Funciones Multivariables: Teoría clave

• Matemática para Economistas II / Matemática III Teoría a incluir en Exámenes 2021-2022 Alumnos Regulares y Libres*

Definición de función en varias variables

• Incluye dominio, rango, gráfico, curvas de nivel y superficies de nivel.
• Una función de n variables asigna un número z=f(x₁, x₂,..., x_n) a una cantidad n de números reales, denotado con Rⁿ.
• El dominio es un subconjunto de Rⁿ, representando los valores que las variables independientes pueden tomar.
• El rango consiste en los valores z asignados y es un subconjunto de R.
• Una función ƒ de dos variables asigna un número real único f(x, y) a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D.
• D es el dominio, y el rango es el conjunto de valores que toma f: {f(x, y) | (x, y) ∈ D}.
• Se escribe z = f(x, y), donde x e y son variables independientes y z es la variable dependiente.
• La gráfica de f es el conjunto de puntos (x, y, z) en R³ tal que z = f(x, y) y (x, y) está en D.
• Las curvas de nivel de f son las curvas cuyas ecuaciones son f(x, y) = k, donde k es una constante en el rango de f.
• Señala dónde la gráfica tiene una altura k.
• Una función de tres variables asigna un número real f(x, y, z) a cada terna ordenada (x, y, z) en un dominio D ⊆ R³.
• Las superficies de nivel son las superficies cuyas ecuaciones son f(x, y, z) = k, con k constante.

Límite de funciones de dos variables

• Incluye la definición, interpretación geométrica y propiedades, además de la extensión a tres o más variables, continuidad, definición y propiedades.
• Una función ƒ de dos variables cuyo dominio D contiene puntos arbitrariamente cercanos a (a, b).
• El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, escrito como lím(x,y)→(a,b) f(x, y) = L
• Para todo número ɛ > 0, hay un número correspondiente δ > 0 tal que si (x, y) ∈ D y 0 < √((x - a)² + (y - b)²) < δ, entonces |f(x, y) - L| < ɛ.
• Se escribe lím(x→a, y→b) f(x, y) = L ó f(x, y) → L cuando (x, y) → (a, b).
• Puede hacer los valores de f(x, y) tan cercanos a L como se quiera, acercando (x, y) a (a, b) sin ser igual a (a, b).
• |f (x, y) - L| es la distancia entre los números f (x, y) y L, y √((x-a)² + (y-b)²) es la distancia entre (x, y) y (a, b), suficientemente pequeña, pero no 0.
• Si se tiene ɛ > 0, se puede encontrar δ > 0 tal que, si (x, y) está restringido al disco Dδ y (x, y) ≠ (a, b), entonces la parte correspondiente de S queda entre los planos horizontales z = L - ɛ y z = L + ɛ.
• Si el límite existe este es único, según el teorema de unicidad.
• Teorema de permanencia del signo: si el lím de f(x,y) tendiendo a (a,b) = L y L es distinto de 0, entonces existe un entorno reducido de (a,b) en el cuál la función tiene el mismo signo que su límite.

Continuidad

• Una función ƒ de dos variables es continua en (a, b) si lím(x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b).
• Además, f es continua en D si es continua en todos los puntos (a, b) de D.
• Si f y g son funciones continuas en (a,b) los siguientes también lo son: f+g, f-g, f.g, f/g (con g(a,b)≠0), c.f (con c constante) Funciones de tres o más variables
• El concepto de límite se generaliza a funciones de tres o más variables.
• La notación lím(x,y,z)→(a,b,c) f(x, y, z) = L implica que los valores de f(x, y, z) se aproximan a L cuando (x, y, z) tiende a (a, b, c) a lo largo de cualquier trayectoria en el dominio de f.

