Funkcje: Definicje i własności

• Wykład "Matematyka. Część 1" autorstwa Michała Jabłonowskiego.

Zasady Zaliczenia Przedmiotu

• Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń z oceną co najmniej 3.
• Na egzaminie nie można korzystać z kalkulatorów, telefonów, tablic ani ściąg.
• Egzamin to test wyboru z 25 pytaniami, gdzie wybiera się jedną poprawną odpowiedź z czterech podanych.
• Ocena końcowa jest przeliczana ze standardowej tabeli procentowej efektów uczenia się.
• Aby zdać egzamin, trzeba uzyskać minimum 51% maksymalnej liczby punktów, czyli co najmniej 13 poprawnych odpowiedzi.
• Niezaliczenie egzaminu lub ćwiczeń skutkuje oceną niedostateczną. Osoby, które zaliczyły ćwiczenia, a nie zdały egzaminu, mają prawo do jednego egzaminu poprawkowego.
• Kontakt z dr. Michałem Jabłonowskim jest możliwy przez pokój A220, wydział MFil, lub e-mail: [email protected].

Pojęcia Wstępne i Zbiory Liczbowe

• L ∧ P oznacza "L i P", L ∨ P oznacza "L lub P".
• ¬P oznacza "nieprawda, że P".
• L ⇒ P oznacza "jeżeli L, to P".
• L ⇔ P oznacza "L wtedy i tylko wtedy, gdy P".
• a ∈ A oznacza "element a należy do zbioru A".
• {a ∈ A : P(a)} lub {a ∈ A | P(a)} to zbiór wszystkich a z A, dla których P(a) jest prawdziwa.
• ∅ oznacza zbiór pusty.
• A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} Suma zbiorów A i B.
• A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Przekrój zbiorów A i B.
• A \ B = {x : x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)} Różnica zbiorów A i B.
• Ac = X \ A Dopełnienie zbioru A w przestrzeni X. –(P ∧ L) = ¬P ∨ ¬L. –(P ∨ L) = ¬P ∧ ¬L. –(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. –(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
• Zbiór liczb naturalnych N = {0, 1, 2, ...} (czasami N = {1, 2, ...}).
• Zbiór liczb całkowitych Z = {0, 1, -1, 2, -2, ...}.
• Zbiór liczb wymiernych Q = {x : x = p/q, p ∈ Z, q ∈ Z \ {0}}.
• Zbiór liczb rzeczywistych R to zbiór wszystkich punktów na prostej.

Kwantyfikatory

• ∃x P(x) (kwantyfikator szczegółowy) oznacza "istnieje takie x, że P(x) jest prawdziwe".
• ∀x P(x) (kwantyfikator ogólny) oznacza "dla każdego x, P(x) jest prawdziwe".
• ∃S(x) P(x) oznacza ∃x (S(x) ∧ P(x)).
• ∀S(x) P(x) oznacza ∀x (S(x) ⇒ P(x)).
• Równość zbiorów A i B: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
• Zawieranie zbioru A w B: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B); A jest podzbiorem B.
• ¬(∃S(x) P(x)) ⇔ ∀S(x) (¬P(x)).
• ¬(∀S(x) P(x)) ⇔ ∃S(x) (¬P(x)).
• Przykłady zdań prawdziwych:
• ∀x∈R x² ≥ 0.
• ∃t∈Z t³ + 1 = 0.
• ∃x∈R (x² ∈ Q ∧ x³ ∉ Q).
• ∀n∈Z{0} ∃x∈Q n ⋅ x = 1.

Funkcje

• Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y przyporządkowuje każdemu elementowi x z X dokładnie jeden element y z Y, zapisywane jako f(x) = y, gdzie x to argument funkcji f.
• Dziedzina funkcji: Df = {a: ∃b f(a) = b} — zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona.
• Zbiór wartości funkcji: Zf = {b : ∃a f(a) = b} — zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje.
• Wykres funkcji: {(x, f(x)) : x ∈ Df } ⊂ X × Y.
• Funkcja różnowartościowa: ∀x1,x2∈DF (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)).
• Funkcja odwrotna f-1 spełnia: ∀x∈X ∀y∈Y (f-1(y) = x ⇔ f(x) = y). Wykres funkcji odwrotnej uzyskuje się przez symetrię względem prostej y = x.
• Zapis f : X → Y oznacza, że Df = X oraz Zf ⊂ Y, gdzie Y to przeciwdziedzina funkcji f.
• Złożeniem funkcji f i g (g ∘ f) to funkcja h : X → Z, gdzie h(x) = g(f(x)); f jest funkcją wewnętrzną, a g zewnętrzną.
• Miejsce zerowe funkcji: {x ∈ Df : f(x) = 0}.
• Funkcja rosnąca: ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)).
• Funkcja malejąca: ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)).
• Funkcja nierosnąca: ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)).
• Funkcja niemalejąca: ∀x1,x2∈A (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)).
• Funkcja monotoniczna to funkcja rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca.

