Dominio Máximo de Funciones MA0101

Matemáticas Generales MA0101

• Profesor: Lic. Elvis Mejías R.
• Semana 2: Cubre dominio máximo, funciones, gráficas de funciones, funciones elementales y razón de cambio promedio.

Dominio Máximo

• El dominio de una función se determina estableciendo las restricciones para los valores de entrada (x) que resultan en una salida real (y).
• Para determinar el dominio máximo de una función racional, se identifican los valores de x que hacen el denominador igual a cero y se excluyen del dominio.
• Para una función f(x) = (x+2) / (x^2-1), el dominio son todos los números reales excepto -1 y 1, denotado como R - {-1, 1}.
• Cuando una función involucra una raíz cuadrada, el dominio se encuentra asegurando que la expresión dentro de la raíz sea no negativa.
• Para f(x) = √x-5, el dominio es [5, +∞), ya que x debe ser mayor o igual a 5.
• Si la función es f(t) = √t-1, el dominio es todos los reales.
• Para funciones como g(x) = √(2+x) / (3-x), se deben considerar ambas restricciones: el numerador debe ser no negativo y el denominador no puede ser cero.
• El dominio de g(x) es [-2, +∞) - {3}, excluyendo 3 porque hace el denominador cero.
• En el caso de f(x) = 3 / √x-4, el dominio requiere que x-4 sea estrictamente mayor que 0, resultando en el dominio (4, +∞).

Análisis Completo

• Dada una función definida a trozos, como:
• f(x) = x^2 - 4 si x ≤ -5
• f(x) = -4x + 5 si -5 < x < 5
• f(x) = -5 si x > 5
• Evaluar la función en un punto específico implica seleccionar la regla correcta basada en el valor de x.
• Por ejemplo, f(-7) = (-7)^2 - 4 = 45, f(-5) = (-5)^2 - 4 = 21, f(0) = -4(0) + 5 = 5, y f(6) = -5.

Práctica para Estudiantes

• Similar al análisis completo, se propone determinar los valores de una función definida a trozos para diferentes valores de x.

Consideraciones Adicionales

• Se introducen problemas que requieren determinar la preimagen de un valor dado para una función.
• Dada la función n(x) = √121 - x, determine el dominio tal que el resultado sea 6.
• Dada la función p(x) = (5 - 2x) / (x^2 - 1), se debe determinar el dominio tal que el resultado sea -5.
• Dada la función q(x) = √-3 - 5x, se debe determinar el dominio tal que el resultado sea 8.

Prueba de la Recta Vertical

• La prueba de la recta vertical es un método para determinar si una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función.
• Una curva representa una función si y solo si ninguna línea vertical interseca la curva más de una vez.

Análisis de Gráficas

• Una gráfica completa de una función contiene toda la información sobre esta.
• La altura de la gráfica representa el valor de la función en un punto dado.
• Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de puntos x1 y x2 en ese intervalo, con x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2).
• Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de puntos x1 y x2 en ese intervalo, con x1 < x2, se cumple que f(x1) > f(x2).

Máximos y Mínimos Locales

• Un valor máximo local f(a) de una función f es tal que f(a) ≥ f(x) para toda x cercana a a.
• Un valor mínimo local f(a) de una función f es tal que f(a) ≤ f(x) para toda x cercana a a.

Ejemplos de Análisis Completo de Gráficas

• Identificar el dominio de una función a partir de su gráfica.
• Rango (o ámbito).
• Intervalos donde la función crece o decrece.
• Puntos máximos y mínimos locales.
• Imágenes y preimágenes de valores específicos.

Análisis de Gráficas Específicas

• Incluye el análisis del dominio, rango, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos locales de funciones representadas gráficamente.
• Se evalúan valores específicos de la función en puntos dados.