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Questions and Answers
Sea $f: X \rightarrow Y$ una función biyectiva. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe la relación entre $f$ y su función inversa $f^{-1}$ en términos de composición de funciones?
Sea $f: X \rightarrow Y$ una función biyectiva. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe la relación entre $f$ y su función inversa $f^{-1}$ en términos de composición de funciones?
- La composición $f^{-1} \circ f$ es igual a la función identidad en X, y $f \circ f^{-1}$ es igual a la función identidad en Y. (correct)
- La composición $f \circ f^{-1}$ siempre resulta en una función constante, independientemente de los conjuntos X e Y.
- Las composiciones $f \circ f^{-1}$ y $f^{-1} \circ f$ son iguales solo si f es una función lineal.
- La composición $f \circ f^{-1}$ es igual a la función identidad en X, y $f^{-1} \circ f$ es igual a la función identidad en Y.
Considere el espacio vectorial $F(X, \mathbb{R})$ de funciones reales definidas en un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$. ¿Cuál de las siguientes propiedades algebraicas NO se cumple necesariamente para este espacio con las operaciones usuales de suma y producto por un escalar?
Considere el espacio vectorial $F(X, \mathbb{R})$ de funciones reales definidas en un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$. ¿Cuál de las siguientes propiedades algebraicas NO se cumple necesariamente para este espacio con las operaciones usuales de suma y producto por un escalar?
- Existencia de un elemento neutro para la suma.
- Asociatividad del producto por un escalar.
- Conmutatividad de la suma.
- Existencia de un elemento inverso para la multiplicación. (correct)
Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua tal que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?
Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua tal que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?
- f es una función lineal, es decir, existe un escalar 'a' tal que $f(x) = ax$ para todo x. (correct)
- f es una función exponencial.
- f debe ser periódica.
- f es una función cuadrática.
Dado un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$ simétrico respecto al origen, y una función $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe la descomposición única de $f$ en funciones pares e impares?
Dado un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$ simétrico respecto al origen, y una función $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones describe la descomposición única de $f$ en funciones pares e impares?
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una función $f: I \rightarrow \mathbb{R}$, donde $I$ es un intervalo, sea convexa?
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una función $f: I \rightarrow \mathbb{R}$, donde $I$ es un intervalo, sea convexa?
Considere la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{a}{x}$, donde $a \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor su comportamiento en términos de convexidad y concavidad?
Considere la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{a}{x}$, donde $a \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor su comportamiento en términos de convexidad y concavidad?
Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función afín definida como $f(x) = ax + b$. ¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para asegurar que $f$ sea una biyección?
Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función afín definida como $f(x) = ax + b$. ¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para asegurar que $f$ sea una biyección?
Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ una función cuadrática con $a, b, c \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$. ¿Cómo afecta el signo de 'a' a las propiedades de los extremos de la función?
Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ una función cuadrática con $a, b, c \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$. ¿Cómo afecta el signo de 'a' a las propiedades de los extremos de la función?
Sea $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre un máximo relativo y un máximo absoluto de f?
Sea $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en un subconjunto $X \subseteq \mathbb{R}$. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre un máximo relativo y un máximo absoluto de f?
¿Cuál de las siguientes leyes físicas ilustra una relación funcional donde el volumen ocupado por una masa gaseosa es inversamente proporcional a la presión, manteniendo la temperatura constante?
¿Cuál de las siguientes leyes físicas ilustra una relación funcional donde el volumen ocupado por una masa gaseosa es inversamente proporcional a la presión, manteniendo la temperatura constante?
En el contexto de funciones reales, ¿cuál es la implicación de que una función sea monótona en sentido estricto?
En el contexto de funciones reales, ¿cuál es la implicación de que una función sea monótona en sentido estricto?
¿Qué característica clave distingue a las funciones lineales de otras funciones afines?
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Considere la función que describe la trayectoria de un proyectil lanzado con un ángulo inicial $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $. ¿Qué tipo de función describe la altura del proyectil en función de la distancia horizontal recorrida?
Considere la función que describe la trayectoria de un proyectil lanzado con un ángulo inicial $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $. ¿Qué tipo de función describe la altura del proyectil en función de la distancia horizontal recorrida?
Sea $f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ la función raíz cuadrada, definida como $f(x) = \sqrt{x}$. ¿Cuál de las siguientes propiedades describe mejor el comportamiento de esta función?
Sea $f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ la función raíz cuadrada, definida como $f(x) = \sqrt{x}$. ¿Cuál de las siguientes propiedades describe mejor el comportamiento de esta función?
En un circuito eléctrico con voltaje constante $V$, la ley de Ohm establece una relación entre la intensidad de la corriente $I$ y la resistencia $R$. ¿Cómo se describe esta relación en términos de proporcionalidad?
En un circuito eléctrico con voltaje constante $V$, la ley de Ohm establece una relación entre la intensidad de la corriente $I$ y la resistencia $R$. ¿Cómo se describe esta relación en términos de proporcionalidad?
Flashcards
¿Qué es una función real de variable real?
¿Qué es una función real de variable real?
Una aplicación f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R. Asocia a cada x ∈ X un único y ∈ Y.
¿Qué es el campo de definición o dominio de una función?
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El conjunto de todos los números reales que tienen una imagen definida por la función f.
¿Qué es la imagen de una función f?
¿Qué es la imagen de una función f?
El conjunto f(X), que contiene las imágenes de todos los elementos del dominio X bajo la función f.
¿Qué operaciones se realizan con funciones en F(X,R)?
