Funciones Composicion y Dominio

Composition of Functions

• Composition of functions is the process of combining two or more functions to create a new function.
• The output of the first function becomes the input of the second function.
• Notation: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
• Example: if f(x) = 2x and g(x) = x + 1, then (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2

Domain and Range

• Domain: The set of input values for which the function is defined.
• Range: The set of output values that the function can produce.
• Notation: f: A → B, where A is the domain and B is the range.
• Example: f(x) = 1/x has a domain of {x | x ≠ 0} and a range of {y | y ≠ 0}.

Inverse Functions

• An inverse function reverses the operation of a function.
• Notation: f^(-1)(x) is the inverse of f(x).
• Properties:
  • f^(-1)(f(x)) = x
  • f(f^(-1)(x)) = x
• Example: if f(x) = 2x, then f^(-1)(x) = x/2.

Relation Types

• Function: A relation where every input corresponds to exactly one output.
• One-to-One (Injective) Function: A function where every output corresponds to exactly one input.
• Onto (Surjective) Function: A function where every output is reached by at least one input.
• Bijective Function: A function that is both one-to-one and onto.

Function Notation

• Function notation: f(x) is read as "f of x" and represents the output of the function f when the input is x.
• Dependent variable: The output variable, often represented by y or f(x).
• Independent variable: The input variable, often represented by x.
• Example: f(x) = 2x is read as "f of x is equal to 2x".

Composición de Funciones

• La composición de funciones es el proceso de combinar dos o más funciones para crear una nueva función.
• La salida de la primera función se convierte en la entrada de la segunda función.
• Notación: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Dominio y Rango

• Dominio: El conjunto de valores de entrada para los que la función está definida.
• Rango: El conjunto de valores de salida que la función puede producir.
• Notación: f: A → B, donde A es el dominio y B es el rango.
• Ejemplo: f(x) = 1/x tiene un dominio de {x | x ≠ 0} y un rango de {y | y ≠ 0}.

Funciones Inversas

• Una función inversa revierte la operación de una función.
• Notación: f^(-1)(x) es la inversa de f(x).
• Propiedades:
  • f^(-1)(f(x)) = x
  • f(f^(-1)(x)) = x
• Ejemplo: si f(x) = 2x, entonces f^(-1)(x) = x/2.

Tipos de Relaciones

• Función: Una relación donde cada entrada corresponde a exactamente una salida.
• Función Uno a Uno (Inyectiva): Una función donde cada salida corresponde a exactamente una entrada.
• Función Onto (Sobreyectiva): Una función donde cada salida es alcanzada por al menos una entrada.
• Función Biyectiva: Una función que es tanto uno a uno como onto.

Notación de Funciones

• Notación de función: f(x) se lee como "f de x" y representa la salida de la función f cuando la entrada es x.
• Variable Dependiente: La variable de salida, a menudo representada por y o f(x).
• Variable Independiente: La variable de entrada, a menudo representada por x.
• Ejemplo: f(x) = 2x se lee como "f de x es igual a 2x".