Derivadas parciales

• Incluye la definición, interpretación geométrica y derivadas de orden superior y el teorema de Clairaut.
• Las derivadas parciales de una función f de dos variables, fₓ y f_y, son:
  • fₓ(x, y) = límₕ→₀ (f(x + h, y) - f(x, y)) / h
  • f_y(x, y) = límₕ→₀ (f(x, y + h) - f(x, y)) / h
• fₓ es la razón de cambio de z con respecto a x cuando y es constante, y f_y es la razón de cambio de z con respecto a y cuando x es constante.
• Las derivadas de orden superior incluyen (fₓ)ₓ, (fₓ)ᵧ, (fᵧ)ₓ y (fᵧ)ᵧ, denotadas como fₓₓ, fₓᵧ, fᵧₓ y fᵧᵧ.
• Teorema de Clairaut: Si f está definida en un disco D que contiene (a, b) y tanto fₓᵧ como fᵧₓ son continuas en D, entonces fₓᵧ(a, b) = fᵧₓ(a, b).

Plano tangente y aproximaciones lineales

• Incluye el plano tangente a la gráfica de una función (deducción de la fórmula), aproximaciones lineales, linealización, diferenciales, interpretación geométrica, diferenciabilidad y condiciones necesaria y suficiente.
• Una función derivable de dos variables se asemeja a un plano (su plano tangente), permitiendo aproximar la función mediante una función lineal de dos variables.
• El plano tangente a la superficie S en el punto P es el plano que contiene a las rectas T₁ y T₂.
• La ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(x₀, y₀, z₀) es z - z₀ = fₓ(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀), si las derivadas parciales de f son continuas.
• Aproximaciones lineales:
  • z = f(a, b) + fₓ(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)
  • Linealización: L(x, y) = f(a, b) + fₓ(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)
  • Aproximación lineal: f(x, y) ≈ f(a, b) + fₓ(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)
• Incremento de y: Δy = f(a + Δx) – f(a) para función de una variable y = f(x).
• Incremento correspondiente de z: Δz = f(a + Δx, b + Δy) - f(a, b) para función de dos variables z = f(x, y).
• f es diferenciable en (a, b) si Δz = fₓ(a, b) Δx + f_y(a, b) Δy + ε₁ Δx + ε₂ Δy, donde ε₁ y ε₂ → 0 cuando (Δx, Δy) → (0, 0).

Diferenciabilidad

• Una función diferenciable es aquella para la cual la aproximación lineal es una buena aproximación cerca de (a,b).
• Una condición suficiente de diferenciabilidad es que si las derivadas parciales fₓ y f_y existen y son continuas cerca de (a, b), entonces f es diferenciable en (a, b).
• Diferenciales:
  • La diferencial de y se define como dy = f'(x) dx para una función diferenciable de una variable y = f(x).
  • En una función diferenciable de dos variables z = f(x, y), la diferencial total es dz = fₓ(x, y) dx + f_y(x, y) dy.
• Condición necesaria de diferenciabilidad: Si f es diferenciable en (x₀, y₀) ⇒ f es continua en (x₀, y₀).

Regla de la cadena

• Si z = f(x, y) es una función diferenciable de x e y, donde x = g(t) e y = h(t) son funciones de t diferenciables, entonces dz/dt = (∂z/∂x) (dx/dt) + (∂z/∂y) (dy/dt).
• Caso General: Si z es una función diferenciable de n variables x₁, x₂,...xₙ y cada xᵢ es función diferenciable de m variables t₁, t₂,...tₘ, entonces dz/dtᵢ = (∂z/∂x₁) (dx₁/dtᵢ) + (∂z/∂x₂) (dx₂/dtᵢ) +…+ (∂z/∂xₙ) (dxₙ/dtᵢ) para cada i=1,2,...,m.
• Derivación implícita:
  • Si F(x, y) = 0, entonces dy/dx = - (Fₓ / F_y)
  • Si F(x, y, z) = 0, entonces ∂z/∂x = - (∂F/∂x) / (∂F/∂z) y ∂z/∂y = - (∂F/∂y) / (∂F/∂z)
• Teorema de la función implícita(caso I):
  • Si una función F(x,y)=0 cumple con ser continua en un disco A⊆R² que contiene al punto (a,b); la función se anula al menos en un punto (a, b) del dominio: F(a, b) = 0; posee derivadas parciales continuas en un entorno de (a, b); la derivada parcial con respecto a la variable dependiente debe ser distinta de cero, es decir Fy(a, b) ≠ 0 entonces F(x, y) = 0 define a y como función de x (y = y(x)) en un entorno de (a, b) y la derivada de esta función es y'(x) = 0

