Faktorenanalyse: Konzepte und Anwendungen

Exploratorische Faktorenanalyse (EFA)

• Exploratorische Faktorenanalyse (EFA) zielt darauf ab herauszufinden, wie viele Faktoren benötigt werden, um Zusammenhänge zwischen beobachteten Variablen zu erklären.
• Ziel ist es auch, zu interpretieren, welche Konstrukte die Faktoren inhaltlich repräsentieren.
• EFA ist einsetzbar, wenn kein theoretisch begründetes Modell überprüft werden soll, wie bei der Konstruktion eines neuen Fragebogens oder der Erkundung eines neuen wissenschaftlichen Gebiets.

Rosenberg Self-Esteem Scale (RSES)

• Die Rosenberg Self-Esteem Scale (RSES) besteht aus 10 Items zur Messung des Selbstwertgefühls.
• Einige Items sind invertiert formuliert, um Antworttendenzen zu kontrollieren.

Dimensionalität der RSES

• Studien zur Faktorenanalyse der RSES haben sowohl eindimensionale als auch mehrdimensionale Strukturen identifiziert.
• Einige Forscher fanden einen einzelnen Faktor, der das allgemeine Selbstwertgefühl repräsentiert.
• Explorative Faktorenanalysen des Fragebogens zeigen typischerweise zwei separate Faktoren: einen für positiv formulierte Items und einen für negativ formulierte Items.
• Die RSES erfasst sowohl positive als auch negative Selbsteinschätzungen.

Arten der Faktorenanalyse

• Explorative Faktorenanalyse (EFA): Ziel ist es, Faktoren innerhalb einer Vielzahl von Variablen zu finden, Theoriegewinnung, alle Variablen laden auf allen Faktoren.
• Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA): Ziel ist es, zu überprüfen, ob a priori festgelegte Zusammenhänge sich in den erhobenen Daten wiederfinden, Theorieprüfung, Variablen laden nur auf den theoretisch zugeordneten Faktoren.

Vergleich EFA vs. CFA

• EFA: Latente Variablen beeinflussen alle manifesten Variablen.
• CFA: Latente Variablen beeinflussen nur spezifische manifeste Variablen.

Grundgedanke der Faktorenanalyse

• Das Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse besagt: Ypv = λp1 · η1v + λp2 · η2v + ... + λpk · ηkv + εpv.
• Ypv: Messwert der Person v auf dem Item p.
• Jeder Messwert lässt sich als Linearkombination mehrerer hypothetischer Faktoren beschreiben.
• ηkv: Faktorwert, der beschreibt, wie stark der Faktor k bei einer Person v ausgeprägt ist.
• λpk: Faktorladung, die den Zusammenhang zwischen dem Item p und dem Faktor k beschreibt.
• εvi: Residualterm der Person v bei der Messung des Item p.
• Ähnlich der Regressionsgleichung, jedoch mit hypothetischen und nicht beobachtbaren Konstrukten.

Voraussetzungen für die Faktorenanalyse: Eignung

• Alternativen zur Faktorenanalyse: Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA), Hauptkomponentenanalyse (PCA), Clusteranalyse (CA), Multidimensionale Skalierung (MDS).

Voraussetzungen: Substanzielle Korrelationen

• Kaiser-Meyer-Olkin (KMO)-Koeffizient: Misst die Angemessenheit der Daten für die Faktorenanalyse.
• Bartlett-Test auf Sphärizität: Prüft, ob die Korrelationsmatrix eine Identitätsmatrix ist.
• Das KMO-Kriterium setzt die Summe aller quadrierten Korrelationen ins Verhältnis zu den Summen der quadrierten und partiellen Korrelationskoeffizienten.
• KMO-Werte ≥ 0,90: Erstaunlich, 0,80–0,89: Verdienstvoll, 0,70–0,79: Ziemlich gut, 0,60–0,69: Mittelmäßig, 0,50–0,59: Kläglich, < 0,50: Keine EFA.
• Der Bartlett-Test auf Sphärizität überprüft, ob die Korrelationsmatrix eine Identitätsmatrix ist.
• Ziel ist es, dass der Bartlett-Test signifikant wird, um zu zeigen, dass die Variablen miteinander korrelieren.