Funkcje Elementarne

• Funkcja stała: f(x) = c dla każdego x.
• Funkcja wielomianowa: f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + an xⁿ, gdzie n to stopień wielomianu (an ≠ 0). Wielomian stopnia 0 lub 1 to funkcja liniowa, a stopnia 2 to funkcja kwadratowa.
• Postać funkcji wymiernej: f(x) = W(x) / G(x), gdzie W i G to wielomiany, G nie jest zerowy. Dziedzina to Df = {x ∈ R : G(x) ≠ 0}.
• Funkcja potęgowa: f(x) = xª dla a ∈ R.
• Funkcja wartość bezwzględna: f(x) = |x| = {x dla x ≥ 0, -x dla x < 0.
• Funkcja wykładnicza: f(x) = ax dla a > 0.
• Funkcja logarytmiczna: f(x) = logₐ(x) dla a ∈ R+ \ {1}.

Funkcja Logarytmiczna

• Logarytm przy podstawie a z x, oznaczany jako y = logₐ(x), jest zdefiniowany, gdy a > 0, a ≠ 1, x > 0 oraz aʸ = x.
• Standardowe oznaczenia to log(x) = log₁₀(x) oraz ln(x) = logₑ(x). Przykłady: log₂4 = 2, log 1000 = 3, log 3(9/4) = −2, ln(1/e) = −1, logₐ(1) = 0. –Określona wzorem f(x) = logₐ(x), gdzie a ≠ 1 i a > 0.
• Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej i jest różnowartościowa. Zatem logₐ(x) = logₐ(y) wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
• Własności:
• logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y).
• logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y).
• logₐ(xʸ) = y logₐ(x).
• logь(x) = logₐ(x) / logₐ(b).
• a^(logₐ(x)) = x.
• logₐ(a^x) = x.
• Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca, a dla 0 < a < 1 malejąca.

Równania i nierówności logarytmiczne i Wykładnicze

• Rozwiązuje się, wykorzystując różnowartościowość i monotoniczność funkcji.
• Należy wyznaczyć dziedzinę równania/nierówności i sprowadzić do najprostszej postaci.
• Dla a>1: logax = logay ⇔ x = y, logax ≤ logay ⇔ x ≤ y.
• Dla 0<a<1 logax = logay ⇔ x = y, logax ≤ logay ⇔ x ≥ y.
• Rozwiązuje się, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej.
• Należy sprowadzić równanie/nierówności do najprostszej postaci.
• Dla a>1 ax = ay ⇔ x = y, ax ≤ ay ⇔ x ≤ y.
• Dla 0<a<1 ax = ay ⇔ x = y, ax ≤ ay ⇔ x ≥ y.

Funkcje Trygonometryczne

• f(x) = sin(x), Df = R, Zf = [-1, 1].
• f(x) = cos(x), Df = R, Zf = [-1, 1].
• f(x) = tg(x), Df = R \ {(2k + 1)π/2 : k ∈ Z}, Zf = R.
• f(x) = ctg(x), Df = R \ {kπ : k ∈ Z}, Zf = R.
• Miara łukowa kąta to stosunek długości łuku do promienia okręgu, podawana w radianach.
• sin α = y/r, cos α = x/r, tg α = y/x, ctg α = x/y.
• cos(-x) = cos(x) to funkcja parzysta .
• sin(-x) = - sin(x), tg(-x) = - tg(x), ctg(-x) = - ctg(x) są funkcjami nieparzystymi.
• sin² x + cos² x = 1.
• tg x = (sin x) / (cos x).
• ctg x = 1 / tg x.
• cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x − 1 = 1 – 2 sin² x.

