Funciones Matemáticas PDF

FUNCIÓN DE VARIABLES: Una función de una variable real es una relación de dependencia entre una variable dependiente (y) y una variable independiente (x). Sirve para entender el cambio en una variable, una depende de la otra.  Función: Una función es una regla de correspondencia entre...

FUNCIÓN DE VARIABLES: Una función de una variable real es una relación de dependencia entre una variable dependiente (y) y una variable independiente (x). Sirve para entender el cambio en una variable, una depende de la otra.  Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto. Es un concepto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes y se pueden presentarse a través de varios aspectos complementarios. Es una regla que nos indica que hacer con los elementos Función y relación : Ejemplos de función en la vida cotidiana: Una llamada telefónica. Un cajero automático. Una calculadora  LINEAL CUADRÁTICA Utilizando la prueba de la recta vertical, determina si las siguientes graficas representan una función Encuentra el Dominio y el Rango de cada función  Una función racional es una función de la forma Definición R(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0. de Función Racional Ejemplo: R(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x^2 - 1)  El dominio de una función racional incluye todos los valores de x excepto Dominio de aquellos que hacen Q(x) = 0. una Función Racional Ejemplo:Para R(x) = 1/(x-3), el dominio es x ≠ 3.  El dominio de una función racional son todos los valores de x para los cuales la Dominio función está definida. de una Una función racional es una fracción Función donde el numerador y el denominador Racional son polinomios. Para encontrar el dominio, debes identificar los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero, ya que la división por cero no está definida.  1.Encuentra el denominador de la función racional. 2.Iguala el denominador a cero y Pasos para resuelve la ecuación para x. encontrar el dominio: 3. Excluye esos valores de x del dominio. 4. El dominio será todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. Verificar si es función racional:   Las asintotas verticales ocurren donde Q(x) = 0 y P(x) ≠ 0 en esos puntos. Asintotas Verticales  Ejemplo:  Para R(x) = 2x/(x^2 - 1), las asintotas verticales están en x = 1 y x = -1.   Las asintotas horizontales se determinan comparando los grados de P(x) y Q(x):  - Si deg(P) < deg(Q), la asintota horizontal es y = 0.  - Si deg(P) = deg(Q), la asintota Asintotas horizontal es y = a/b, donde a y b son los coeficientes principales. Horizontales  - Si deg(P) > deg(Q), no hay asintota horizontal.  Ejemplo:  Para R(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x^2 - 1), la asintota horizontal es y = 2.   Ocurren cuando deg(P) = deg(Q) + 1. Se encuentran mediante la división larga de polinomios. Asintotas Oblícuas  Ejemplo:  Para R(x) = (x^2 + x + 1)/(x - 1), la asintota oblicua es y = x + 2.   Interceptos con el eje y: Evaluar R(0).  Interceptos con el eje x:  Resolver P(x) = 0. Comportamient o en los Interceptos  Ejemplo:  Para R(x) = (x^2 - 1)/(x + 2), los interceptos con el eje x son:  x = ±1 y con el eje y es y = -1/2.   Ejercicio:  Encuentra las asintotas de R(x) = (2x^2 - 3x + 1)/(x^2 - 4). Ejercicio 1 - Determinar Asintotas  Solución:  - Asintotas verticales: x = ±2.  - Asintota horizontal: y = 2. FUNCIONES POLINOMIALES Definición de Funciones Polinomiales Una función polinomial es una función que se puede expresar en la forma: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ +... + a₁x + a₀ donde a₀, a₁,..., aₙ son coeficientes reales y n es un número entero no negativo. Grado de un Polinomio El grado de un polinomio es el mayor exponente con coeficiente no nulo. Ejemplo: f(x) = 4x³ - 3x² + 2x - 5 El grado de f(x) es 3.  - Polinomio constante: f(x) = a₀ - Polinomio lineal: f(x) = a₁x + a₀ Tipos de Polinomios - Polinomio cuadrático: f(x) = a₂x² + a₁x + a₀ - Polinomio cúbico: f(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ Ejemplos de Polinomios 1. f(x) = 2x² - 4x + 3 (Cuadrático) 2. g(x) = x³ + 2x² - x - 1 (Cúbico) 3. h(x) = 5 (Constante) 4. p(x) = 3x + 7 (Lineal)  - Las funciones polinomiales son continuas en todos los números reales. Propiedades de las - Son derivables y tienen derivadas de todos los Funciones órdenes. Polinomiales - La gráfica de una función polinomial es una curva suave sin saltos ni asintotas. Gráficas de Polinomios Las gráficas de polinomios de grado n pueden tener hasta n raíces y n-1 extremos. Ejemplo: f(x) = x² - 4 tiene raíces en x = -2 y x = 2, y un mínimo en x = 0.  