Voraussetzungen: Unverzerrte Zusammenhänge (bivariate NV)

• Bivariate Normalverteilung sollte gegeben sein, damit die Ergebnisse valide sind.

Schätzmethode

• Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse: Ziel ist das Auffinden von Faktoren, meistens quadrierte multiple Korrelation, Latente Faktoren, Ja, Multivariat normalverteilte Daten, Ja.
• Hauptachsen-Faktorenanalyse: Ziel ist das Auffinden von Faktoren, meistens quadrierte multiple Korrelation, Latente Faktoren, Ja, Multivariat normalverteilte Daten, Nein.
• Hauptkomponentenanalyse: Ziel ist die Datenreduktion, Eins, Deskriptive Komponenten, Nein, Keine Verteilungsannahmen, Nein.

Schätzmethode: EFA vs. PCA

• PCA und EFA unterscheiden sich im Modell: Komponenten vs. Faktoren.

Schätzmethode: ML

• Für die EFA wurde eine Vielzahl von Modellen und Schätzverfahren entwickelt (fm = "minres", "gls", "wls").
• Es wird empfohlen, die ML-Methode zur Schätzung zu verwenden (fm = "ml").
• Diese Variante der EFA hat den Vorteil, dass das faktorenanalytische Modell statistisch getestet werden kann.
• Es können Standardfehler für die geschätzten Parameter bestimmt werden.
• Die Prinzipien lassen sich auf eine EFA mit WLSMV-Methode (für ordinale Variablen) übertragen.
• Andere Varianten der EFA wie die Hauptachsenanalyse, kurz PAF, sind möglich, wenn die Annahme der Normalverteilung verletzt ist.
• Vergleich von ML und PAF: ML vorteilhaft bei ungleichen Faktorladungen und Underextraction, PAF vorteilhaft bei orthogonaler Faktorstruktur und Overextraction.

Schätzmethode: Voraussetzungen ML

• Die gemeinsame Verteilung der beobachtbaren Variablen Yį folgt einer multivariaten Normalverteilung.
• Die Erwartungswerte der Faktoren ηj und der Residualvariablen εi sind gleich 0.
• Die Residualvariablen sind untereinander unkorreliert, d.h. alle Korrelationen zwischen den beobachteten Variablen kommen durch deren Abhängigkeit von den Faktoren zustande.
• Die Faktoren und die Residualvariablen sind unkorreliert, d.h. die Varianz einer beobachteten Variablen kann in Kommunalität und Uniqueness zerlegt werden.

Schätzmethode: Probleme bei ML

• Bei der Parameterschätzung kann die Situation auftreten, dass für eine Residualvarianz ein negativer (d.h. theoretisch unmöglicher) Wert geschätzt wird („Heywood-Fall“).
• Dies ist häufig darauf zurückzuführen, dass nicht ausreichend viele beobachtete Variablen für einen bestimmten Faktor in die Analyse aufgenommen wurden.
• In diesem Fall kann man die Anzahl der Faktoren reduzieren, Items aus der Analyse ausschließen oder weitere (passende) Items hinzufügen.

Anzahl Faktoren

• Möglichkeiten zur Bestimmung der Anzahl an Faktoren: Kaiser-Guttmann-Kriterium (Eigenwert > 1), Scree-Test nach Cattell (Eigenwertverlauf), Parallelanalyse nach Horn, Sequentielle x² Modelltests (bei ML).

Anzahl Faktoren: Eigenwert(verlauf)

• Der Scree-Test nach Cattell identifiziert den "Knick" im Eigenwertverlauf, um die Anzahl der Faktoren zu bestimmen.

Anzahl Faktoren: Parallelanalyse

• Parallelanalyse vergleicht den empirisch ermittelten Eigenwertsverlauf mit einem „zufälligen“ Eigenwertsverlauf.
• Für die Berechnung des zufälligen Eigenwertsverlauf wird angenommen, dass alle beobachteten Variablen normalverteilt und unkorreliert sind.
• Die Korrelationsmatrix hat nur Einträge auf der Diagonalen.

