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Questions and Answers
La descomposición en factores primos del número 45 es $3^3 \times 5^1$.
False
El elemento neutro de la multiplicación es el número 0.
False
Para calcular el mínimo múltiplo común de 12 y 18, se utiliza la descomposición en sus factores primos.
True
La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que $a \times b \neq b \times a$.
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Al simplificar la fracción $ rac{60}{90}$ se obtiene $ rac{2}{3}$.
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Todos los números enteros mayores que 1 tienen una única descomposición en factores primos.
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El método de la Criba de Eratóstenes se utiliza para factorizar números directamente.
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La factorización por divisiones sucesivas implica dividir el número por el menor primo posible repetidamente.
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La descomposición en factores primos de un número es irrelevante para encontrar el máximo común divisor (MCD).
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La factorización por árbol implica crear un diagrama que representa las divisiones del número por factores primos.
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Study Notes
Descomposición En Factores Primos
- Definición: Proceso de descomponer un número en los productos de sus factores primos.
-
Método:
- Dividir el número por el menor número primo posible (2, 3, 5, etc.).
- Continuar dividiendo hasta que el resultado sea 1.
- Los divisores utilizados forman la descomposición en factores primos.
-
Ejemplo:
- Para 60:
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 es primo, se detiene aquí.
- Descomposición: ( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 ).
- Para 60:
Propiedades De La Multiplicación
- Conmutativa: ( a \times b = b \times a )
- Asociativa: ( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) )
- Elemento neutro: ( a \times 1 = a )
- Elemento absorbente: ( a \times 0 = 0 )
- Distributiva: ( a \times (b + c) = a \times b + a \times c )
Ejemplos Prácticos
-
Identificar factorización:
- 30: ( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 )
- 45: ( 45 = 3^2 \times 5^1 )
-
Uso en problemas matemáticos:
- Encontrar el mínimo múltiplo común (MMC) usando descomposición:
- Para 12 ((2^2 \times 3^1)) y 18 ((2^1 \times 3^2)), el MMC es (2^2 \times 3^2 = 36).
- Encontrar el mínimo múltiplo común (MMC) usando descomposición:
-
Aplicaciones en la simplificación de fracciones:
- Simplificar (\frac{60}{90}):
- Descomponer: 60 = (2^2 \times 3^1 \times 5^1) y 90 = (2^1 \times 3^2 \times 5^1),
- Cancelar factores comunes: (\frac{2^{2-1} \times 3^{1-2} \times 5^{1-1}}{1} = \frac{2^1}{3^1} = \frac{2}{3}).
- Simplificar (\frac{60}{90}):
Descomposición en Factores Primos
- La descomposición en factores primos es el proceso de convertir un número en una multiplicación de números primos.
- Se utiliza división sucesiva por el menor número primo posible.
- El proceso continúa hasta obtener 1 como resultado.
- Los divisores utilizados forman la descomposición en factores primos.
- Ejemplo: Descomposición de 60: ( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 ).
Propiedades de la Multiplicación
- Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. ( a \times b = b \times a )
- Asociativa: La forma de agrupar los factores no afecta el resultado. ( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) )
- Elemento neutro: Multiplicar por 1 no cambia el valor. ( a \times 1 = a )
- Elemento absorbente: Multiplicar por 0 resulta en 0. ( a \times 0 = 0 )
- Distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la suma. ( a \times (b + c) = a \times b + a \times c )
Ejemplos Prácticos
-
Factorización:
- 30: ( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 )
- 45: ( 45 = 3^2 \times 5^1 )
-
Aplicaciones en la resolución de problemas:
-
Mínimo común múltiplo (MCM): Se usa la descomposición en factores primos para encontrar el MCM.
- Por ejemplo, para 12 ((2^2 \times 3^1)) y 18 ((2^1 \times 3^2)), el MCM es (2^2 \times 3^2 = 36).
-
Mínimo común múltiplo (MCM): Se usa la descomposición en factores primos para encontrar el MCM.
-
Simplificación de fracciones: Se utilizan los factores primos para simplificar fracciones.
- Ejemplo: Simplificar (\frac{60}{90}).
- Descomposición: 60 = (2^2 \times 3^1 \times 5^1), 90 = (2^1 \times 3^2 \times 5^1).
- Cancelación de factores comunes: (\frac{2^{2-1} \times 3^{1-2} \times 5^{1-1}}{1} = \frac{2^1}{3^1} = \frac{2}{3}).
- Ejemplo: Simplificar (\frac{60}{90}).
Descomposición Multiplicativa
- La descomposición en factores primos es el proceso de expresar un número como el producto de sus factores primos.
- Todo número entero mayor que 1 tiene una única descomposición en factores primos.
- Los factores primos son números que solo tienen dos divisores: 1 y el mismo número.
- Por ejemplo, 36 se descompone en factores primos como 2 × 2 × 3 × 3, que también se puede escribir como 2² × 3².
Métodos de Factorización
- Factorización por Prueba y Error: Este método consiste en intentar dividir el número por primos pequeños (2, 3, 5, 7...) hasta obtener solo números primos.
- Factorización por Árbol: Este método utiliza un diagrama en forma de árbol donde se divide el número en factores primos. Cada bifurcación del árbol representa la división por un número primo.
- Factorización por Divisiones Sucesivas: Este método consiste en dividir el número por el menor primo posible repetidamente. Se registra cada primo que divide hasta llegar a un número primo.
- Método de la Criba de Eratóstenes: Este método se utiliza para encontrar todos los primos hasta un número determinado. No es un método directo de factorización, pero ayuda a identificar primos para dividir.
- Uso de la Descomposición en Productos Notables: Este método se aplica para ciertos números que son productos de expresiones algebraicas, lo que facilita la factorización.
Aplicaciones
- La descomposición en factores primos es útil para encontrar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números.
- La descomposición en factores primos se utiliza en la resolución de problemas que involucran múltiplos y divisores en matemáticas y ciencias.
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Description
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