Estadística: Muestreo y Aleatoriedad

Conceptos Básicos de Estadística

• La estadística se encarga de identificar, recolectar, sistematizar, procesar y analizar datos para hacer predicciones.
• Las muestras deben ser representativas en tamaño y seleccionadas de forma aleatoria.

Aleatoriedad

• Refleja la falta de un patrón constante o previsibilidad en los eventos.

Marco Muestral

• Consiste en una lista de elementos de la población a estudiar, conocidos como unidades muestrales.

Muestreo

• Se utiliza una fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria:
  $$n_o=\frac{2^2PQ}{d^2}$$
  $$n=\frac{n_o}{1+\frac{n_o-1}{N}}$$
• Variables relevantes:
  • P: probabilidad de ocurrencia
  • Q: probabilidad de no ocurrir
  • d: margen de error
  • N: tamaño de la población

Probabilidad

• Se calcula como:
  $$\frac{casos\ favorables}{casos\ posibles}\times100$$
• Fórmula general: $$z=\frac{X - \mu}{\sigma}$$
  Donde:
  • M: media
  • σ: desviación estándar

Simetría y Cortosis

• La simetría mide el sesgo en la distribución; una distribución simétrica tiene sesgo 0.
• Cortosis indica la concentración de los valores alrededor del promedio:
  • Distribuciones: platicúrtica, mesocúrtica, leptocúrtica.

Clasificación de Estudios Estadísticos

• Descriptivos: analizan datos a través de medidas numéricas, tablas y gráficos.
• Inferenciales: establecen relaciones y comparaciones en la población estudiada.
• Paramétricos: asumen conocimiento sobre la distribución de la variable.
• No paramétricos: analizan datos sin suposiciones sobre la distribución.

Escalas de Medición

• Nominales: datos categóricos sin orden.
• Ordinales: datos categóricos con orden.
• Intervalo: magnitudes en una escala definida, el cero es relativo.
• Razón: datos numéricos con un cero absoluto representando cantidades reales.

Estadística Descriptiva

• Tabulación de datos en tablas de frecuencia y contingencia.
• Medidas de tendencia central: media, mediana, moda.
• Medidas de dispersión: rango, desviación estándar, varianza.
• Gráficos: puntos, líneas, barras, círculos, caja de bigotes, histogramas.

Tipos de Probabilidades

• Discreta: número contable finito de eventos.
• Continua: cantidad infinita de valores en un rango.

Distribuciones de Probabilidad

• Uniforme discreta: todos los eventos tienen la misma probabilidad.
• Bernoulli: variable con dos posibles resultados (éxito o fracaso).
• Binomial: número de éxitos en experimentos independientes.
• Poisson: probabilidad de un número de eventos en un intervalo de tiempo.
• Multinomial: varios eventos excluyentes en ensayos múltiples.

Axiomas de Probabilidad

• La probabilidad de un evento siempre es mayor o igual a cero.
• La probabilidad de que ocurra al menos un evento es igual a 1.
• La probabilidad de múltiples eventos se suma si son mutuamente excluyentes.

Probabilidad Condicional

• P(A|B) se define como la probabilidad de A dado que B ha ocurrido: $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Función de Densidad de Probabilidad

• Herramienta para analizar distribuciones de variables aleatorias continuas.
• En probabilidad continua, la probabilidad de un valor exacto es 0.

Distribuciones Especiales

• Normal: distribución continua con forma de campana, simétrica respecto a la media.
• Lognormal: modelos asimétricos con valores solo positivos.
• Pearson/Chi cuadrado: analiza la independencia y varianza de las variables.
• t de Student: compara medias muestrales.
• F de Snedecor: compara variabilidad entre grupos.

Teoría de la Supervivencia

• Analiza el tiempo hasta que ocurre un evento, utilizando distribuciones como exponencial y de Weibull.

Formulas de Distribuciones

• Exponencial: $$P(X=x) = λε^{-λx} \text{ para } x \geq 0$$
• Beta: $$P(X=x) = x^{α-1}(1-x)^{β-1}$$
• Gamma: $$F(x) = ∫_0^x \frac{(λy)^{α-1} e^{-λy}}{Γ(α)} dy$$
• Weibull: $$P(X=x)=λα(λx)^{α-1} e^{-(λx)^{α}}$$

Distribuciones de Negativa, Geométrica e Hipergeométrica

• Binomial negativa: $$P(X = x) = (\ ^x_{-1}) p^r(1-p)^{x-r}$$
• Geométrica: $$P[X = x] = (1-p)^{x-1} \cdot p$$
• Hipergeométrica: $$P[X = x] = \frac{(\ ^k_x)(\ ^{N-K}_{n-x})}{(\ ^N_n)}$$