Propiedades de los Logaritmos y Funciones Exponenciales

Propiedades de los Logaritmos

• La notación loga representa el logaritmo con base a.
• loga M = M si y solo si a^M = M
• loga a = r
• loga(MN) = loga M + loga N
• loga(M/N) = loga M - loga N
• loga Mr = r loga M
• ax = ex Ina
• Si M = N, entonces loga M = loga N
• Si loga M = loga N, entonces M = N
• Si ln M = ln N, entonces M = N
• loga M = logb M / logb a
• loga M = ln M / ln a
• y = loga x <-> x = ay
• a-n = 1/an
• √am = am/n
• loga(a) = 1
• El dominio de la función logarítmica se define como a > 0 y a ≠ 1.

Función Exponencial

• La función exponencial se define como: y = f(x) = a^x
• La base a debe ser un número positivo, a ≠ 1 (a > 0).
• El exponente x puede tomar cualquier valor real.
• La gráfica de la función exponencial pasa por el punto (0, 1) y no cruza el eje x.
• El dominio de la función exponencial es ℝ = (-∞, ∞).
• El rango de la función exponencial es (0, ∞).

Función Logarítmica

• La función logarítmica se define como: y = loga x donde a > 0 y a ≠ 1.
• Se define como el exponente al que se debe elevar la base para obtener x.
• El dominio de la función logarítmica es x > 0.

Función Cúbica

• Se define como: y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d donde a, b, c y d son números reales con a ≠ 0.
• El dominio es (-∞, +∞).
• El rango es (-∞, +∞).
• La función siempre es creciente.
• La función es simétrica respecto del origen.
• Puede tener un máximo de 3 puntos de intersección con el eje x.

Función Irracional/Función Raíz de Polinomio

• Se define como: y = f(x) = √n(p(x)) donde p(x) es un polinomio y n representa un número natural, tal que n ≥ 2.
• Si n es un número par, las raíces solo existirán si el polinomio que está dentro del signo radical es 0 o positivo.
• Si n es un número impar, tanto el dominio como el codominio estarán formados por el conjunto de todos los números reales.

Ecuaciones Logarítmicas

• La mayoría de las ecuaciones logarítmicas requieren manipulaciones (generalmente, usando propiedades logarítmicas) para resolverlas.
• Primero, se debe determinar el dominio de la función para evitar soluciones que no correspondan.

Ecuaciones Exponenciales

• En la mayoría de las ecuaciones exponenciales, no se puede expresar cada lado de la ecuación con la misma base.
• En algunos casos, se pueden usar técnicas algebraicas para encontrar soluciones exactas.
• Las ecuaciones logarítmicas se pueden resolver incluso si la base es menor que 1.
• En una ecuación con logaritmos, todos los términos deben tener la misma base para resolverla.
• El logaritmo de 1 siempre es 0, independientemente de la base.
• La fórmula del cambio de base para logaritmos también se puede expresar de esta manera: logb x = log x / log b.