Funciones Logarítmicas y Propiedades

Definición y Propiedades

• Definición:

  • La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se define como:
    • ( y = \log_b(x) ) implica que ( b^y = x ), donde:
      • ( b ) es la base del logaritmo (con ( b > 0 ) y ( b \neq 1 )).
      • ( x > 0 ).

• Propiedades:

  • Propiedad de producto: ( \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) )
  • Propiedad de cociente: ( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) )
  • Propiedad de potencia: ( \log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x) )
  • Cambio de base:
    • ( \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)} )
    • Permite calcular logaritmos en distintas bases.
  • Valor en base 10 y base e:
    • ( \log_{10}(x) ) se denomina logaritmo decimal.
    • ( \log_e(x) ) o ( \ln(x) ) se denomina logaritmo natural.

Cálculo de Logaritmos

• Logaritmos comunes:

  • ( \log_{10}(10) = 1 )
  • ( \log_{10}(1) = 0 )
  • ( \log_{10}(10^n) = n )

• Logaritmos naturales:

  • ( \ln(e) = 1 )
  • ( \ln(1) = 0 )
  • ( \ln(e^n) = n )

• Cálculo aproximado:

  • Puede realizarse a través de tablas, calculadoras o software específico.
  • Utilizar propiedades para simplificar cálculos en logaritmos complejos.

Gráficas de Funciones Logarítmicas

• Características de la gráfica:

  • Dominio: ( x > 0 ) (no existe para ( x \leq 0 )).
  • Rango: ( (-\infty, +\infty) )
  • Intersección con el eje y: ( (1, 0) ) porque ( \log_b(1) = 0 ).
  • Crecimiento: La función es creciente para ( b > 1 ) y decreciente para ( 0 < b < 1 ).

• Comportamiento:

  • A medida que ( x ) se aproxima a 0, ( \log_b(x) ) tiende a ( -\infty ).
  • A medida que ( x ) aumenta, ( \log_b(x) ) también aumenta, pero de forma más lenta que ( x ).

• Transformaciones:

  • Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
    • ( y = \log_b(x - h) + k ) donde ( h ) es un desplazamiento horizontal y ( k ) es un desplazamiento vertical.

Definición y Propiedades

• La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
• Se define como: ( y = \log_b(x) ) implica que ( b^y = x ) donde:
  • ( b ) es la base del logaritmo, ( b > 0 ) y ( b \neq 1 ).
  • ( x > 0 )
• Propiedades:
  • Producto: ( \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) )
  • Cociente: ( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) )
  • Potencia: ( \log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x) )
  • Cambio de base:
    • ( \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)} )
    • Permite calcular logaritmos en distintas bases.
  • Valor en base 10 y base e:
    • ( \log_{10}(x) ) se denomina logaritmo decimal.
    • ( \log_e(x) ) o ( \ln(x) ) se denomina logaritmo natural.

Cálculo de Logaritmos

• Logaritmos comunes:
  • ( \log_{10}(10) = 1 )
  • ( \log_{10}(1) = 0 )
  • ( \log_{10}(10^n) = n )
• Logaritmos naturales:
  • ( \ln(e) = 1 )
  • ( \ln(1) = 0 )
  • ( \ln(e^n) = n )
• Cálculo aproximado:
  • Se realiza con tablas, calculadoras o software específico.
  • Utilizar propiedades para simplificar cálculos en logaritmos complejos.

Gráficas de Funciones Logarítmicas

• Características de la gráfica:
  • Dominio: ( x > 0 ) (no existe para ( x \leq 0 )).
  • Rango: ( (-\infty, +\infty) )
  • Intersección con el eje y: ( (1, 0) ) porque ( \log_b(1) = 0 ).
  • Crecimiento: La función es creciente para ( b > 1 ) y decreciente para ( 0 < b < 1 ).
• Comportamiento:
  • A medida que ( x ) se aproxima a 0, ( \log_b(x) ) tiende a ( -\infty ).
  • A medida que ( x ) aumenta, ( \log_b(x) ) también aumenta, pero de forma más lenta que ( x ).
• Transformaciones:
  • Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
    • ( y = \log_b(x - h) + k ) donde ( h ) es un desplazamiento horizontal y ( k ) es un desplazamiento vertical.