Extremos libres

• Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b).
• f(a, b) es un valor máximo relativo. Si f(x, y) ≥ f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f(a, b) es un mínimo relativo.
• Si las desigualdades se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en (a, b).
• Si f tiene un máximo o mínimo relativo en (a, b) y existen las derivadas parciales de primer orden, entonces fₓ(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0.
• Un punto (a, b) es un punto crítico (o punto estacionario) de f si fₓ(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0, o si una de estas derivadas parciales no existe.
• Prueba de la segunda derivada: Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas cerca de (a, b), y fₓ(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0. Sea D = fₓₓ(a, b) f_y_y(a, b) - [fₓᵧ(a, b)]².
  • Si D > 0 y fₓₓ(a, b) > 0, entonces f(a, b) es un mínimo relativo.
  • Si D > 0 y fₓₓ(a, b) < 0, entonces f(a, b) es un máximo relativo.
  • Si D < 0, entonces f(a, b) no es ni máximo ni mínimo relativo (punto silla).

Extremos condicionados

• Sea la función z = f(x, y) diferenciable definida en un conjunto abierto S de R², sujeta a la condición φ(x, y) = 0.
• Por el teorema de la función implícita, existe una función y = y(x).
• Multiplicadores de Lagrange:
  • Se forma la función lagrangiana: F(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y)
  • Se resuelve el sistema de ecuaciones: Fₓ = 0, F_y = 0 y φ(x, y) = 0.
  • Condición suficiente: Se evalúa el signo del determinante Hessiano orlado.

EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria)

• Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. El orden es la derivada de mayor orden y el grado es el exponente de dicha derivada.
• Soluciones de una ecuación diferencial
  • Una función φ(x) es una solución si satisface la ecuación diferencial en un intervalo I.
  • La solución general de la ecuación diferencial contiene infinitas soluciones, cuyas gráficas se llaman curvas integrales.
• Existencia y unicidad de la solución particular para el problema de valor inicial
  • Si las funciones fy f_y son continuas en D entonces existe un intervalo abierto I de R contenido en D y una única función φ: I → R que satisface el PVI.
• Ecuaciones diferenciales de variables separables
  • Si la ecuación es de la forma y’=f(x).g(y), se pueden separar las variables.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

• La función z=f(x,y) se llama homogenea de grado "n" si al multiplicar las variables por t, la función queda multiplicada por
• Ecuación diferencial de la forna y’=f(x,y/x) se denomina homogenea

Problemas de optimización condicionados

• Incluyen la minimización de costos y maximización de la producción, definición de costos, supuestos, beneficios económicos, problema primal (elecciones de factores que minimizan costos), problema dual: (maximización de la producción), relación entre el problema primal y el problema dual, condiciones de primer y segundo orden.
• Costos económicos: la visión económica de los costos parte del concepto de “costo de oportunidad". De este modo, el costo de un factor productivo es la magnitud del pago necesario para mantener el actual empleo del recurso
• Suposiciones:
• La empresa produce un único bien, utilizando únicamente capital homogéneo (K) y trabajo homogéneo (L).
• La empresa contrata los factores en un mercado competitivo, pagando w y v por el uso de cada unidad de trabajo y de capital.
• Las rectas isocosto muestran todas las combinaciones posibles de capital(K) y trabajo(L) que le cuestan al mismo una determinada suma de dinero.
• Dado que el problema primal busca la minimización condicionada de los costos: L K, L, λ = w. L + v. K + 2.[q0 – q K, L ].
• La combinación óptima de factores (K,L) satisface las ecuaciones y determinando un costo mínimo Condicionado.
• En contraste el Problema dual: maximización condicionada de la producción: L K, L, λ = q K, L + 2.[CT0 – w. L – v. K]..
• La combinación óptima de factores determinando una producción máxima condicionada son los costos.

Repaso de funciones de varias variables, incluyendo dominio, rango y gráficas. Se definen conceptos como curvas de nivel y superficies de nivel. Ideal para estudiantes de Matemática para Economistas II / Matemática III.