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Questions and Answers
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe con mayor precisión la relación entre el dominio de una función de varias variables y su rango?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe con mayor precisión la relación entre el dominio de una función de varias variables y su rango?
- Tanto el dominio como el rango son subconjuntos de $\mathbb{R}$.
- Tanto el dominio como el rango son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$.
- El dominio es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ y el rango es un subconjunto de $\mathbb{R}$. (correct)
- El dominio es un subconjunto de $\mathbb{R}$ y el rango es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$.
Considere una función $f(x, y)$ y un punto $(a, b)$ en su dominio. ¿Qué condición no garantiza la existencia del límite $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)$?
Considere una función $f(x, y)$ y un punto $(a, b)$ en su dominio. ¿Qué condición no garantiza la existencia del límite $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)$?
- Existen las derivadas parciales $f_x(a, b)$ y $f_y(a, b)$. (correct)
- El límite de $f(x, y)$ existe y es el mismo al acercarse a $(a, b)$ a lo largo de cualquier línea recta.
- El límite de $f(x, y)$ existe y es el mismo al acercarse a $(a, b)$ a lo largo de cualquier curva suave.
- La función $f(x, y)$ es continua en $(a, b)$.
Si las derivadas parciales de segundo orden $f_{xy}$ y $f_{yx}$ existen y son continuas en un disco que contiene un punto $(a, b)$, entonces $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ siempre se cumple según el teorema de Clairaut.
Si las derivadas parciales de segundo orden $f_{xy}$ y $f_{yx}$ existen y son continuas en un disco que contiene un punto $(a, b)$, entonces $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ siempre se cumple según el teorema de Clairaut.
True (A)
Explicar, en términos de aproximaciones lineales, por qué el plano tangente a la gráfica de una función de dos variables en un punto dado proporciona una 'buena' aproximación de la función cerca de ese punto.
Explicar, en términos de aproximaciones lineales, por qué el plano tangente a la gráfica de una función de dos variables en un punto dado proporciona una 'buena' aproximación de la función cerca de ese punto.
Una función $f(x, y)$ se dice diferenciable en un punto $(a, b)$ si el incremento $\Delta z = f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b)$ puede expresarse en la forma $\Delta z = f_x(a, b) \Delta x + f_y(a, b) \Delta y + \epsilon_1 \Delta x + \epsilon_2 \Delta y$, donde $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ tienden a _______ cuando $(\Delta x, \Delta y)$ tiende a $(0, 0)$.
Una función $f(x, y)$ se dice diferenciable en un punto $(a, b)$ si el incremento $\Delta z = f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b)$ puede expresarse en la forma $\Delta z = f_x(a, b) \Delta x + f_y(a, b) \Delta y + \epsilon_1 \Delta x + \epsilon_2 \Delta y$, donde $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ tienden a _______ cuando $(\Delta x, \Delta y)$ tiende a $(0, 0)$.
Relaciona las siguientes condiciones con su implicación respecto a la diferenciabilidad de una función $f(x, y)$ en un punto $(a, b)$.
Relaciona las siguientes condiciones con su implicación respecto a la diferenciabilidad de una función $f(x, y)$ en un punto $(a, b)$.
Considere la regla de la cadena para una función $z = f(x, y)$ donde $x = g(t)$ e $y = h(t)$. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente $\frac{dz}{dt}$?
Considere la regla de la cadena para una función $z = f(x, y)$ donde $x = g(t)$ e $y = h(t)$. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente $\frac{dz}{dt}$?
Si una función $F(x, y) = 0$ satisface las condiciones del teorema de la función implícita en un punto $(a, b)$, entonces se puede expresar $y$ como una función $y = f(x)$ en un entorno de $a$, y la derivada $\frac{dy}{dx}$ está dada por $\frac{F_x}{F_y}$.
Si una función $F(x, y) = 0$ satisface las condiciones del teorema de la función implícita en un punto $(a, b)$, entonces se puede expresar $y$ como una función $y = f(x)$ en un entorno de $a$, y la derivada $\frac{dy}{dx}$ está dada por $\frac{F_x}{F_y}$.
¿Qué interpretación geométrica proporciona la condición fx(a, b) = fy(a, b) = 0 en relación con la existencia de un extremo local (máximo o mínimo) para una función f(x, y) en el punto (a, b)?
¿Qué interpretación geométrica proporciona la condición fx(a, b) = fy(a, b) = 0 en relación con la existencia de un extremo local (máximo o mínimo) para una función f(x, y) en el punto (a, b)?
