Funciones Pares e Impares

Definición de Funciones Pares e Impares

• Una función par cumple la relación f(x) = f(-x) para todo x en su dominio, mostrando simetría respecto al eje y.
• Ejemplos de funciones pares incluyen f(x) = x², f(x) = |x| y f(x) = x⁴.
• Una función impar satisface la condición f(-x) = -f(x) para cada x en su dominio, demostrando simetría respecto al origen.
• Ejemplos de funciones impares son f(x) = x³ y f(x) = x⁵.

Propiedades de las Funciones

• Funciones Pares:
  • La suma y el producto de dos funciones pares son pares.
  • La derivada de una función par resulta ser impar.
• Funciones Impares:
  • La suma de dos funciones impares es impar.
  • El producto de dos funciones impares produce una función par.
  • La derivada de una función impar es par.

Simetría de una Función

• La simetría de una función implica un eje que divide la función en dos partes iguales.
• Funciones pares tienen eje de simetría en el eje y, mientras que funciones impares lo tienen en el eje x.
• Para comprobar la simetría respecto a una recta, se puede doblar un papel por esa recta y observar la coincidencia de puntos.

Funciones de Variables Reales

• Una función de una variable real establece una relación entre una variable dependiente (y) y una variable independiente (x).
• Función define una correspondencia entre dos conjuntos, asegurando que a cada elemento del primero le corresponde uno y solo uno del segundo.
• Ejemplos de funciones en la vida cotidiana incluyen llamadas telefónicas, cajeros automáticos y calculadoras.

Funciones Racionales

• Una función racional está formulada como R(x) = P(x)/Q(x), con P(x) y Q(x) como polinomios y Q(x) diferente de cero.
• El dominio de una función racional se compone de todos los valores de x excepto aquellos que hacen que Q(x) = 0.

Discontinuidades y Asintotas

• Asintotas Verticales: Aparecen en puntos donde Q(x) = 0 y P(x) ≠ 0.
• Asintotas Horizontales: Dependiendo de la relación de grados entre P(x) y Q(x):
  • Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asintota y = 0.
  • Si ambos tienen el mismo grado, y = coeficiente líder de P(x) / coeficiente líder de Q(x).
  • Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), no existe asintota horizontal.
• También pueden presentarse asintotas oblicuas si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x) por exactamente uno.

Gráficas de Funciones Racionales

• Las gráficas pueden ser complejas, así que es esencial identificar asintotas y puntos de discontinuidad para interpretar correctamente su comportamiento.
• Un ejemplo es la función f(x) = (x² - 4) / (x² - x - 6), que tiene asintotas verticales en x = 3 y x = -2.

Aplicaciones de Funciones Racionales

• Ingeniería: Se utilizan para modelar sistemas de control y circuitos.
• Física: Aplicadas en el estudio de velocidades y fuerzas inversamente proporcionales.
• Economía: Representan funciones de demanda y oferta, especialmente donde existen precios límites.

Este cuestionario explora las características de las funciones pares e impares. Las funciones pares cumplen con la propiedad f(x) = f(-x), mientras que las funciones impares satisfacen f(-x) = -f(x). Incluye ejemplos y graficaciones para una mejor comprensión.