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Questions and Answers
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los logaritmos es correcta?
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¿Cuál es la propiedad que se utiliza para la suma de logaritmos de dos números?
¿Cuál es la propiedad que se utiliza para la suma de logaritmos de dos números?
El logaritmo natural de 1 es 1.
El logaritmo natural de 1 es 1.
False
¿Cuál es el valor de $log_{10}(10^3)$?
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La gráfica de la función logarítmica tiene un rango de __________.
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Asocia cada valor de logaritmo con su resultado:
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¿Qué representa $y = rac{log_k(x)}{log_k(b)}$?
¿Qué representa $y = rac{log_k(x)}{log_k(b)}$?
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La función logarítmica es decreciente cuando $b > 1$.
La función logarítmica es decreciente cuando $b > 1$.
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¿Cuál es el dominio de la función logarítmica $y = log_b(x)$?
¿Cuál es el dominio de la función logarítmica $y = log_b(x)$?
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$ rac{log_b(xy)}{log_b(z)}$ se iguala a __________ si $z$ es la base.
$ rac{log_b(xy)}{log_b(z)}$ se iguala a __________ si $z$ es la base.
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¿Qué sucede con $log_b(x)$ cuando $x$ se aproxima a 0?
¿Qué sucede con $log_b(x)$ cuando $x$ se aproxima a 0?
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Study Notes
Definición y Propiedades
-
Definición:
- La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se define como:
- ( y = \log_b(x) ) implica que ( b^y = x ), donde:
- ( b ) es la base del logaritmo (con ( b > 0 ) y ( b \neq 1 )).
- ( x > 0 ).
- ( y = \log_b(x) ) implica que ( b^y = x ), donde:
- La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se define como:
-
Propiedades:
- Propiedad de producto: ( \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) )
- Propiedad de cociente: ( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) )
- Propiedad de potencia: ( \log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x) )
-
Cambio de base:
- ( \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)} )
- Permite calcular logaritmos en distintas bases.
-
Valor en base 10 y base e:
- ( \log_{10}(x) ) se denomina logaritmo decimal.
- ( \log_e(x) ) o ( \ln(x) ) se denomina logaritmo natural.
Cálculo de Logaritmos
-
Logaritmos comunes:
- ( \log_{10}(10) = 1 )
- ( \log_{10}(1) = 0 )
- ( \log_{10}(10^n) = n )
-
Logaritmos naturales:
- ( \ln(e) = 1 )
- ( \ln(1) = 0 )
- ( \ln(e^n) = n )
-
Cálculo aproximado:
- Puede realizarse a través de tablas, calculadoras o software específico.
- Utilizar propiedades para simplificar cálculos en logaritmos complejos.
Gráficas de Funciones Logarítmicas
-
Características de la gráfica:
- Dominio: ( x > 0 ) (no existe para ( x \leq 0 )).
- Rango: ( (-\infty, +\infty) )
- Intersección con el eje y: ( (1, 0) ) porque ( \log_b(1) = 0 ).
- Crecimiento: La función es creciente para ( b > 1 ) y decreciente para ( 0 < b < 1 ).
-
Comportamiento:
- A medida que ( x ) se aproxima a 0, ( \log_b(x) ) tiende a ( -\infty ).
- A medida que ( x ) aumenta, ( \log_b(x) ) también aumenta, pero de forma más lenta que ( x ).
-
Transformaciones:
- Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
- ( y = \log_b(x - h) + k ) donde ( h ) es un desplazamiento horizontal y ( k ) es un desplazamiento vertical.
- Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
Definición y Propiedades
- La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
- Se define como: ( y = \log_b(x) ) implica que ( b^y = x ) donde:
- ( b ) es la base del logaritmo, ( b > 0 ) y ( b \neq 1 ).
- ( x > 0 )
-
Propiedades:
- Producto: ( \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) )
- Cociente: ( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) )
- Potencia: ( \log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x) )
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Cambio de base:
- ( \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)} )
- Permite calcular logaritmos en distintas bases.
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Valor en base 10 y base e:
- ( \log_{10}(x) ) se denomina logaritmo decimal.
- ( \log_e(x) ) o ( \ln(x) ) se denomina logaritmo natural.
Cálculo de Logaritmos
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Logaritmos comunes:
- ( \log_{10}(10) = 1 )
- ( \log_{10}(1) = 0 )
- ( \log_{10}(10^n) = n )
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Logaritmos naturales:
- ( \ln(e) = 1 )
- ( \ln(1) = 0 )
- ( \ln(e^n) = n )
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Cálculo aproximado:
- Se realiza con tablas, calculadoras o software específico.
- Utilizar propiedades para simplificar cálculos en logaritmos complejos.
Gráficas de Funciones Logarítmicas
-
Características de la gráfica:
- Dominio: ( x > 0 ) (no existe para ( x \leq 0 )).
- Rango: ( (-\infty, +\infty) )
- Intersección con el eje y: ( (1, 0) ) porque ( \log_b(1) = 0 ).
- Crecimiento: La función es creciente para ( b > 1 ) y decreciente para ( 0 < b < 1 ).
-
Comportamiento:
- A medida que ( x ) se aproxima a 0, ( \log_b(x) ) tiende a ( -\infty ).
- A medida que ( x ) aumenta, ( \log_b(x) ) también aumenta, pero de forma más lenta que ( x ).
-
Transformaciones:
- Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
- ( y = \log_b(x - h) + k ) donde ( h ) es un desplazamiento horizontal y ( k ) es un desplazamiento vertical.
- Desplazamientos verticales y horizontales pueden ocurrir con funciones de la forma:
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Description
Este cuestionario explora la definición y propiedades de la función logarítmica. Los conceptos clave incluyen las propiedades de producto, cociente y potencia, así como el cambio de base y el cálculo de logaritmos comunes y naturales. Pondrás a prueba tus conocimientos sobre este tema fundamental en matemáticas.