En el contexto de la optimización con restricciones utilizando multiplicadores de Lagrange, la función lagrangiana se construye como $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$, donde $f(x, y)$ es la función objetivo y $______(x, y)$ representa la restricción.
En el contexto de la optimización con restricciones utilizando multiplicadores de Lagrange, la función lagrangiana se construye como $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$, donde $f(x, y)$ es la función objetivo y $______(x, y)$ representa la restricción.
Considere una función $f(x, y)$ sujeta a la restricción $g(x, y) = 0$. En el método de multiplicadores de Lagrange, ¿qué sistema de ecuaciones se debe resolver para encontrar los posibles extremos condicionados?
Considere una función $f(x, y)$ sujeta a la restricción $g(x, y) = 0$. En el método de multiplicadores de Lagrange, ¿qué sistema de ecuaciones se debe resolver para encontrar los posibles extremos condicionados?
El signo de las condiciones del determinante Hessiano orlado es suficiente para discriminar la naturaleza de los puntos estacionarios condicionados en la optimización con restricciones de igualdad.
El signo de las condiciones del determinante Hessiano orlado es suficiente para discriminar la naturaleza de los puntos estacionarios condicionados en la optimización con restricciones de igualdad.
¿Cómo se define el orden de una ecuación diferencial ordinaria, y cuál es su relevancia para determinar el número de constantes arbitrarias en la solución general?
¿Cómo se define el orden de una ecuación diferencial ordinaria, y cuál es su relevancia para determinar el número de constantes arbitrarias en la solución general?
Una ecuación diferencial de la forma $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ se considera exacta si existe una función $f(x, y)$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x} = P(x, y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = _______$.
Una ecuación diferencial de la forma $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ se considera exacta si existe una función $f(x, y)$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x} = P(x, y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = _______$.
Empareja los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales con sus métodos de solución típicos.
Empareja los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales con sus métodos de solución típicos.
¿Qué propiedad debe satisfacer una función para que la sustitución $y = vx$ sea útil en la resolución de una ecuación diferencial?
¿Qué propiedad debe satisfacer una función para que la sustitución $y = vx$ sea útil en la resolución de una ecuación diferencial?
La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden es la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecuación no homogénea.
La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden es la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecuación no homogénea.
Describa el proceso del método de coeficientes indeterminados para hallar una solución particular a una ecuación diferencial lineal no homogénea. ¿Cuál es la limitación principal de este método?
Describa el proceso del método de coeficientes indeterminados para hallar una solución particular a una ecuación diferencial lineal no homogénea. ¿Cuál es la limitación principal de este método?
En la optimización condicionada, la función lagrangiana implica la inclusión de un término adicional a la función objetivo original, que es el producto de un multiplicador de Lagrange ($\lambda$) y la función que representa la _______.
En la optimización condicionada, la función lagrangiana implica la inclusión de un término adicional a la función objetivo original, que es el producto de un multiplicador de Lagrange ($\lambda$) y la función que representa la _______.
Relacione los conceptos económicos con los elementos correspondientes utilizados en la optimización.
Relacione los conceptos económicos con los elementos correspondientes utilizados en la optimización.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe la relación entre el problema primal de minimización de costos y el problema dual de maximización de la producción en la teoría de la producción?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe la relación entre el problema primal de minimización de costos y el problema dual de maximización de la producción en la teoría de la producción?
Si el determinante de la matriz Hessiana orlada en un problema de optimización condicionada es negativo, sugiere un punto máximo condicionado. Suposición: las derivadas de segundo orden son continuas.
Si el determinante de la matriz Hessiana orlada en un problema de optimización condicionada es negativo, sugiere un punto máximo condicionado. Suposición: las derivadas de segundo orden son continuas.
En el contexto de la teoría de la producción, ¿cómo se interpreta geométricamente la recta isocosto y qué información proporciona su pendiente con respecto a los factores de producción?
En el contexto de la teoría de la producción, ¿cómo se interpreta geométricamente la recta isocosto y qué información proporciona su pendiente con respecto a los factores de producción?
En un modelo de optimización económica, el término técnico variables exógenas se usan para describir valores _____ desde la perspectiva de la empresa.
En un modelo de optimización económica, el término técnico variables exógenas se usan para describir valores _____ desde la perspectiva de la empresa.
