ri6uy5etw4r3qew

Die Reële Getallestelsel

• Die reële getallestelsel bestaan uit verskeie subsets van getalle wat algemeen in wiskunde gebruik word.

• Hierdie subsets sluit in Natuurlike Getalle (N), Heelgetalle (N0), Integers (Z), Rasionale Getalle (Q), Irrasionale Getalle (Q'), en Reële Getalle (R).

• Natuurlike Getalle (N):

  • Definisie: Die stel positiewe heelgetalle vanaf 1.
  • Simbool: ( N )
  • Stel: ( {1, 2, 3, \ldots} )

• Heelgetalle (N0):

  • Definisie: Sluit alle natuurlike getalle en nul in.
  • Simbool: ( N_0 )
  • Stel: ( {0, 1, 2, 3, \ldots} )

• Integers (Z):

  • Definisie: Sluit alle heelgetalle en hul negatiewe ekwivalente in.
  • Simbool: ( Z )
  • Stel: ( {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots} )

• Rasionale Getalle (Q):

  • Definisie: Getalle wat as 'n breuk van twee integers uitgedruk kan word, waar die noemer nie nul is nie.
  • Simbool: ( Q )
  • Voorbeelde: ( \frac{1}{2}, \frac{4}{5}, -\frac{3}{7}, 0.75, 0 )

• Irrasionale Getalle (Q'):

  • Definisie: Getalle wat nie as 'n eenvoudige breuk van twee integers uitgedruk kan word nie. Hul desimale uitbreidings is nie-herhalend en nie-eindigend.
  • Simbool: ( Q' )
  • Voorbeelde: ( \sqrt{2}, \pi, e )

• Reële Getalle (R):

  • Definisie: Sluit alle rasionale en irrasionale getalle in.
  • Simbool: ( R )
  • Voorbeelde: Alle getalle op die getallelyn, soos ( \sqrt{2}, -3, 4.5, \pi )

Nie-Reële of Imaginêre Getalle

• Imaginêre Getalle:
  • Definisie: Getalle wat 'n negatiewe vierkantswortel het.
  • Voorbeelde: ( \sqrt{-1}, \sqrt{-28}, \sqrt{-5} )

Hiërargie van Getallestelsels

• Reële Getalle (( R )):
  • Rasionale Getalle (( Q )):
    • Integers (( Z )):
      • Heelgetalle (( N_0 )):
        • Natuurlike Getalle (( N ))
    • Irrasionale Getalle (( Q' ))

Rasionale en Irrasionale Getalle

• Rasionale Getal (Q):
  • Definisie: 'n Rasionale getal kan geskryf word in die vorm ( \tfrac{a}{b} ), waar ( a ) en ( b ) integers is en ( b \neq 0 ).
• Irrasionale Getalle (Q'):
  • Definisie: Irrasionale getalle kan nie geskryf word as 'n breuk met 'n integer teller en noemer nie.

Desimale Getalle

• Rasionale getalle sluit in:
  • Eindigende desimale
  • Herhalende enkel syfer desimale
  • Herhalende patroon van veelvuldige syfers desimale

Omskakeling van Eindigende Desimale na Rasionale Getalle

• Vir 'n desimale getal ( x ):
  • [ x = \text{integer gedeelte} + \frac{\text{eerste desimale syfer}}{10} + \frac{\text{tweede desimale syfer}}{100} + \frac{\text{derde desimale syfer}}{1000} + \ldots ]

Omskakeling van Herhalende Desimale na Rasionale Getalle

• Vir 'n herhalende desimale ( x ):
  • Laat ( x = \text{herhalende desimale} ).
  • Vermenigvuldig ( x ) met 'n mag van 10 sodat die herhalende patroon na die desimale punt in lyn is.
  • Trek die oorspronklike vergelyking van hierdie nuwe vergelyking af.
  • Los op vir ( x ).

Sleutel Punte

• Rasionale getalle kan uitgedruk word as ( \frac{a}{b} ) met ( a, b \in \mathbb{Z} ) en ( b \neq 0 ).
• Irrasionale getalle kan nie as eenvoudige breuke geskryf word nie en het nie-herhalende, nie-eindigende desimale uitbreidings.
• Desimale vorms:
  • Rasionaal as eindigend of herhalend
  • Irrasionaal as nie-eindigend en nie-herhalend
• Afronding van 'n irrasionale getal maak dit 'n rasionale benadering.