Anzahl Faktoren: X² Modelltest

• Sequentielle x² Modelltests (bei ML) können verwendet werden, um die Anzahl der Faktoren zu bestimmen.

Anzahl Faktoren: Vergleich Extraktionskriterien

• Explorative Faktorenanalysen werden verwendet, um die zugrunde liegenden Faktoren multipler beobachteter Variablen zu bestimmen.
• Empfehlung: Kombination von SMT und Hull, EKC oder traditional PA. Bei unklaren Ergebnissen: traditional PA, CD und EKC.

Anzahl Faktoren: Vergleich Modelle

• Es wird zunächst ein Modell mit einem Faktor analysiert (= eindimensionales Modell) und dann schrittweise die Anzahl der Faktoren erhöht.
• Die verschiedenen Modelle werden anhand von Modellgütekoeffizienten verglichen (z.B. x²-Test, informationstheoretische Maße wie BIC, Closeness-of-Fit-Koeffizienten wie RMSEA).
• Es wird dasjenige Modell ausgewählt, das den Modellgütekriterien zufolge nicht verworfen werden muss, die geringste Anzahl von Faktoren aufweist und theoretisch sinnvoll interpretierbar ist.

Anzahl Faktoren: Vergleich Modelle mit Modellgütekoeffizienten

• Gütekriterien für Faktorenanalyse: Standardisiertes RMR (≤ .08), RMSEA (≤ .05), TLI (≥.95).
• Der x²-Test ist stark abhängig von der Stichprobengröße.

Rotationsmethode: Einfachstruktur

• Die Anfangslösung ist (bei mehr als einem Faktor) arbiträr und nur eine von vielen faktoriellen Repräsentationen, die die Datenstruktur mit gleicher Anpassungsgüte beschreiben.
• Um die Interpretierbarkeit zu erleichtern, werden die Faktoren bzw. Ladungen der Anfangslösung häufig gemäß bestimmter Optimalitätskriterien transformiert („rotiert“).
• Die meisten Rotationsverfahren orientieren sich an Thurstones (1947) Kriterium der Einfachstruktur (hoch auf einem Faktor, niedrig auf allen anderen laden).
• Um eine Einfachstruktur der Ladungen zu erreichen, können entweder orthogonale oder oblique Rotationen verwendet werden.

Rotationsmethode: Graphische Veranschaulichung

• Bei obliquer Rotation stehen die Faktoren nicht mehr (notwendigerweise) rechtwinklig zueinander, d.h. die Darstellung "verzerrt".

Rotationsmethode (1)

• Varimax: Faktoren werden so rotiert, dass sie hoch mit manifesten Variablen und niedrig mit anderen Variablen korrelieren.
• Ziel ist, die Varianz innerhalb eines Faktors zu maximieren.
• Quartimax: Ermöglicht einen übergreifenden Generalfaktor.
• Oblimin: Minimiert Kreuzprodukte, hat Einfachstruktur zur Folge, Kreuprodukte klein, wenn Ladungen nahe 0 liegen; delta negativ, dann nahe an orthogonaler Lösung.

Rotationsmethode (2)

• Promax: Von den Ladungen der Varimax Rotation werden k-te Potenzen gebildet, um die Differenzen zwischen kleinen und großen Ladungen zu vergrößern.
• Auf Basis der Ladungen Zielmatrix erstellt; Rotation so durchgeführt, dass die Distanz zur Zielmatrix minimiert wird.

Durchführung einer EFA mit R (psych package)

• Der Befehl psych::fa(dat_res, 2, rotate = "oblimin", fm = "ml") führt eine EFA mit zwei Faktoren, Oblimin-Rotation und Maximum-Likelihood-Schätzung durch.
• Der Output enthält standardisierte Ladungen, Kommunalitäten (h2), Uniqueness (u²), Eigenwerte und die Faktorkorrelationsmatrix.
• Es kann die Anzahl der Faktoren, die Rotationsmethode und die verwendete Schätzmethode definiert werden.
• summary(fit) gibt eine Zusammenfassung der Ergebnisse aus.
• Der Eigenwert ist die Summe der quadrierten Faktorladungen, die aufgeklärte Varianzanteile an der Gesamtvarianz zeigen.
• Eine oblique Rotation erlaubt die Korrelation zwischen den Faktoren.