En cálculo multivariable, ¿cuál de las siguientes opciones proporciona el criterio más preciso para la clasificación de puntos críticos en problemas de optimización sin restricciones para funciones de dos variables?
En cálculo multivariable, ¿cuál de las siguientes opciones proporciona el criterio más preciso para la clasificación de puntos críticos en problemas de optimización sin restricciones para funciones de dos variables?
Si la función laplaciana en la optimización restringe funciones alcanza un punto de silla, ningún máximo condicionado ni mínimo existe.
Si la función laplaciana en la optimización restringe funciones alcanza un punto de silla, ningún máximo condicionado ni mínimo existe.
¿Por qué las nociones económicas tradicionales de 'contabilidad de costos' difieren del uso económico del 'costo de oportunidad'?
¿Por qué las nociones económicas tradicionales de 'contabilidad de costos' difieren del uso económico del 'costo de oportunidad'?
Los modelos de optimización económica pueden ser establecidos matemáticamente usando variables técnicas; se encuentra el llamado 'Lagrangiano' que agrega las restricciones del problema original a través de _multiplicador de lagrange y una determinada función de restricción.
Los modelos de optimización económica pueden ser establecidos matemáticamente usando variables técnicas; se encuentra el llamado 'Lagrangiano' que agrega las restricciones del problema original a través de _multiplicador de lagrange y una determinada función de restricción.
Relacione elementos que implican problemas de optimización restrictivos.
Relacione elementos que implican problemas de optimización restrictivos.
¿Las funciones de qué condiciones debe mantener para ser clasificada como funciones homogéneas, importante para las ecuaciones diferenciales, para cambiar apropiadamente cuando sus argumentos son escalados?
¿Las funciones de qué condiciones debe mantener para ser clasificada como funciones homogéneas, importante para las ecuaciones diferenciales, para cambiar apropiadamente cuando sus argumentos son escalados?
En la optimización restrictiva, el rol que juega multiplicador de Lagriange determina la significancia que las restricciones tienen.
En la optimización restrictiva, el rol que juega multiplicador de Lagriange determina la significancia que las restricciones tienen.
Si el determinante Lagrangiano de costos condicionales tiene un precio negativo, ¿qué implicación tiene?
Si el determinante Lagrangiano de costos condicionales tiene un precio negativo, ¿qué implicación tiene?
Si el proceso requiere que maximice los resultados dentro de especificaciones dadas, entonces es el Problema ___ que está en juego.
Si el proceso requiere que maximice los resultados dentro de especificaciones dadas, entonces es el Problema ___ que está en juego.
Los multiplicadores de Lagrange no pueden hacer nada sobre __ si las limitaciones cambian.
Los multiplicadores de Lagrange no pueden hacer nada sobre __ si las limitaciones cambian.
Los contadores y economistas entienden los ingresos por igual.
Los contadores y economistas entienden los ingresos por igual.
Las rectas de isocosto se usan en modelación económica. ¿Qué quiere decir la pendiente?
Las rectas de isocosto se usan en modelación económica. ¿Qué quiere decir la pendiente?
En un espacio matemático, los valores exógenos de la empresa ___. Es conocido.
En un espacio matemático, los valores exógenos de la empresa ___. Es conocido.
¿Es posible utilizar el determinante Hessiano para el cálculo multivariable?
¿Es posible utilizar el determinante Hessiano para el cálculo multivariable?
Si el determinante Hessiano orlado no es negativo por alguna función forrada, entonces no hay máximo.
Si el determinante Hessiano orlado no es negativo por alguna función forrada, entonces no hay máximo.
Haga una comparación de contabilidad y costos por oportunidad.
Haga una comparación de contabilidad y costos por oportunidad.
El multiplicador permite la transmisión desde el objetivo al plano de ___ por el término adicional.
El multiplicador permite la transmisión desde el objetivo al plano de ___ por el término adicional.
Empareja los escenarios con las condiciones correctas para la optimización.
Empareja los escenarios con las condiciones correctas para la optimización.
Para modelado de ecuaciones ¿Qué necesita ser homogenaizada para que la manipulación de los variables pueda dar razones escadas?
Para modelado de ecuaciones ¿Qué necesita ser homogenaizada para que la manipulación de los variables pueda dar razones escadas?
Flashcards
¿Qué es una función de varias variables?
¿Qué es una función de varias variables?
Regla que asigna un número a cada conjunto de números reales.
¿Qué es el dominio de una función?