Afronding

• Stappe om 'n desimale getal af te rond:
  • Identifiseer die vereiste desimale plek.
  • Bepaal die afrondingsrigting.
    • As die volgende syfer 5 of groter is, rond die laaste syfer van die vereiste desimale plek op.
    • As die volgende syfer minder as 5 is, los die laaste syfer van die vereiste desimale plek onveranderd.
    • As die syfer wat opgerond moet word 9 is, word dit 0, en die voorafgaande syfer word met 1 opgerond.

Sleutel Punte

• Vir ( x ), afgerond tot ( n ) desimale plekke:
  • Identifiseer die ( n )-de desimale syfer en die ( (n+1) )-de syfer.
  • Pas afrondingsreëls toe gebaseer op die waarde van die ( (n+1) )-de syfer.
  • Pas aan dienooreenkomstig en bied die afgeronde getal aan.

Skatting van Wortelvorme

Definisie

• Wortelvorme: Die (n)-de wortel van 'n getal wat nie vereenvoudig kan word tot 'n rasionale getal nie.
  • Byvoorbeeld, (\sqrt{2}) en (\sqrt{6}) is wortelvorme, maar (\sqrt{4}) is nie, omdat dit vereenvoudig tot die rasionale getal 2.

Sleutel Punte

• Vorm: Wortelvorme is dikwels van die vorm (\sqrt[n]{a}) waar (a) enige positiewe getal is.
  • Byvoorbeeld, (\sqrt{7}) of (\sqrt{5}).
• Vir (n = 2), skryf ons gewoonlik (\sqrt{a}) in plaas van (\sqrt[2]{a}).

Skattingsproses

• Identifiseer Volmaakte Magte: Bepaal die naaste volmaakte vierkante of derdemagte (of hoër magte) wat die gegewe wortelvorm omring.
  • Volmaakte Vierkante: Getalle verkry wanneer 'n integer gekwadreer word (bv. 9 van (3^2)).
  • Volmaakte Derdemagte: Getalle verkry wanneer 'n integer tot die derde mag verhef word (bv. 27 van (3^3)).
• Vergelyking:
  • [ \text{As } a \text{ en } b \text{ positiewe heelgetalle is, en } a < b, \text{ dan } \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}. ]

Produkte

• Wiskundige uitdrukkings bestaan uit verskeie dele, elk met spesifieke name:
  • Term: 'n Enkele wiskundige entiteit.
  • Uitdrukking: 'n Kombinasie van terme.
  • Koëffisiënt: Die numeriese faktor in 'n term.
  • Eksponent: Die mag waartoe 'n basis verhef word.
  • Basis: Die veranderlike of getal wat tot 'n mag verhef word.
  • Konstante: 'n Term sonder 'n veranderlike.
  • Veranderlike: 'n Simbool wat 'n onbekende hoeveelheid voorstel.
  • Vergelyking: 'n Stelling dat twee uitdrukkings gelyk is.
• Monomiaal: 'n Uitdrukking met een term.
• Binomiaal: 'n Uitdrukking met twee terme.
• Trinomiaal: 'n Uitdrukking met drie terme.

Vermenigvuldiging

• Vermenigvuldiging van 'n Monomiaal en 'n Binomiaal:
  • [ a(x + y) = ax + ay ]
• Vermenigvuldiging van Twee Binomiale:
  • [ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + adx + bcx + bd ]
• Vermenigvuldiging van 'n Binomiaal en 'n Trinomiaal:
  • [ (A + B)(C + D + E) = A(C + D + E) + B(C + D + E) ]

Faktorisering

• Faktorisering is die proses om 'n uitdrukking af te breek in eenvoudiger uitdrukkings (faktore) wat, wanneer hulle saam vermenigvuldig word, die oorspronklike uitdrukking gee.

Algemene Faktore

• Faktorisering deur 'n algemene faktor uit te haal behels die identifisering en onttrekking van 'n faktor wat algemeen is vir alle terme in die uitdrukking.

Verskil van Twee Vierkante

• 'n Verskil van twee vierkante kan gefaktoriseer word deur die identiteit:
  • [ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ]

Faktorisering deur Groepering in Pare

• Faktorisering deur groepering behels die groepering van terme met algemene faktore en dan die faktorisering van elke groep.

Faktorisering van 'n Kwadratiese Trinomiaal

• 'n Kwadratiese trinomiaal van die vorm (ax^2 + bx + c) kan gefaktoriseer word deur twee binomiale te vind waarvan die produk die oorspronklike trinomiaal is.

Algemene Prosedure vir die Faktorisering van 'n Trinomiaal

• Identifiseer enige algemene faktore.
• Skryf twee hakies neer met 'n (x) in elke hakie:
  • [ (x\ \ ) (x\ \ ) ]
• Lys die faktore van (a) en (c).
• Genereer moontlike pare faktore.
• Brei die pare uit om die een te vind wat ooreenstem met die middelste term (bx).

