Funciones Cuadráticas: Forma Estándar y Raíces

Funciones Cuadráticas

Forma Estándar

• La forma estándar de una función cuadrática es ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
• Donde:
  • ( a ) ≠ 0 (determina la apertura y dirección de la parábola).
  • ( b ) es el coeficiente lineal.
  • ( c ) es el término constante (intersección con el eje y).

Factores

• Factores de la función cuadrática se expresan como ( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) ).
• ( r_1 ) y ( r_2 ) son las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática.
• Puede utilizarse la factorización o la fórmula cuadrática ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) para encontrar ( r_1 ) y ( r_2 ).

Raíces

• Las raíces de la función son los valores de ( x ) para los cuales ( f(x) = 0 ).
• Pueden ser:
  • Reales y diferentes (dos puntos de intersección con el eje x).
  • Reales y iguales (un punto de intersección, la parábola toca el eje x).
  • Complejas (sin intersección con el eje x, ocurre cuando el discriminante ( b^2 - 4ac < 0 )).

Gráficas

• La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
• Propiedades:
  • Si ( a > 0 ), la parábola abre hacia arriba.
  • Si ( a < 0 ), la parábola abre hacia abajo.
  • El vértice de la parábola se encuentra en ( V(x, f(x)) ) con ( x = -\frac{b}{2a} ).
  • El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice.

Aplicaciones En Problemas Reales

• Se utiliza en diversas áreas como la física, economía y biología.
• Ejemplos de aplicaciones:
  • Trayectorias de proyectiles (altura en función del tiempo).
  • Modelos de maximización y minimización (beneficios en función de la producción).
  • Predicción de fenómenos naturales (crecimiento de poblaciones).
• Permite resolver problemas de optimización y análisis de datos.

Funciones Cuadráticas

Forma Estándar

• La forma estándar de una función cuadrática se expresa como ( f(x) = ax^2 + bx + c ).
• El coeficiente ( a ) determina la apertura y dirección de la parábola, no puede ser cero.
• El coeficiente ( b ) representa el término lineal, que afecta la inclinación de la parábola.
• El término constante ( c ) indica la intersección de la parábola con el eje y.

Factores

• La factorización de la función cuadrática puede representarse por ( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) ).
• Las raíces ( r_1 ) y ( r_2 ) son soluciones de la ecuación cuadrática.
• La fórmula cuadrática ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) permite calcular las raíces.

Raíces

• Las raíces son valores de ( x ) para los que ( f(x) = 0 ).
• Pueden clasificarse en:
  • Reales y diferentes: generan dos intersecciones con el eje x.
  • Reales e iguales: resultan en un único punto de intercepción, donde la parábola toca el eje x.
  • Complejas: ocurren cuando el discriminante ( b^2 - 4ac < 0 ) y no hay intersección con el eje x.

Gráficas

• La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
• Si ( a > 0 ), la parábola abre hacia arriba; si ( a < 0 ), abre hacia abajo.
• El vértice de la parábola se calcula con ( V(x, f(x)) ), donde ( x = -\frac{b}{2a} ) marca el punto más bajo o más alto de la parábola.
• El eje de simetría es una línea vertical que atraviesa el vértice.

Aplicaciones En Problemas Reales

• Las funciones cuadráticas son útiles en campos como la física, economía y biología.
• Ejemplos incluyen:
  • Trayectorias de proyectiles: modelan la altura en función del tiempo.
  • Optimización de beneficios en producción, pasando por modelos de maximización y minimización.
  • Predicción de fenómenos naturales, como el crecimiento poblacional.
• Son herramientas efectivas para resolver problemas de optimización y análisis de datos.