Interpretation des EFA Outputs

• Stat. Faktorladungen sind Teil des Outputs.
• h² = Kommunalität.
• u² = Uniqueness = 1 - Kommunalität.
• Eigenwert = Summe der quadrierten Faktorladungen.
• Aufgeklärte Varianzanteile an der Gesamtvarianz.
• Die Faktorkorrelationsmatrix (oblique Rotation) zeigt Korrelationen.
• TLI ≥. 95 und RMSEA < .05 sind Hinweise auf eine gute Modellanpassung.

Höhe der Faktorladungen – Ergebnisinterpretation

• Die inhaltliche Bedeutung der Faktoren ergibt sich aus den Ladungen.
• In der Forschungspraxis setzen sich Daumenregeln durch, denen zufolge Ladungen mit >.30 (oder >.40) bedeutsam sind.
• Diese Regeln sind aber nicht unumstritten, da Faktorladungen mit einem Schätzfehler verbunden sind, der größer oder kleiner ausfallen kann.
• Bei EFAs, die auf der ML-Methode basieren, kann die Faktorladung auf Signifikanz geprüft bzw. das Konfidenzintervall der Faktorladung ausgegeben und berücksichtigt werden.
• Je höher die Ladung, desto stärker sollte die Variable bei der Interpretation des Faktors berücksichtigt werden.

RSES – Factor Pattern Matrix

• Faktorladungen zeigen die Beziehung zwischen den Variablen und den extrahierten Faktoren.

RSES – Eigenwert

• Die Eigenwerte geben an, wie viel Varianz durch jeden Faktor erklärt wird; höhere Eigenwerte weisen auf einen größeren Beitrag zur Varianzaufklärung hin.
• Formel: Eigenwert(k) = λ1k² + λ2k² + ... + λpk².

RSES – Kommunalität

• Die Kommunalität gibt an, wie viel Varianz einer Variablen durch die extrahierten Faktoren erklärt wird.
• Formel: Kommunalität(p) = λp1² + λp2² + ... + λpk².

Empfehlungen und deren Umsetzungen

• Für eine ausführliche Analyse wurden die Anwendung von Faktorenanalysen in der psychologischen Forschung evaluiert.
• Empfehlungen gab es hinsichtlich Studiendesign, Extraktionsmethode, der Faktoranzahl und Rotationsmethode.
• Umsetzung der Empfehlungen in der Folgezeit überprüft.

Empfehlungen und deren Umsetzungen (1)

• Empfehlungen fürs Studiendesign: Mind. n = 400, Mind. vier Indikatoren mit akzeptabler Reliabilität für jeden Faktor.

Empfehlungen und deren Umsetzungen (2)

• Empfehlungen für die Wahl der Schätzmethode: Maximum Likelihood.
• Wenn die Annahme der multivariaten Normalität verletzt ist: Transformation der Daten, Korrektur der Fit Indices oder Verwendung einer anderen Methode wie die Hauptachsenfaktorisierung (PAF).

Empfehlungen und deren Umsetzungen (3)

• Empfehlungen für die Bestimmung der Faktoranzahl: Nutzung mehrerer Kriterien.
• Bei ML EFA Kombination von RMSEA mit anderen Methoden (z.B. Parallel Analyse), bei ausreichend großer Stichprobe Kreuzvalidierung.

Empfehlungen und deren Umsetzungen (4)

• Empfehlungen für die Wahl der Rotationsmethode: oblique Rotation (orthogonale Rotation nur Spezialfall).

Dieses Quiz untersucht die Grundlagen der explorativen und konfirmatorischen Faktorenanalyse. Es werden Unterschiede, Anwendungsbereiche und wichtige Konzepte behandelt. Testen Sie Ihr Wissen über Faktorenanalyse!