Som en Verskil van Twee Derdemagte

• Som van Twee Derdemagte:
  • [ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]
• Verskil van Twee Derdemagte:
  • [ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) ]
• Hierdie identiteite kan gebruik word om uitdrukkings te faktoriseer wat die som of verskil van derdemagte behels.

Vereenvoudiging van Breuke

Vermenigvuldiging en Deling van Breuke

• (\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}) waar (b \neq 0) en (d \neq 0)
• (\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}) waar (b \neq 0), (c \neq 0), en (d \neq 0)

Optelling van Breuke

• [ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \quad \text{waar } b \neq 0 ]

Vereenvoudiging van Algebraïese Breuke

• Om algebraïese breuke te vereenvoudig:
  • Faktoriseer die teller en die noemer.
  • Kanselleer algemene faktore.

Stappe vir Vereenvoudiging

• Faktoriseer die uitdrukking:
  • Faktoriseer beide die teller en die noemer om algemene faktore te identifiseer.
• Kanselleer die algemene faktore:
  • Vereenvoudig die breuk deur die algemene faktore in die teller en noemer te kanselleer.

Algemene Prosedures vir die Vereenvoudiging van Komplekse Breuke

• Faktoriseer alle terme in die teller en noemer.
• Herskryf die deling as vermenigvuldiging met die resiprook.
• Kombineer breuke deur 'n gemeenskaplike noemer te vind indien nodig.
• Vereenvoudig die resulterende uitdrukking.

Eksponente, Vergelykings en Ongelykhede

Hersiening van Eksponentwette

• Eksponentwette:
  1. (a^m \times a^n = a^{m+n})
  2. (\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n})
  3. ((ab)^n = a^n b^n)
  4. (\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n})
  5. ((a^m)^n = a^{mn})
• Voorwaardes:
  • (a > 0)
  • (b > 0)
  • (m, n \in \mathbb{R})

Toepassing

• Om eksponensiële uitdrukkings te vereenvoudig, pas die eksponentwette toe en verseker dat alle uitdrukkings met dieselfde basis geskryf word waar moontlik.
  1. Vermenigvuldiging van Eksponente met Dieselfde Basis:
     • [ a^m \times a^n = a^{m+n} ]
  2. Deling van Eksponente met Dieselfde Basis:
     • [ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ]
  3. Verheffing van 'n Produk tot 'n Mag:
     • [ (ab)^n = a^n b^n ]
  4. Verheffing van 'n Kwosiënt tot 'n Mag:
     • [ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} ]
  5. Mag van 'n Mag:
     • [ (a^m)^n = a^{mn} ]
  6. Nul Eksponent:
     • [ a^0 = 1 \quad \text{(vir enige } a \neq 0) ]
  7. Negatiewe Eksponent:
     • [ a^{-n} = \frac{1}{a^n} ]

Faktorisering van Eksponensiële Uitdrukkings

1. Algemene Faktore:
    - Faktoriseer die grootste gemeenskaplike faktor (GGF) in die uitdrukking.
2. Verskil van Vierkante:
    - Pas die formule \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) toe.
3. Priem Faktorisering:
    - Herskryf die basisse in terme van hul priem faktore om die uitdrukkings te vereenvoudig.

Vereenvoudiging van Eksponensiële Uitdrukkings

• Om uitdrukkings wat eksponente behels te vereenvoudig:
  1. Herskryf alle terme met dieselfde basis:
     • Skakel alle getalle om na hul priem basisse indien nodig.
  2. Pas die eksponentwette toe:
     • Gebruik vermenigvuldiging, deling en mag reëls om die eksponente te kombineer of te verminder.
  3. Faktoriseer en Kanselleer:
     • Faktoriseer die uitdrukking om algemene faktore in die teller en noemer te kanselleer.
  4. Vereenvoudig Komplekse Breuke:
     • Vir komplekse breuke, verander na priem basisse, faktoriseer en vereenvoudig dan deur algemene terme te kanselleer.

