus: Real numbers are used to study rates of change, limits, and functions.
Science and Engineering: Real numbers are used to model and analyze natural phenomena, design systems, and optimize processes.

commutative गुणधर्म: वास्तविक संख्याओं के जोड़ने और गुणा करने के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता।
- a + b = b + a
- a × b = b × a
एसोसिएटिव गुणधर्म: वास्तविक संख्याओं के जोड़ने और गुणा करने के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता।
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
वितरण गुणधर्म: वास्तविक संख्याओं को जोड़ने पर वितरण किया जा सकता है।
- a × (b + c) = a × b + a × c
प्रतिवर्ण और गुणा पहचान का अस्तित्व: वास्तविक संख्याओं में 0 और 1 ऐसे संख्याएं हैं, जिनके लिए:
- a + 0 = a
- a × 1 = a
प्रतिवर्ण और गुणा उलटा का अस्तित्व: प्रत्येक वास्तविक संख्या a के लिए ऐसी संख्याएं -a और 1/a हैं, जिनके लिए:
- a + (-a) = 0
- a × (1/a) = 1

परिभाषा: अविज्ञात संख्या वह वास्तविक संख्या है जिसको परिमित दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
उदाहरण: π, e, √2,...
गुणधर्म:
- अविज्ञात संख्याएं अनन्त और दोहराई हुई नहीं हैं।
- अविज्ञात संख्याओं को सरल भिन्न (p/q, जहां p और q पूर्णांक हैं) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
- अविज्ञात संख्याओं को अनन्त दोहराई हुई दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।

माप: वास्तविक संख्याओं का उपयोग भौतिक राशियों जैसे लंबाई, क्षेत्र, आयतन और तापमान के मापन में किया जाता है।
बीजगणित: वास्तविक संख्याओं का उपयोग बीजगणितीय समीकरण और असमानताओं के हल में किया जाता है।
ज्यामिति: वास्तविक संख्याओं का उपयोग ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषा और गुणों (जैसे परिधि, क्षेत्र) की गणना में किया जाता है।
कैलकुलस: वास्तविक संख्याओं का उपयोग परिवर्तन दर, सीमा और फलनों के अध्ययन में किया जाता है।
विज्ञान और अभियांत्रिकी: वास्तविक संख्याओं का उपयोग प्राकृतिक घटनाओं के मॉडलिंग और विश्लेषण, सिस्टम डिजाइन और प्रक्रिया अनुकूलन में किया जाता है।

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