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¿Qué es la composición de funciones?
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¿Cuándo una función tiene una función inversa?
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¿Cuándo una función es par o impar?
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¿Qué significa que una función sea monótona?
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¿Qué es un extremo relativo de una función?
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¿Qué es una función convexa?
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¿Qué es una función afín?
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¿Qué es una función cuadrática?
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¿Qué es una función de proporcionalidad inversa?
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¿Qué relación tienen energía cinética y velocidad?
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¿Qué establece la ley de Boyle-Mariotte?
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Study Notes
Tema 21: Funciones reales de variable real
- Capítulo dedicado a la definición de funciones reales de variable real y conceptos asociados.
- Se estudian operaciones con funciones en un subconjunto $X \subset R$.
- Se mencionan la composición de funciones, sus propiedades y funciones biyectivas con función inversa.
- Se analizan simetrías, descomposición en funciones pares e impares, monotonía, extremos absolutos y relativos, y propiedades de funciones convexas/cóncavas.
- Se recorren funciones elementales y se presentan situaciones reales donde aparecen.
21.1 Funciones reales de variable real
21.1.1 Definición
- Una función real de variable real es una aplicación $f: X \rightarrow Y$.
- $X$ e $Y$ son subconjuntos de $R$.
- Para cada $x \in X$, la función $f$ asigna un único número real $y \in Y$.
- $y$ se llama imagen de $x$ bajo $f$, denotado $y = f(x)$.
Funcion $f: X \rightarrow Y$
- El campo de definición o dominio de $f$ es el conjunto $X$.
- La imagen de un conjunto $X' \subset X$ es $f(X') = {f(x') / x' \in X'} \subset Y$.
- La imagen de $f$ o recorrido de $f$ es el conjunto $f(X)$.
- La imagen recíproca de $Y' \subset Y$ es $f^{-1}(Y') = {x \in X / f(x) \in Y'}$.
- La imagen recíproca de un elemento $y \in Y$ es el conjunto $f^{-1}(y)$.
- La gráfica de $f$ es ${(x, f(x)) / x \in X}$, un subconjunto de $X \times Y$.
- La restricción de $f$ a $X' \subset X$ es $(f|{X'}) : X' \rightarrow Y$, donde $(f|{X'})(x') = f(x')$.
21.2 Operaciones con funciones. Orden en $F(X,R)$
21.2.1 Suma, producto y producto por un número real
-
$X$ es un subconjunto de $R$.
-
$F(X, R)$ es el conjunto de funciones de $X$ en $R$.
-
Si $f, g \in F(X, R)$, la suma, el producto y el producto por un número real se definen como:
- $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
- $(fg)(x) = f(x)g(x)$
- $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$
-
Para $f, g \in F(X, R)$, $x \in X$, y $\lambda \in R$, el conjunto $F(X, R)$ es un álgebra con elemento unidad bajo estas operaciones.
-
$F(X, R)$ es un espacio vectorial real.
-
El vector 0 es la funció nula $f: X \rightarrow R: x \rightarrow f(x) = 0$.
-
El vector opuesto de $f: X \rightarrow R$ es su funció n opuesta $-f : X \rightarrow R: x \rightarrow (-f)(x) = -f(x)$.
-
Anillo conmutativo y unitario para la suma y el producto cuyo elemento unidad es la función constante de valor 1, es decir, $f: X \rightarrow R : x \rightarrow f(x) = 1$ Para cualesquiera $f,g \in F(X, R)$ y $\lambda \in R$ se cumple que $\lambda(fg) = (\lambda f) g = f (\lambda g)$.
-
F(X,R) es un álgebra con elemento unidad.
21.2.2 Definicion: Cociente de dos funciones
-
$X$ es un subconjunto de R $y$
-
$Si f,g \in F(X,R), g(x)\neq 0 x\isin X$, se define el cociente de f/g:X->Rf/g(x) = f(x)/g(x)$
-
Los elementos unitarios del anillo F que cumplen $ f(x)\neq 0 y es 1/f $
21. 2. 3 Defininion: Composición de funciones
-
X, Y, Z y T son subconjuntos de R y sean $f: X \rightarrow Y y y = f(x) g[f(x)]
-
La composición de funciones es asociativa, pero no es conmutativa, ademas no implica la de fog.
-
$i_x$ es la función identidad $i_x: xx: x H x.$
21.2.4 Una función $f: X \rightarrow Y es biyectiva si y sólo si existe otra función $f^{-1}: Y \rightarrow X f^{-1} o f = i_x$ y $f o f^{-1} = i_y$.
-
CONMPROBACION- Si es biyectiva $f^{-1}(y)$ consta de un solo elemento en X. Definida asi $ f^{-1}: Y \rightarrow X
-
Que asocia y Y al unico $x = f^{-1}(y) E X tal que $f(x) = y ,$y
21. 2. 5 Observaciones
- aplicación inyectiva con un inversa
- gráficas de $f^{-1}$es simétrica con respeto a la gráfica de $f^{-1}$. Respecto de la recta y =x
21.2.6 En Sea X un subconjunto de R y sean $f,g:X \rightarrow R$ $f(x) ≤ g(x)$
Es de orden en \quad que $f(x) ≤ g(x)$
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Description
Este capítulo define funciones reales y explora operaciones en subconjuntos. Se estudia la composición de funciones y funciones biyectivas. Se analizan simetrías, monotonía, extremos y funciones convexas, junto con ejemplos de funciones elementales en situaciones reales.