¿Qué es el dominio de una función?
Subconjunto de R^n que contiene los valores que las variables independientes pueden tomar.
¿Qué es el rango de una función?
¿Qué es el rango de una función?
El conjunto de valores que la función asigna.
¿Qué son las curvas de nivel?
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¿Qué son las superficies de nivel?
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¿Qué es el límite de funciones de dos variables?
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¿Qué implica la existencia del límite en funciones multivariables?
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¿Qué dice el teorema de unicidad?
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¿Qué establece el teorema de permanencia de signo?
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¿Qué es la continuidad?
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¿Cuándo es continua una función en un dominio D?
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¿Qué son las derivadas parciales?
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¿Cuál es la interpretación de f_x?
¿Cuál es la interpretación de f_x?
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¿Cuál es la interpretación de f_y?
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¿Qué son las derivadas de orden superior?
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¿Qué establece el teorema de Clairaut?
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¿Qué es el plano tangente?
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¿Qué son las aproximaciones lineales?
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¿Qué es la linealización?
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¿Qué son los diferenciales?
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¿Qué implica que una función sea diferenciable?
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¿Qué relación hay entre diferenciabilidad y continuidad?
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¿Cuándo es diferenciable una función?
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¿Para qué sirve la regla de la cadena?
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¿Qué son las funciones implícitas?
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¿Qué permite el teorema de la función implícita?
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¿Qué son los extremos de una función?
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¿Cuál es una condición necesaria para extremos?
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¿Qué son los extremos condicionados?
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¿Qué problemas se resuelven con optimización?
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¿Qué son los multiplicadores de Lagrange?
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¿Qué es una EDO?
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¿Qué es el orden de una EDO?
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¿Qué es una solución de una EDO?
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¿Qué es y' = g(x,y)?
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Study Notes
- El documento presenta teoría de Matemática para Economistas II / Matemática III para exámenes de estudiantes regulares y libres en 2021-2022
- Abarca definición de funciones en varias variables hasta problemas de optimización condicionada, incluyendo cálculo diferencial e integral.
Definición de función en varias variables
- Una función de "n" variables asigna un número a una "n-ada" de números reales, denotado como "z = f(x1, x2, ..., xn)"
- El conjunto de todas las "n-adas" es denotado como "R^n"
- Dominio: Subconjunto de "R^n" que representa los valores que las variables independientes pueden tomar
- Rango: Subconjunto de "R" que representa los valores "z" asignados por la regla a cada par ordenado
Funciones de dos variables
- Una función "f" de dos variables asigna un número real único a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto "D", denotado como f(x, y)
- "D" representa el dominio de "f"
- El rango es el conjunto de valores que "f" toma, representado como {f(x, y) | (x, y) ∈ D}
- Comúnmente se escribe "z = f(x, y)" para explicitar el valor que toma f en el punto (x, y)
- Variables "x" e "y" son independientes, mientras que "z" es la variable dependiente
- Una función de dos variables es una función cuyo dominio es un subconjunto de "R^2" y su rango es un subconjunto de "R"
Gráfica de una función de dos variables
- Si "f" es una función de dos variables con dominio "D", la gráfica de "f" comprende todos los puntos (x, y, z) en "R^3"
- Estos puntos deben satisfacer "z = f(x, y)" y estar en el dominio "D"
Superficies de Nivel
- Una Función de tres variables es una regla asigna a cada terna ordenada (x, y, z) en un domino D C R³, un único número real "f(x, y, z)"
- Las superficies de nivel son las superficies cuyas ecuaciones son f(x, y, z) = k, donde k es una constante
