Funções e Otimização Linear

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Questions and Answers

Qual é a função objetivo no problema de programação linear apresentado?

max $x_1 - x_2$

max $x_1 + 2x_2$

max $2x_1 + x_2$

max $x_1 + x_2$ (correct)

Quais são as variáveis de decisão no problema de programação linear?

Nenhuma variável de decisão

$x_2$ apenas

$x_1$ e $x_2$ (correct)

$x_1$ apenas

Qual desigualdade representa a restrição que impede que $2x_1 + x_2$ seja maior que 4?

2x_1 + x_2 < 4

2x_1 + x_2 ≥ 4

2x_1 + x_2 ≤ 4 (correct)

2x_1 + x_2 = 4

Se o ponto $(1, 1)$ é inserido na desigualdade $2x_1 + x_2 ≤ 4$, o resultado será:

Válido, pois $3 ≤ 4$ Signup and view all the answers

Qual afirmação é verdadeira sobre a região delimitada pelas desigualdades dadas?

Qualquer ponto à esquerda da reta azul torna a desigualdade válida. Signup and view all the answers

Quais das opções abaixo são características de uma função linear?

f(a · x) = a · f(x) Signup and view all the answers

Qual dos seguintes problemas pode ser considerado mais complexo em programação linear?

Minimizar uma função linear com centenas de milhares de variáveis. Signup and view all the answers

Quem desenvolveu o primeiro algoritmo efetivo para resolver problemas de programação linear?

George Dantzig Signup and view all the answers

Quais dos componentes a seguir descrevem um problema de programação linear?

Restrições Signup and view all the answers

Quando os problemas de otimização linear se tornam mais complicados?

Quando possuem múltiplas variáveis e restrições. Signup and view all the answers

Qual é a aplicação prática da programação linear mencionada?

Problemas de logística na indústria. Signup and view all the answers

O que NÃO é verdade sobre uma função linear?

Ela possui um termo constante distinto de zero. Signup and view all the answers

Qual o impacto do aumento do poder computacional na resolução de problemas de programação linear?

Permitiu resolver mais rapidamente problemas com milhares de variáveis. Signup and view all the answers

Qual é a função matemática que representa o lucro neste modelo?

300x1 + 260x2 + 220x3 + 180x4 − 8y1 − 6y2 Signup and view all the answers

Quais são as restrições relativas à máquina 1 no modelo?

11x1 + 7x2 + 6x3 + 5x4 ≤ 700 Signup and view all the answers

Qual é a condição para que uma solução seja considerada viável?

Deve satisfazer todas as restrições impostas. Signup and view all the answers

Quais são os limites máximos para as variáveis y1 e y2?

y1 ≤ 600 e y2 ≤ 650 Signup and view all the answers

Por que a inequação 3x1 + 5x2 − x3 + x4 < 5 não é uma restrição linear?

Porque a desigualdade é estrita. Signup and view all the answers

Qual é a função de controle de qualidade no modelo?

7x1 + 8x2 + 7x3 + 4x4 ≤ y2 Signup and view all the answers

Como se define uma programação linear?

Problema de maximizar ou minimizar uma função linear com restrições lineares. Signup and view all the answers

Qual é o valor máximo permitido para a soma de horas da máquina 2?

500 horas Signup and view all the answers

Qual das afirmações a seguir é verdadeira sobre o ótimo de uma programação inteira?

O ótimo de uma programação inteira pode não estar na fronteira do poliedro. Signup and view all the answers

Quando se trata de um problema de maximização, qual é a relação entre o ótimo da programação linear e o ótimo da programação inteira?

O ótimo da programação linear é sempre maior ou igual ao ótimo da programação inteira. Signup and view all the answers

Qual das opções representa uma situação que pode exigir uma modelagem de programação inteira?

Definir a compra de ingredientes que devem ser inteiros. Signup and view all the answers

O que pode ser uma característica de algumas programações inteiras com estruturas específicas?

Podem ser resolvidas com algoritmos polinomiais. Signup and view all the answers

Qual é a principal dificuldade associada ao uso da programação inteira?

A solução ótima pode estar distante da solução ótima da programação linear. Signup and view all the answers

Qual é uma das questões em aberto na programação inteira?

Se é possível resolver a maioria das programações inteiras com algoritmos polinomiais. Signup and view all the answers

Qual dos seguintes exemplos ilustra uma aplicação prática para programação inteira?

Produzir a quantidade exata de um produto em unidades inteiras. Signup and view all the answers

Quais das seguintes afirmações sobre as programações inteiras são verdadeiras?

Elas podem ser mais relevantes em contextos onde as variáveis precisam ser inteiras. Signup and view all the answers

Qual é a condição para que a solução básica seja considerada viável em relação à programação linear original?

xB ≥ 0 Signup and view all the answers

O que indica um custo reduzido positivo para uma variável não-básica j?