Granice Funkcji

• Sąsiedztwo punktu a ∈ R o promieniu r > 0 to zbiór Sr(a) = (a - r, a) ∪ (a, a + r).
• lim (x→a) f(x) = g oznacza, że "liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a".
• Warunek Cauchy'ego: lim (x→a) f(x) = g ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) |f(x) - g| < ε.
• Jeśli granica funkcji istnieje, to jest co najwyżej jedna.
• Znane granice:
  • lim (x→0) (sin x) / x = 1
  • lim (x→0) (1 + x)^(1/x) = e
  • lim (x→+∞) ax = {0 dla 0 < a < 1, +∞ dla a > 1}
• lim (x→a) f(x) = +∞, jeśli ∀M∈R ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) f(x) > M.
• lim (x→a) f(x) = -∞, jeśli ∀m∈R ∃δ>0 ∀x∈Sδ(a) f(x) < m.
• Jeśli istnieją granice lim (x→a) f(x) oraz lim (x→a) g(x), to:
  • lim (x→a) (f(x) ± g(x)) = lim (x→a) f(x) ± lim (x→a) g(x).
  • lim (x→a) c ⋅ f(x) = c ⋅ lim (x→a) f(x) dla c ∈ R. –lim(x→a) [f(x) ⋅ g(x)] = [lim(x→a) f(x)] ⋅ [lim(x→a) g(x)].
  • lim (x→a) [f(x) / g(x)] = [lim (x→a) f(x)] / [lim (x→a) g(x)] dla g(x) ≠ 0 w sąsiedztwie a oraz lim (x→a) g(x) ≠ 0.
  • lim (x→a) [f(x)]^[g(x)] = [lim (x→a) f(x)]^[lim (x→a) g(x)].
• Twierdzenie o dwóch funkcjach i o trzech funkcjach: –Jeśli ∀x f(x) ≤ g(x) oraz istnieją lim (x→a) f(x), lim (x→a) g(x), to lim (x→a) f(x) ≤ lim (x→a) g(x).
  • Jeśli lim (x→a) h(x) = lim (x→a) g(x) oraz ∀x h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), to lim (x→a) f(x) = lim (x→a) h(x) = lim (x→a) g(x).
• Granice jednostronne:
  • lim (x→a-) f(x) = g (granica lewostronna, x < a).
  • lim (x→a+) f(x) = g (granica prawostronna, x > a).
• Granica funkcji istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są równe granice jednostronne: lim (x→x₀) f(x) = g ⇔ lim (x→x₀-) f(x) = lim (x→x₀+) f(x) = g.
• Asymptota pionowa w punkcie a występuje, jeśli granica jednostronna w a jest niewłaściwa (±∞).
• Asymptoty ukośne: y = ax + b, gdzie a = lim (x→±∞) f(x) / x oraz b = lim (x→±∞) [f(x) - ax].

Ciągłość Funkcji

• Funkcja f jest ciągła w punkcie a, jeśli spełniony jest warunek Cauchy'ego: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈(a−δ, a+δ) |f(x) - f(a)| < ε.
• Funkcja f jest ciągła w punkcie a, jeśli lim (x→a) f(x) = f(a).
• Jeśli f i g są ciągłe w a, to f ± g, f ⋅ g, oraz f / g (o ile g(a) ≠ 0) są ciągłe w a.
• Jeśli f jest ciągła w a i g jest ciągła w f(a), to g ∘ f jest ciągła w a.
• Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła i różnowartościowa, to f⁻¹ : Y → [a, b] jest ciągła.
• Dowolna funkcja elementarna (stała, liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, wartość bezwzględna, trygonometryczna) jest ciągła w swojej dziedzinie.
• Ciągłość funkcji kawałkami definiuje się oddzielnie dla każdego przedziału.
• Jeśli f jest ciągła na przedziale [a, b], to osiąga kresy zbioru swoich wartości (twierdzenie Weierstrassa).
• Jeśli f jest ciągła na przedziale [a, b] oraz f(a) > f(b), to f przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między f(a) i f(b) (tw. Bolzano).