Límites de funciones de dos variables
- El límite de "f(x, y)" cuando (x, y) tiende a (a, b) es "L" si, para puntos arbitrariamente cercanos a (a, b) en el dominio "D" de una función "f" de dos variables, se cumple:
- lim(x,y)→(𝑎,𝑏) 𝑓(x, y) = 𝐿
- Para todo número ε > 0, existe un número correspondiente δ > 0 tal que si (x, y) ∈ D y 0 < √(x - a)² + (y - b)² < δ, entonces |f(x, y) - L| < ε
Teorema de Unicidad
- Si el límite existe, es único
Teorema de Permanencia de Signo
- Si el límite de f(x, y) cuando tiende a (a, b) es "L", y "L" es distinto de 0, entonces existe un entorno reducido de (a, b) en el cual la función tiene el mismo signo que su límite
Continuidad en funciones de dos variables
- Una función "f" de dos variables es continua en (a, b) si lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(x, y) = 𝑓(𝑎, 𝑏)
- "f" es continua en "D" si es continua en todos los puntos (a, b) de "D"
Propiedades de Continuidad
- Si "f" y "g" son funciones continuas en (a, b), entonces las siguientes funciones también son continuas: f+g, f-g, f*g, f/g
- f/g siempre que g(a,b) es distinto de 0
- c*f (con "c" igual a una constante)
Derivadas Parciales
- Considera f como una función f(x,y), las funciones fx y fy definidas por las siguientes fórmulas son derivadas parciales:
- fx(x,y) = lím h→0 f(x+h,y) - f(x,y) / h
- fy(x,y) = lím h→0 f(x,y+h) - f(x,y) / h
- 𝑓𝑥 es la razón de cambio de z con respecto a x cuando y permanece constante
- 𝑓𝑦 representa la razón de cambio de z con respecto a y cuando x es constante
Plano Tangente
- Se define el Plano Tangente como el plano que contiene las rectas T1 y T2 en una superficie S en el punto P
Método de aproximación lineal
- Una función cuya gráfica es un plano tangente: L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
- Se calcula la linealización de f en (a, b) y la aproximación: f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
- Solo definido para superficies z= f(x,y) donde las primeras derivadas de f son continuas
- También conocido como el diferencial total: 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
Función Diferenciable
- Permite una buena aproximación lineal (plano tangente)
Regla de la cadena
- Caso I: Sea z = f(x, y) una función de x e y diferenciable, donde x = g(t) e y = h(t) son funciones de t diferenciables o derivables
- Entonces la función z = f[g(t), h(t)] es una función de t diferenciable o derivable y se calcula como: dz/dt = (dz/dx)(dx/dt) + (dz/dy)(dy/dt)
- Caso II: Sea z = f(x, y) una función de x e y diferenciable, donde x = g(s, t) e y = h(s, t) son funciones diferenciables de s y t
- Entonces:
- dz/ds = (dz/dx)(dx/ds) + (dz/dy)(dy/ds)
- dz/dt = (dz/dx)(dx/dt) + (dz/dy)(dy/dt)
Funciones Implícitas
- "y" es una función implícita de "x" cuando se define indirectamente a través de la ecuación: F(x, y) = 0
- Forma Implícita: F(x, y) = 0
- Forma Explícita: y = f(x)
- Teorema de la función implícita (caso I): F(x, y) = 0; F(x, y) es continua en un disco A ⊂ R² que contiene al punto (a, b); Si esta condición se cumple, y' = -Fx/ Fy
Definición de extremos
- Los extremos libres se calculan bajo las condiciones y siguientes.
- Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b)
- El número f(a, b) recibe el nombre de valor máximo relativo.
Condición necesaria
- Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a, b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.
Condición Suficiente
- Prueba de la segunda derivada: Se usa para deteminar máximos o mínimos
- Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a, b), y suponga que fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, es decir, (a, b) es un punto crítico de f
- Sea D = D(a, b) = fxx(a, b) fyy(a, b) - [fxy(a, b)]² se cumple lo siguiente:
- Si D>0 y fxx(a, b) > 0, entonces f(a, b) es un mínimo relativo.
- Si D > 0 y fxx(a, b) < 0, entonces f(a, b) es un máximo relativo.
- Si D<0, entonces f(a, b) no es ni un máximo relativo ni un mínimo relativ
Método de Multiplicadores de Lagrange
- Se pretende hallar los extremos condicionados de una función o función objetivo
- Implica encontrar los puntos (x, y) que maximizan o minimizan f(x, y), estando x e y ligados por la condición φ(x, y)=0. A φ(x, y) se le llama ligadura o restricción.
Problemas de optimización condicionada
- Los cuales abarcan la minimización de costos y la maximización de la producción
Problema primal
- Elecciones de factores que minimizan costos
Problema dual
- Maximización de la producción
Optimización condicionada de costos y producción
- Enfatiza la diferenciación entre la perspectiva contable y la visión económica de los costos
- En el contexto de los supuestos de la empresa, se introduce la recta isocosto, que muestra las combinaciones posibles de trabajo y capital con un costo total dado
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Description
Teoría sobre funciones de varias variables para estudiantes de Economía. Definición, dominio y rango de funciones. Incluye funciones de dos variables y su representación.
