벡터 값 함수 소개

벡터 값 함수 소개

• 지금까지 함수는 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 형태를 가졌음
• 이제는 $\overrightarrow{r}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 형태의 함수를 다룸
• $t \rightarrow \overrightarrow{r}(t) = (x_1(t), x_2(t),..., x_n(t))$로 표현 가능
• 여기서 $t \in \mathbb{R}$는 실수
• $\overrightarrow{r}(t) \in \mathbb{R}^n$는 벡터
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t))$, $t \in [0, 2\pi]$

그래프

• 벡터 값 함수 $\overrightarrow{r}(t)$의 그래프는 $\overrightarrow{r}(t)$가 나타내는 위치 벡터가 그리는 $\mathbb{R}^2$ 또는 $\mathbb{R}^3$ 공간상의 곡선
• $t$는 함수의 정의역 내에서 변함
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t))$, $t \in [0, 2\pi]$는 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 나타냄
• $\overrightarrow{r}(t) = (t, t^2)$, $t \in \mathbb{R}$는 $xy$ 평면 상의 포물선을 나타냄

극한

• 벡터 값 함수의 극한은 각 성분별로 계산 가능
• $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = (\lim_{t \to a} x_1(t), \lim_{t \to a} x_2(t),..., \lim_{t \to a} x_n(t))$
• 단, 각 성분의 극한이 존재해야 함
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t), t)$ 일 때, $\lim_{t \to 0} \overrightarrow{r}(t) = (1, 0, 0)$

연속성

• 벡터 값 함수 $\overrightarrow{r}(t)$가 $t = a$에서 연속이기 위한 조건:
  • $\overrightarrow{r}(a)$가 정의되어야 함
  • $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t)$가 존재해야 함
  • $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{r}(a)$이어야 함
• 즉, $\overrightarrow{r}(t)$의 각 성분 함수 $x_1(t), x_2(t),..., x_n(t)$가 $t = a$에서 연속이면 됨

도함수

• 벡터 값 함수의 도함수는 각 성분별로 계산 가능
• $\overrightarrow{r}'(t) = (x_1'(t), x_2'(t),..., x_n'(t))$, 단 각 성분의 도함수가 존재해야 함
• 표기법: $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$
• $\overrightarrow{r}'(t)$는 $\overrightarrow{r}(t)$가 나타내는 곡선에 대한 접선 벡터
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t), t)$ 일 때, $\overrightarrow{r}'(t) = (-sen(t), cos(t), 1)$

도함수 규칙

• $\overrightarrow{r}(t)$와 $\overrightarrow{s}(t)$가 미분 가능한 벡터 함수, $f(t)$는 미분 가능한 스칼라 함수라고 가정
  • $\frac{d}{dt} [\overrightarrow{r}(t) + \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) + \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt} [c\overrightarrow{r}(t)] = c\overrightarrow{r}'(t)$ ($c$는 상수)
  • $\frac{d}{dt} [f(t)\overrightarrow{r}(t)] = f'(t)\overrightarrow{r}(t) + f(t)\overrightarrow{r}'(t)$
  • $\frac{d}{dt} [\overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) \cdot \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt} [\overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt} [\overrightarrow{r}(f(t))] = \overrightarrow{r}'(f(t))f'(t)$ (연쇄 법칙)

적분

• 벡터 값 함수의 적분은 각 성분별로 계산 가능
• $\int \overrightarrow{r}(t) dt = (\int x_1(t) dt, \int x_2(t) dt,..., \int x_n(t) dt)$
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t), t)$ 일 때, $\int \overrightarrow{r}(t) dt = (sen(t) + c_1, -cos(t) + c_2, \frac{t^2}{2} + c_3)$ ($c_1, c_2, c_3$는 적분 상수)

호의 길이

• $\overrightarrow{r}(t)$가 나타내는 곡선의 $t = a$부터 $t = b$까지의 호의 길이: $L = \int_{a}^{b} |\overrightarrow{r}'(t)| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{(x_1'(t))^2 + (x_2'(t))^2 +... + (x_n'(t))^2} dt$
• 예시:*
• $\overrightarrow{r}(t) = (cos(t), sen(t), t)$, $t \in [0, 2\pi]$일 때, 호의 길이는 다음과 같음 $\overrightarrow{r}'(t) = (-sen(t), cos(t), 1)$ $|\overrightarrow{r}'(t)| = \sqrt{(-sen(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ $L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \sqrt{2} [t]_{0}^{2\pi} = 2\pi\sqrt{2}$