Fonction Logarithme Népérien

La fonction logarithme népérien

• La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
• Elle est la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en $x=1$.
• $ln(1)=0$
• $ln(e)=1$
• Pour tout $x>0$, $ln'(x)=\frac{1}{x}$
• La fonction $ln$ est dérivable, donc continue sur $]0;+\infty[$.
• Pour tout $x>0$, $ln'(x)>0$, donc la fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
• La fonction $ln$ est concave.
• $\lim\limits_{x \to 0} ln(x)=-\infty$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} ln(x)=+\infty$

Propriétés algébriques

• Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, et pour tout entier relatif $n$ :
  • $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
  • $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$
  • $ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)$
  • $ln(a^n)=nln(a)$
  • $ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)$

Résolution d'équations et d'inéquations

• Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
  • $ln(a)=ln(b) \Leftrightarrow a=b$
  • $ln(a)>ln(b) \Leftrightarrow a>b$
• Pour tout réel $b$ :
  • $ln(x)=b \Leftrightarrow x=e^b$
  • $ln(x)>b \Leftrightarrow x>e^b$

Limites et croissances comparées

• $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x}=0$

• $\lim\limits_{x \to 0} xln(x)=0$

• Pour tout entier naturel $n$ :

  • $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x^n}=0$
  • $\lim\limits_{x \to 0} x^nln(x)=0$

Qu'est-ce que Markdown?

• Markdown est un langage de balisage léger avec une syntaxe de formatage de texte brut.
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Syntaxe

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Listes

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Règles horizontales

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Comprendre le plan de coordonnées

• Le plan de coordonnées est formé par l'intersection d'une ligne numérique horizontale appelée l'axe des x et d'une ligne numérique verticale appelée l'axe des y.
• Il permet de localiser des points, des lignes, des courbes et des régions.

Parties du plan de coordonnées

• Axes : L'axe des x et l'axe des y.
• Origine : Le point où les axes se croisent : (0, 0).

Quadrants

• Quadrant I : (x > 0, y > 0)
• Quadrant II : (x < 0, y > 0)
• Quadrant III : (x < 0, y < 0)
• Quadrant IV : (x > 0, y < 0)

Paires ordonnées

• Une paire ordonnée est une paire de nombres (x, y) qui représente un seul point dans le plan de coordonnées.
  • Le premier nombre, x, est la coordonnée x, qui représente la distance horizontale du point par rapport à l'origine.
  • Le deuxième nombre, y, est la coordonnée y, qui représente la distance verticale du point par rapport à l'origine.

Tracer des points

• Pour tracer le point (x, y) :
  • Commencer à l'origine.
  • Déplacer de x unités horizontalement (à droite si x > 0, à gauche si x < 0).
  • Déplacer de y unités verticalement (vers le haut si y > 0, vers le bas si y < 0).