Pochodne Funkcji

• Pochodna funkcji f w punkcie c : lim h ->0 (f(c+h) − f(c)) / h.
• Oznaczenia pochodnej: f'(x0) = lim (h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h, f' , dy/dx, df/dx |x=x₀, d/dx (f(x)), ∂f/∂x, y', ÿ, Dxf.
• Pochodna w punkcie x₀ = współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f.
• Jeśli funkcja linowa to f'(x0) = a.
• Jeśli f'(x0) istnieje to styczna do wykresu w punkcie (x₀,f(x₀)) wyraża się wzorem: y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀).
• Pochodna lewostronna: f'(xo-) = lim h -> 0- (f(xo + h) - f(x0)) / h.
• Pochodna prawostronna: f'(xo+) = lim h -> 0+ ( f(xo + h) - f(x0)) / h.
• Funkcja jest różniczkowalna, gdy istnieją obie pochodne jednostronne i są sobie równe.
• Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b), jeżeli ma skończoną pochodną w każdym punkcie x₀ ∈ (a, b).
• Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ to jest w nim ciągła.
• (f ± g)′ = f′ ± g′.
• (cf)′ = c* df/ dx, dla c ∈ R.
• (f*g)′ = f′g + fg′.
• (1/g)′ = −g′ / g2, jeśli g(x) ≠ 0. – (f/g)′= f′∗g−f∗g′/ g2, jeśli g(x) ≠ 0.
• (x2)′ = (xx)′ = x′x + xx′ = 1x + x*1 = 2x.
• Jeśli istnieje pochodna funkcji g w punkcie x₀ oraz pochodna funkcji f w punkcie g(x₀), to (f ∘ g)′(x₀) = f′(g(x₀))*g′(x₀). –Jeśli istnieje f jest funkcją różnowartościową oraz różniczkowalną oraz f′(x₀) ≠ 0 to funkcja odwrotna jest różniczkowalna w punkcie y₀ = f(x₀): (f-1)′(y₀)= 1/ f′(x₀) .
• Dla funkcji logarytmicznej : R+{1}. –(xa)′ = a∗xa−1 i a ∈ R.
• reguła de L’Hospitala:lim (x->a) f(x) / g(x)= lim (x->a) f’(x) / g’(x).

Ekstrema i przedziały monotoniczności

• Twierdzenie Rolle’a: Jeśli f ciągła w przedziale [a, b]i różniczkowalna w przedziale (a, b)i f(a) = f(b) to istnieje taki punkt c ∈ (a,b),że f′(c) = 0. Punkt c ∈ Df nazywamy punktem krytycznym ,gdy f′(c) = 0 lub f nie jest różniczkowalna w punkcie c.
• Funkcja f ma w punkcie c maksimum lkalne ,gdy istnieje otoczenie punktu c,że f(c)>f(x).
• Funkcja f ma w punkcie c minimum lkalne ,gdy istnieje otoczenie punktu c,że f(c)<f(x).
• Wartość największa – maksimum globalne to takie M ,że ∀x∈Df , f(x)<M oraz ∃x∈Df , f(x)=M.Funkcja funkcja jest rosnąca gdy f′(x)>0.
• Wartość najmniejsza – minimum globalne to takie m ,że ∀x∈Df , f(x)>m oraz ∃x∈Df , f(x)=m.
• Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowana w przedziale (a, b). Wówczas:
• Jeśli f′(x)>0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale [a, b].
• Jeśli f′(x=0 dla każdego x ∈ (a, b),to funkcja f jest stała na tym przedziale .
• Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale [a, b] oraz punkt krytyczny c ∈ (a, b). Jeśli f jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu c to wówczas :jeśli f’ zmienia znak w punkcie c z ujemnego na dodatni, to w punkcie c jest minimum lokalne funkcji f ,jeśli f’ zmienia znak w punkcie c z dodatniego na ujemny, to w punkcie c jest maksimum lokalne funkcji f .

Całki

• Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną F to rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką (nieoznaczoną) funkcji f i oznaczamy : ∫ f(x) dx.
• Funkcję f w tym przypadku nazywamy funkcję pokcałkową, a wyrażenie dx wskazuje ,że po której całkujemy ( x).
• ∫ 0 dx = C.
• ∫ dx = ∫ 1 dx = x + C. ∫ eax dx e x + C.
• Przykłady całek:
• c∫ f(x) dx = ∫ cf(x) dx ∫(f+g)(x) dx= ∫f(x) dx+g(x) dx.
• Całkowanie przez podstawianie: ∫ f ’(g(x)) g’(x)= f(g(x)).
• Całkowanie przez części : ∫ f (x) g′(x) dx= f (x) g(x)-∫ f’(x) g(x) dx.
• Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji f (x)>0 a osią OX w przedziale [a, b],wynosi:∫ₐᵇf ( x )dx.
• Objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji wokół osi funkcyjnej (OX ) w przedziale [a,b] wynosi: ∫ₐᵇ ₌f ²( x ) dx.

Sprawdź swoją wiedzę na temat funkcji matematycznych. Quiz zawiera pytania dotyczące składania funkcji, monotoniczności, funkcji wymiernych, wykładniczych oraz asymptot. Zdobądź solidne podstawy w analizie matematycznej.