Expressions et Monômes Algébriques

Expressions algébriques

• Une expression algébrique combine des lettres et des nombres liés par des opérations arithmétiques.
  • Exemple: $3x^2 - 5x + 2$ ou $\sqrt{x} + 1$.
• Un terme est chaque élément ajouté ou soustrait dans une expression algébrique.
  • Dans $3x^2 - 5x + 2$, les termes sont $3x^2$, $-5x$ et $2$.
• Un monôme est une expression algébrique avec un seul terme.
  • Exemple: $3x^2$.
• Un polynôme est une expression algébrique avec plus d'un terme.
  • Exemple: $3x^2 - 5x + 2$.
  • Un binôme est un polynôme de deux termes, par exemple, $x + 1$.
  • Un trinôme est un polynôme de trois termes, par exemple, $x^2 + x + 1$.

Monômes

• Un monôme est une expression de la forme $ax^n$, où :
  • $a$ est le coefficient.
  • $x$ est la partie littérale.
  • $n$ est le degré.
  • Exemple: Dans $5x^3$, le coefficient est 5, la partie littérale est $x$, et le degré est 3.
• Les monômes semblables ont la même partie littérale.
  • Exemple: $3x^2$ et $-5x^2$.

Opérations avec des monômes

• L'addition et la soustraction ne sont possibles qu'avec des monômes semblables et consistent à additionner ou soustraire les coefficients, en gardant la même partie littérale.
  • Exemple: $3x^2 + 2x^2 = 5x^2$.
• La multiplication implique de multiplier les coefficients et additionner les exposants des parties littérales identiques.
  • Exemple: $(3x^2) \cdot (2x^3) = 6x^5$.
• La division implique de diviser les coefficients et soustraire les exposants des parties littérales identiques.
  • Exemple: $\frac{6x^4}{2x^2} = 3x^2$.
• Pour une puissance, le coefficient et la partie littérale sont élevés à cette puissance, multipliant les exposants de la partie littérale.
  • Exemple: $(2x^3)^2 = 4x^6$.

Polynômes

• Un polynôme est une somme de monômes, considérés comme des termes.
  • Exemple: $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$.
• Le degré d'un polynôme est le plus grand degré de ses termes.
  • Exemple: Le degré de $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$ est 3.
• Le terme indépendant est un terme sans partie littérale.
  • Exemple: Dans $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$, le terme indépendant est 1.
• Un polynôme complet contient tous les termes depuis le degré le plus élevé jusqu'au terme indépendant.
  • Exemple: $P(x) = 3x^3 + 0x^2 - 2x + 1$.
• Dans un polynôme ordonné, les termes sont arrangés par degré croissant ou décroissant.
  • Exemple: $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$ est ordonné du plus grand au plus petit degré.
• La valeur numérique d'un polynôme est le résultat obtenu en substituant la variable par un nombre et en effectuant les opérations.
  • Exemple: Pour $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$ et $x = 2$, la valeur numérique est $P(2) = 3(2)^3 - 2(2) + 1 = 21$.

Opérations avec des polynômes

• L'addition et la soustraction impliquent d'additionner ou soustraire les termes semblables des polynômes.
  • Exemple: Pour $P(x) = 3x^2 - 2x + 1$ et $Q(x) = -x^2 + 5x - 3$, $P(x) + Q(x) = 2x^2 + 3x - 2$.
• La multiplication implique de multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre, puis d'additionner les termes semblables.
  • Exemple: Pour $P(x) = x + 1$ et $Q(x) = x - 2$, $P(x) \cdot Q(x) = x^2 - x - 2$.

Division des polynômes

• La division polynomiale se fait de manière similaire à la division entière, recherchant un quotient qui, multiplié par le diviseur, se rapproche le plus possible du dividende.
• Exemple: Diviser $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ par $Q(x) = x - 1$.