Las funciones polinomiales se utilizan en diversas áreas como: - Física: Para modelar Aplicaciones trayectorias de objetos. de las Funciones Polinomiales - Economía: Para modelar curvas de costo y demanda. - Ingeniería: En análisis de sistemas y control. FUNCIONES RACIONALES Definición de Funciones Racionales Una función racional es una función de la forma: f(x) = P(x) / Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0. Las funciones racionales pueden presentar discontinuidades en los puntos donde Q(x) = 0. Ejemplos de Funciones Racionales 1. f(x) = (2x + 1) / (x - 3) 2. g(x) = (x² - 1) / (x + 2) 3. h(x) = 1 / (x² + 4) 4. p(x) = (3x³ - x) / (2x - 1) Discontinuidades y Asintotas Las funciones racionales pueden tener: - **Asintotas Verticales:** Ocurren donde Q(x) = 0 y P(x) ≠ 0. - **Asintotas Horizontales:** Determinadas por los grados de P(x) y Q(x). - **Asintotas Oblicuas:** Ocurren cuando el grado de P(x) es mayor que el de Q(x) por 1. - **Puntos de Discontinuidad Removible:** Ocurren donde Q(x) = 0 y P(x) = 0 simultáneamente. Asintotas Verticales y Horizontales - **Asintotas Verticales:** Se encuentran en los valores de x donde Q(x) = 0. - **Asintotas Horizontales:** - Si el grado de P(x) < grado de Q(x), y = 0. - Si el grado de P(x) = grado de Q(x), y = coeficiente líder de P(x) / coeficiente líder de Q(x). - Si el grado de P(x) > grado de Q(x), no hay asintota horizontal. Gráficas de Funciones Racionales Las gráficas de funciones racionales pueden ser complejas debido a la presencia de asintotas y discontinuidades. Es importante identificar las asintotas y los puntos de discontinuidad para comprender el comportamiento de la gráfica. Ejemplo: f(x) = (x² - 4) / (x² - x - 6) tiene asintotas verticales en x = 3 y x = -2. Aplicaciones de Funciones Racionales Las funciones racionales se utilizan en: - **Ingeniería:** Para modelar sistemas de control y circuitos. - **Física:** En el estudio de velocidades y fuerzas inversamente proporcionales. - **Economía:** Para representar funciones de demanda y oferta donde hay precios mínimos o máximos.  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PA Una función f(x) es par si para todo x en su domini cumple que f(x) = f(-x). Simetría respecto al eje y.  EJEMPLO DE FUNCIÓN PAR Ejemplo: f(x) = x^2 Ejemplo : f(x)=∣x∣ Ejemplo: f(x) = x^4  GRÁFICA DE FUNCIÓN PAR Observación de la simetría respecto al eje y.  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN IMPAR Una función f(x) es impar si para todo x en su dominio se cumple que f(-x) = -f(x). Simetría respecto al origen. EJEMPLO DE FUNCIÓN IMPAR Ejemplo: f(x) = x^3 Ejempolo f(x) = x^5  GRÁFICA DE FUNCIÓN IMPAR Observación de la simetría respecto al origen.  PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES La suma de dos funciones pares es una función par. El producto de dos funciones pares es una función par. La derivada de una función par es una función impar.  PROPIEDADES DE FUNCIONES IMPARES La suma de dos funciones impares es una función impar. El producto de dos funciones impares es una función par. La derivada de una función impar es una función par.  ¿QUÉ ES LA SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN? Si una función es simétrica implica que tiene un eje de simetría que divide la función en dos partes iguales. Cuando la función es par, el eje de simetría puede ser con respecto al eje y. Cuando la función es impar, El eje de simetría puede ser con respecto al eje x.  ¿CÓMO ENCONTRAR LA SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN? Decimos que una figura es simétrica respecto a una recta cuando cada punto a un lado de esa recta tiene otro punto al otro lado y a la misma distancia de esa recta. Si queremos saber si una imagen presenta simetría respecto a una recta y la tenemos en una hoja de papel solo tenemos que doblarla por la recta. FUNCION PAR E IMPAR  FUNCION PAR E IMPAR. Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y. Una función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). HALLA LA SIMETRIA DE ESTAS FUNCIONES.