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Questions and Answers
Cosa rappresenta la costante 'c' nell'integrazione indefinita?
Cosa rappresenta la costante 'c' nell'integrazione indefinita?
La costante 'c' rappresenta la famiglia di soluzioni traslata lungo l'asse verticale.
Qual è l'importanza del segno nelle aree calcolate tramite gli integrali?
Qual è l'importanza del segno nelle aree calcolate tramite gli integrali?
Il segno indica se l'area è sopra o sotto l'asse x, influenzando il risultato finale.
Cosa rappresenta l'integrazione definita in termini geometrici?
Cosa rappresenta l'integrazione definita in termini geometrici?
L'integrazione definita rappresenta l'area sotto la curva di una funzione tra due punti.
Che funzione determina l'area compresa tra le curve in un integrale?
Che funzione determina l'area compresa tra le curve in un integrale?
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Che cosa rappresenta l'integrale definito nell'intervallo [a, b] di una funzione f(x)?
Che cosa rappresenta l'integrale definito nell'intervallo [a, b] di una funzione f(x)?
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Qual è la formula fondamentale per calcolare un integrale definito?
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Cosa caratterizza l'integrale indefinito di una funzione f(x)?
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Qual è l'espressione corretta per il calcolo dell'integrale della funzione f(x) = e^x?
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Come si calcola l'integrale della funzione f(x) = 1/x?
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Qual è la primitiva della funzione f(x) = sin x?
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Scrivi l'integrale della funzione f(x) = x^k e indica la sua primitiva.
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Come cambia la notazione differenziale quando si passa da integrali in x a integrali in t?
Come cambia la notazione differenziale quando si passa da integrali in x a integrali in t?
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Study Notes
Introduzione
- L'argomento è l'esercitazione sugli integrali.
- La docente è Veronica Redaelli.
- L'università è San Raffaele di Roma.
Sommario
- Il sommario include flashback, calcolo di integrali semplici e applicazioni.
Flashback
- L'integrale definito nell'intervallo [a, b] di una funzione f(x) continua in tale intervallo è dato da ∫ab f(x) dx.
- Rappresenta il valore dell'area sottesa tra il grafico di f(x), l'asse x e le rette verticali x = a e x = b.
Integrale indefinito
- L'integrale indefinito di f(x), indicato come ∫ *f(x)*dx, è dato da F(x) + cost.
- F(x) rappresenta l'insieme di tutte le funzioni le cui derivate sono f(x).
Formula fondamentale
- La formula fondamentale dell'integrazione è: ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a), dove F(x) è una primitiva di f(x).
- Spesso nelle applicazioni pratiche dx può essere sostituito da dt.
Esempi
- Sono presentati vari esempi di funzioni e le corrispondenti primitive.
- f(x) = ex → F(x) = ex + c
- f(x) = 1/x → F(x) = ln(|x|) + c
- f(x) = xk → F(x) = xk+1/(k+1) + c
- f(x) = sin x → F(x) = −cos x
- f(x) = cos x → F(x) = sin x
Esempi di calcolo
- Viene calcolato ∫ 1 dx = x + cost.
- Viene proposto un esempio di integrale di un polinomio: ∫ (4x² - (2/5)x -1) dx = (4/3)x³ - (1/5)x² - x + c.
- Viene svolto un ulteriore esempio di integrale definito con estremi di integrazione: ∫05 (4x² - (2/5)x -1) dx = 136,7.
Integrale di sin(x)
- Calcolo dell'integrale definito di sin(x): ∫02π sin(x) dx = 0.
Esempi più complessi
- Sono mostrati esempi di calcolo che coinvolgono più di una funzione.
Lunghezza di una curva
- La lunghezza di una curva continua f(x) definita tra a e b è data da: l = ∫ab √(1 + (f'(x))²) dx.
Riassumendo
- L'esercitazione si conclude con un riepilogo dei punti chiave trattati.
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Description
Esplora il concetto di integrali attraverso una serie di esercitazioni. Questo quiz comprende flashback sul calcolo degli integrali semplici e la loro applicazione pratica. Ideato dalla professoressa Veronica Redaelli per gli studenti dell'università San Raffaele di Roma.