Aumentar xj melhorará a função objetivo. Signup and view all the answers

Qual é o resultado esperado se o custo reduzido de todas as variáveis não-básicas for negativo?

A função objetivo não pode ser melhorada. Signup and view all the answers

O que representa a expressão $z_j = c_j - c_B^T A^{-1}_B A_j$?

Custo reduzido da variável não-básica j. Signup and view all the answers

Qual é a implicação de uma solução ótima na programação linear?

O valor da função objetivo não pode ser melhorado. Signup and view all the answers

Ao substituir a expressão da função objetivo, o que deve ser feito com as variáveis não-básicas?

Manter seus valores em zero. Signup and view all the answers

Qual é o papel da inversa de A em relação a B na manipulação algébrica apresentada?

Permite relacionar as variáveis básicas e não-básicas. Signup and view all the answers

O que deve ser considerado ao querer aumentar xj, dada a sua condição inicial de zero?

O custo reduzido deve ser positivo. Signup and view all the answers

Study Notes

Funções Lineares

Uma função f é linear se, para vetores x e y e um número a, é válida a propriedade: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(a · x) = a · f(x).
Exemplos de funções lineares:
- f(x) = 2x
- f(x1, x2) = 2x1 + 3x2
- f(x1, x2, x3) = x1 − x2 + 5x3
Exemplos de funções que não são lineares:
- f(x) = x + 5
- f(x1, x2) = x1 x2
- f(x1, x2, x3) = x21 + x3

Otimização Linear

A otimização de uma função linear (determinar seu máximo ou mínimo) é inicialmente uma tarefa simples.
A dificuldade surge quando há várias variáveis e restrições que as variáveis devem satisfazer.
As restrições nesses casos são lineares, mas ainda assim os problemas podem ser complexos.

Introdução à Programação Linear (PL)

PL é um modelo de programação matemática que visa encontrar o máximo ou mínimo de uma função linear sujeita a um número finito de restrições lineares.
A PL possui diversas aplicações práticas em áreas como logística, mercado financeiro, ciências sociais e naturais.
Leonid Kantorovich e George Dantzig tiveram papel fundamental no desenvolvimento da PL.
- Kantorovich utilizou a PL para modelar a economia da União Soviética.
- Dantzig desenvolveu o algoritmo simplex, que ainda hoje é utilizado para resolver problemas de PL.
Os computadores modernos permitem resolver problemas de PL com centenas de milhares de variáveis.

Componentes de um Problema de PL

Variáveis de decisão: Representam as decisões que devem ser tomadas no problema.
Função objetivo: Representa o benefício ou custo associado às decisões em um valor numérico.
Restrições: Limitam os recursos do mundo real, impondo regras que a solução deve obedecer.

Exemplo de PL

Encontrar o máximo da função f(x1, x2) = x1 + x2, sendo x1 e x2 sujeitos às seguintes restrições:
- x1 ≥ 0
- x2 ≥ 0
- 2x1 + x2 ≤ 4
- x1 + 2x2 ≤ 3

Formalização de PL

Uma PL é definida como um problema de maximizar ou minimizar uma função linear (ou afim), sujeita a restrições lineares.
Exemplo:
- max 3x1 + 2x2 − x3 + 5
- sujeito a:
  - x1 + x2 ≤ 9
  - x3 ≤ 3
  - x1, x2, x3 ≥ 0

Soluções e Viabilidade

Uma solução para uma PL é a atribuição de valores às variáveis.
Uma solução é viável quando satisfaz todas as restrições.

Programação Inteira (PI)

PI é uma PL com a restrição de que as variáveis de decisão devem ser inteiras.
A solução ótima de uma PI não está necessariamente na fronteira do poliedro.
O ótimo da PL é sempre maior ou igual que o ótimo da PI, em problemas de maximização.
Se todos os vértices do poliedro são pontos de coordenadas inteiras, o ótimo da PL e da PI coincidem.
A maioria das PIs não possui estrutura para serem resolvidas por algoritmos polinomiais.
Os algoritmos para resolução de PIs possuem complexidade exponencial, mas funcionam bem na prática em muitos casos.

Modelagem de PIs

Muitos problemas do mundo real podem ser modelados como PIs, como a otimização de produção e planejamento de dietas.
Exemplo: uma empresa possui N projetos nos quais pode investir, sendo que cada projeto i ∈ N possui um retorno esperado positivo ci (em reais). A empresa deseja maximizar o retorno total, investindo no máximo k projetos.

Algoritmo Simplex

O algoritmo simplex é um método para resolver PLs.
Ele é baseado na ideia de mover-se de um vértice viável do poliedro para outro, sempre buscando melhorar o valor da função objetivo.
Se houver um custo reduzido positivo, a solução pode ser melhorada adicionando a variável correspondente à base.

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Description

Este quiz explora conceitos de funções lineares e otimização linear. Você irá testar seus conhecimentos sobre as propriedades das funções lineares e a programação linear. Prepare-se para desafios que envolvem aplicações práticas em diversas áreas.