Diviseurs et Multiples en Mathématiques

Diviseurs et Multiples

• Si a et b sont deux nombres naturels non nuls, b est un diviseur de a s'il existe un nombre naturel c tel que a = b x c.
• L'ensemble des diviseurs d'un nombre n est noté div n.
• 1 divise tous les nombres naturels.
• 0 ne divise aucun nombre.

Multiples d'un nombre

• L'ensemble des multiples naturels d'un nombre a est noté aN.
• Exemple : 3N = {0, 3, 6, 9, 12, ...}
• 0 est multiple de tout nombre naturel.
• Tout nombre naturel est multiple de lui-même.

Diviseurs et Multiples d'un nombre

• Si x = y x z, alors x est un multiple de y et de z. x est divisible par y et par z. y et z sont des diviseurs de x.

Propriétés de la divisibilité

• Si un nombre divise deux autres nombres, il divise leur somme.
  • Si a divise b et c, alors a divise (b + c).
• Si un nombre divise deux autres nombres, il divise leur différence.
  • Si a divise b et c, alors a divise (b - c).
• Si un nombre divise un autre, il divise tous ses multiples.

Caractères de divisibilité

• Un nombre est divisible par :
  • 2 : si son dernier chiffre est pair.
  • 3 : si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • 4 : si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
  • 5 : si son dernier chiffre est 0 ou 5.
  • 8 : si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
  • 9 : si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
  • 10 : si son dernier chiffre est 0.
  • 25 : si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 25.
  • 125 : si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 125.

Nombres premiers

• Un nombre premier est un nombre naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
• 1 n'est pas premier.
• Exemple de nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...etc

Factorisation d'un nombre

• Tout nombre naturel se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.

Puissances

• Une puissance est un produit de facteurs égaux.
• Notation : aⁿ, où a est la base et n est l'exposant.
• aⁿ = a x a x a x ... x a (n fois).
• a¹ = a
• a⁰ = 1