Rasionale Eksponente

Wette vir Rasionale Eksponente

1. Vermenigvuldiging van Eksponente:
    - \[ a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{m/n + p/q} \]
2. Deling van Eksponente:
    - \[ \frac{a^{m/n}}{a^{p/q}} = a^{m/n - p/q} \]
3. Mag van 'n Mag:
    - \[ \left(a^{m/n}\right)^{p/q} = a^{(m/n) \cdot (p/q)} = a^{\frac{mp}{nq}} \]
4. Verheffing van 'n Produk tot 'n Mag:
    - \[ (ab)^{m/n} = a^{m/n} b^{m/n} \]
5. Verheffing van 'n Kwosiënt tot 'n Mag:
    - \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{m/n} = \frac{a^{m/n}}{b^{m/n}} \]

Vereenvoudiging van Rasionale Eksponente

• Om uitdrukkings met rasionale eksponente te vereenvoudig, volg hierdie stappe:
  1. Skakel om na Rasionale Eksponente:
     • Skakel enige wortels om na breuk eksponente (bv., (\sqrt[n]{a} = a^{1/n})).
  2. Pas Eksponentwette toe:
     • Gebruik die eksponentwette om die uitdrukkings te kombineer en te vereenvoudig.
  3. Vereenvoudig Breuke in Eksponente:
     • Vereenvoudig die breuke in die eksponente soos nodig.

Eksponensiële Vergelykings

• Sleutel Beginsels:
  • As ( a^x = a^y ), dan ( x = y ) (veronderstel ( a > 0 ) en ( a \neq 1 )).

Metodes om Eksponensiële Vergelykings op te los

1. Gelykstelling van Eksponente:
    - As jy beide kante van die vergelyking met dieselfde basis kan skryf, kan jy die eksponente gelykstel aan mekaar.
2. Gebruik van Logaritmes:
    - Wanneer die basisse nie maklik dieselfde gemaak kan word nie, kan logaritmes gebruik word om die vergelyking op te los deur die eksponent te isoleer.

Stappe om op te los

1. Herskryf die Vergelyking:
    - Druk beide kante van die vergelyking uit met dieselfde basis, indien moontlik.
2. Stel die Eksponente Gelyk:
    - Sodra die basisse dieselfde is, stel die eksponente gelyk aan mekaar en los op vir die veranderlike.
3. Kontroleer vir Oorbodige Oplossings:
    - Verifieer die oplossings in die oorspronklike vergelyking om te verseker dat hulle geldig is.

Oplos van Lineêre Vergelykings

• 'n Lineêre vergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste eksponent van die veranderlike 1 is.
• Die oplossing, ook die wortel van 'n vergelyking genoem, is die waarde van die veranderlike wat die vergelyking bevredig.
• Vir lineêre vergelykings is daar hoogstens een oplossing vir die vergelyking.

Metode om Lineêre Vergelykings op te los

1. Brei Alle Hakies Uit: Vereenvoudig beide kante van die vergelyking deur enige hakies uit te brei.
2. Herorganiseer die Terme: Skuif alle terme wat die veranderlike bevat na een kant van die vergelyking en alle konstante terme na die ander kant.
3. Groepeer Soortgelyke Terme Saam: Kombineer soortgelyke terme om die vergelyking te vereenvoudig.
4. Faktoriseer Indien Nodig: Faktoriseer algemene terme indien van toepassing.
5. Los op vir die Veranderlike: Isoleer die veranderlike om sy waarde te vind.
6. Kontroleer die Antwoord: Vervang die oplossing terug in die oorspronklike vergelyking om te verifieer dat beide kante gelyk is.
- 'n Vergelyking moet altyd gebalanseerd wees. Watter bewerking ook al aan die een kant van die vergelyking uitgevoer word, moet ook aan die ander kant uitgevoer word.

Oplos van Kwadratiese Vergelykings

• 'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van die veranderlike hoogstens 2 is.
• Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings in die sin dat 'n lineêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl 'n kwadratiese vergelyking hoogstens twee oplossings het.
• Daar is egter spesiale situasies waarin 'n kwadratiese vergelyking of een oplossing of geen oplossings het.
• Kwadratiese vergelykings word opgelos deur faktorisering.

Metode om Kwadratiese Vergelykings op te los

1. Herskryf die Vergelyking: Verseker dat die vergelyking in die vorm \(ax^2 + bx + c = 0\) is.
2. Deel deur Algemene Faktore: Indien van toepassing, deel die hele vergelyking deur enige algemene faktor van die koëffisiënte om te vereenvoudig.
3. Faktoriseer: Faktoriseer die kwadratiese uitdrukking \(ax^2 + bx + c = 0\) in die vorm \((rx + s)(ux + v) = 0\).
4. Los op vir Beide Faktore: Stel elke faktor gelyk aan nul en los op vir die veranderlike: \(rx + s = 0\) en \(ux + v = 0\).
5. Kontroleer die Oplossing: Vervang die oplossings terug in die oorspronklike vergelyking om korrektheid te verifieer.
- 'n Kwadratiese vergelyking moet altyd gebalanseerd wees. Watter bewerking ook al aan die een kant van die vergelyking uitgevoer word, moet ook aan die ander kant uitgevoer word.

