Funciones vectoriales de variable real

Funciones vectoriales de variable real

• Una función vectorial de variable real asigna a cada número real $t$ un vector en el espacio $R^n$.
• Se formaliza como $f: I \subset R \rightarrow R^n$, donde $I$ es un intervalo de números reales y $f(t)$ es un vector en $R^n$.
• En términos de componentes, $f(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$, donde cada $f_i(t)$ es una función real de variable real.

Ejemplos de funciones vectoriales

• Función vectorial en $R^2$: $f(t) = (t^2, \sin(t))$, $t \in [0, 2\pi]$.
• Función vectorial en $R^3$: $g(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$, $t \in R$.

Interpretación geométrica

• En $R^2$ o $R^3$, una función vectorial describe una curva paramétrica.
• El vector $f(t)$ representa un punto en el espacio dependiendo del parámetro $t$.
• A medida que $t$ varía, el punto $f(t)$ traza una curva.

Ejemplo de hélice en $R^3$

• La función $g(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ describe una hélice.
• Las componentes $x(t) = \cos(t)$ e $y(t) = \sin(t)$ describen un círculo en el plano $xy$.
• La componente $z(t) = t$ provoca que la curva se eleve a medida que $t$ aumenta.

Cálculo con funciones vectoriales

Límite

• El límite de $f(t)$ cuando $t$ se acerca a $a$ se define componente a componente: $\lim_{t \to a} f(t) = (\lim_{t \to a} f_1(t), \lim_{t \to a} f_2(t),..., \lim_{t \to a} f_n(t))$.
• Los límites de las componentes deben existir.

Continuidad

• Una función vectorial $f(t)$ es continua en $t = a$ si se cumplen las siguientes condiciones:
  • $f(a)$ está definido.
  • $\lim_{t \to a} f(t)$ existe.
  • $\lim_{t \to a} f(t) = f(a)$.
• $f(t)$ es continua en $t = a$ si cada una de sus componentes $f_i(t)$ es continua en $t = a$.

Derivada

• La derivada de $f(t)$ se define componente a componente: $f'(t) = (\frac{d}{dt} f_1(t), \frac{d}{dt} f_2(t),..., \frac{d}{dt} f_n(t))$.
• Las derivadas de las componentes deben existir.
• La derivada $f'(t)$ es también una función vectorial.

Interpretación geométrica de la derivada

• Si $f(t)$ describe una curva paramétrica, $f'(t)$ es un vector tangente a la curva en el punto $f(t)$, siempre que $f'(t) \neq 0$.
• La dirección de $f'(t)$ indica la dirección en la que la curva está siendo trazada a medida que $t$ aumenta.

Ejemplo de la derivada de una hélice

• Para la hélice $g(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$, la derivada es $g'(t) = (-\sin(t), \cos(t), 1)$.
• Este vector es tangente a la hélice en cada punto.

Integración

• La integral de $f(t)$ se define componente a componente: $\int f(t) dt = (\int f_1(t) dt, \int f_2(t) dt,..., \int f_n(t) dt)$.
• Cada integral en las componentes es una integral indefinida.
• Para una integral definida entre límites $a$ y $b$: $\int_{a}^{b} f(t) dt = (\int_{a}^{b} f_1(t) dt, \int_{a}^{b} f_2(t) dt,..., \int_{a}^{b} f_n(t) dt)$.

Ejemplo de integración

• Si $f(t) = (t^2, \cos(t))$, entonces $\int f(t) dt = (\int t^2 dt, \int \cos(t) dt) = (\frac{1}{3}t^3 + C_1, \sin(t) + C_2)$.

Propiedades de las funciones vectoriales

• Linealidad de la derivada: $(af(t) + bg(t))' = af'(t) + bg'(t)$, donde $a$ y $b$ son constantes.
• Regla del producto punto: $\frac{d}{dt} [f(t) \cdot g(t)] = f'(t) \cdot g(t) + f(t) \cdot g'(t)$.
• Regla del producto cruz: $\frac{d}{dt} [f(t) \times g(t)] = f'(t) \times g(t) + f(t) \times g'(t)$.
• Regla de la cadena: $\frac{d}{dt} [f(g(t))] = f'(g(t)) \cdot g'(t)$, donde $f(t)$ es una función vectorial y $g(t)$ es una función escalar.

Aplicaciones de las funciones vectoriales

• Física: Descripción del movimiento de una partícula en el espacio, donde $f(t)$ representa la posición de la partícula en el tiempo $t$. La velocidad es $f'(t)$ y la aceleración es $f''(t)$.
• Gráficos por computadora: Modelado de curvas y superficies.
• Ingeniería: Diseño de trayectorias para robots y vehículos.