Oplos van Gelyktydige Vergelykings

• Tot nou toe het ons vergelykings met slegs een onbekende veranderlike opgelos.
• Wanneer ons vir twee onbekende veranderlikes oplos, word twee vergelykings vereis en hierdie vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings.
• Die oplossings is die waardes van die onbekende veranderlikes wat beide vergelykings gelyktydig bevredig.
• Oor die algemeen, as daar (n) onbekende veranderlikes is, dan word (n) onafhanklike vergelykings vereis om 'n waarde vir elk van die (n) veranderlikes te verkry.

Oplos deur Substitusie

- Gebruik die eenvoudigste van die twee gegewe vergelykings om een van die veranderlikes in terme van die ander uit te druk.
- Vervang in die tweede vergelyking. Deur dit te doen, verminder ons die aantal vergelykings en die aantal veranderlikes met een.
- Ons het nou een vergelyking met een onbekende veranderlike wat opgelos kan word.
- Gebruik die oplossing om terug te vervang in die eerste vergelyking om die waarde van die ander onbekende veranderlike te vind.

Oplos deur Eliminasie

- Maak die koëffisiënte van een van die veranderlikes dieselfde in beide vergelykings.
- Tel die vergelykings op of trek dit af om daardie veranderlike uit te skakel.
- Los die resulterende vergelyking op vir die oorblywende veranderlike.
- Vervang die waarde van die oorblywende veranderlike terug in een van die oorspronklike vergelykings om die waarde van die uitgeskakelde veranderlike te vind.

Oplos Grafies

• Gelyktydige vergelykings kan ook grafies opgelos word.
• As die grafieke van elke lineêre vergelyking geteken word, dan is die oplossing vir die stelsel van gelyktydige vergelykings die koördinate van die punt waar die twee grafieke kruis.

Woordprobleme

• Om woordprobleme op te los, moet ons 'n stel vergelykings skryf wat die probleem wiskundig voorstel.
• Die oplossing van die vergelykings is dan die oplossing vir die probleem.

Probleemoplossingsstrategie

1. Lees die hele vraag.
2. Bepaal waarvoor ons gevra word om op te los.
3. Ken 'n veranderlike toe aan die onbekende hoeveelheid, byvoorbeeld, \( x \).
4. Vertaal die woorde in algebraïese uitdrukkings deur die gegewe inligting in terme van die veranderlike te herskryf.
5. Stel 'n vergelyking of stelsel van vergelykings op om vir die veranderlike op te los.
6. Los die vergelyking algebraïes op deur substitusie.
7. Kontroleer die oplossing.

Letterlike Vergelykings

• 'n Letterlike vergelyking is een wat verskeie letters of veranderlikes het.

  • Voorbeelde sluit in die oppervlakte van 'n sirkel ( A = \pi r^2 ) en die formule vir spoed ( v = \frac{D}{t} ).

• In hierdie afdeling los ons letterlike vergelykings in terme van een veranderlike op.

• Om dit te doen, gebruik ons die beginsels wat ons geleer het oor die oplossing van vergelykings en pas dit toe om letterlike vergelykings te herrangskik.

  • Die oplossing van letterlike vergelykings staan ook bekend as die verandering van die onderwerp van die formule.

• Hou die volgende in gedagte wanneer letterlike vergelykings opgelos word:

  • Ons isoleer die onbekende veranderlike deur te vra waaraan is dit verbind?'' en hoe is dit verbind?''. Ons voer dan die teenoorgestelde bewerking aan beide kante as 'n geheel uit.
  • As die onbekende veranderlike in twee of meer terme is, neem ons dit uit as 'n algemene faktor.
  • As ons die vierkantswortel van beide kante moet neem, onthou dat daar 'n positiewe en 'n negatiewe antwoord sal wees.
  • As die onbekende veranderlike in die noemer is, vermenigvuldig ons beide kante met die laagste gemene veelvoud (LGM) en gaan dan voort om op te los.

Oplos van Lineêre Ongelykhede

• 'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking in die sin dat die grootste eksponent van 'n veranderlike 1 is.
  • Die metodes wat gebruik word om lineêre ongelykhede op te los, is soortgelyk aan dié wat gebruik word om lineêre vergelykings op te los.
• Die enigste verskil kom voor wanneer daar 'n vermenigvuldiging of 'n deling is wat 'n minus teken behels.
  • As beide kante van die ongelykheid byvoorbeeld deur (-2) gedeel word, dan kry ons (-4 > -3), wat nie waar is nie. Daarom moet die ongelykheidsteken omgeruil word, wat (-4 < -3) gee.