Sistemas LTI Discretos y Filtros FIR

Tema 3: Sistemas LTI en tiempo discreto. Filtros FIR.

• El tema cubre los sistemas LTI en tiempo discreto y los filtros FIR.
• El material es presentado por Carlos García de la Cueva del Departamento de Electrónica, Automática y Comunicaciones ICAI-DEAC.

Indice de Contenidos

• Señales y Sistemas en tiempo Discreto
• Sistemas LTI en tiempo discreto
• Transformada de Fourier en Tiempo Discreto
• Pares de transformadas clásicas
• Procesos estocásticos en tiempo discreto
• Filtros FIR
• Diseño de Filtros FIR
• Referencias

Señales en tiempo discreto

• Cualquier secuencia discreta se puede expresar como x[n] = Σx[k]·δ[n-k].
• La función escalón unidad se define como u[n] = Σδ[n-k].
• Las secuencias discretas periódicas cumplen que x[n] = x[n + M], donde M es el periodo.

Sistemas en Tiempo discreto

• Un sistema sin memoria y[no] = T {x[no]}.
• Sistemas lineales y[n] = {x[n] = ΣΤ{x[n]}
• Sistemas invariantes en el tiempo y[n] = T {x[n]} → y[n – no] = T{x[n – no]}
• Sistemas causales y[no] = T {x[n]}, ∀ n ≤ no
• Sistemas estables |x[n]| ≤ Bx < ∞ → y [n] ≤ By <∞

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI)

• Sistemas LTI: y[n] = T{Σxk[n]} = ΣT{xk[n]}.
• La salida de un sistema LTI: y[n] = T{x[n]} = T{Σx[k]δ[n − k]} = Σx[k]T{δ[n − k]} = Σx[k]h[n − k].
• La convolución discreta: y[n] = x[n] * h[n] = Σx[k]h[n − k] = Σx[k]h[−(k − n)].

Ejemplo de Convolución Discreta

• h[n] = u[n] – u[n – N], x[n] = a^u[n], a ≠ 1
• y[n] = 0, ∀ n < 0
• y[n] = Σa^k = (a⁰ - a^(n+1))/(1-a) = (1 - a^(n+1))/(1-a), ∀ 0 ≤ n ≤ N-1
• y[n] = Σa^k = (a^(n-N+1) - a^(n+1))/(1-a) = a^(n-N+1) * (1 - a^N)/(1-a), ∀ n > N-1

Propiedades de los sistemas LTI en tiempo discreto

• Conmutativa: x[n] * h[n] = h[n] * x[n].
• Distributiva respecto de la suma: x[n] * (h₁[n] + h2[n]) = x[n] * h₁[n] + x[n] * h2[n].
• Asociativa: (x[n] * h₁[n]) * h2[n] = x[n] * (h₁[n] * h2[n]).
• Sistemas en paralelo: h[n] = h₁[n] + h2[n].
• Sistemas en cascada: h[n] = h₁[n] * h2[n].

Estabilidad

Σ|h[k]| < ∞, de modo que el sistema es estable.

Causalidad

• y[n₀] sólo depende de las muestras de entrada x[n] para ∀ n ≤ n₀.
• y[n₀] = Σh[k]x[n₀ - k], con ∀ n₀ − k ≤ n₀ → k ≥ 0.
• Para causalidad h[n] = 0, ∀ n < 0.

La Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (TFTD)

• Se define como X(e^(jw)) = Σ x[n]e^(-jwn), donde −∞ ≤ w ≤ ∞.
• La transformada inversa es x[n] = (1/2π) ∫X(e^(jw)) e^(jwn) dw, integrada de -π a π.
• La TFTD es periódica: X(e^(j(w+2π))) = X(e^(jw)).

Propiedades de la TFTD

• Linealidad: a x[n] + b y[n] ↔ a X (e^(jw)) + b Y (e^(jw)).
• Desplazamiento temporal: x[n - nd] ↔ e^(-jwna) X (e^(jw)).
• Desplazamiento en frecuencia: x[n] * e^(jw₀n) ↔ X (e^(j(w-w₀))).
• Inversión temporal: x[-n] ↔ X (e^(-jw)).
• Derivada de la TFTD: nx[n] ↔ j (d/dw) X (e^(jw)).
• Convolución temporal: x[n] * y[n] ↔ X (e^(jw)) * Y (e^(jw)).
• Multiplicación temporal: x[n] · y[n] ↔ (1/2π) ∫X (e^(jθ)) * Y (e^(j(w-θ))) dθ, integrada de -π a π.
• Diezmado: x[nM] ↔ (1/M) Σ X (e^(j(w+2πk)/M)).
• Interpolación: x[n/L] ↔ X(e^(jwL)).
• Teorema de Parseval: Σ |x[n]|² = (1/2π) ∫ |X (e^(jw))|² dw, integrada de -π a π.

Condición de existencia de la TFTD

• |X(e^(jw))| = Σ |x[n]e^(-jwn)| < ∞.
• Relación con la estabilidad de un sistema LTI: si |x[n]| < Bx y |y[n]| ≤ Bx, entonces Σ |h[k]| < ∞.

Pares de transformadas clásicas

• δ[n] tiene una TFTD de 1.
• δ[η - η₀] tiene una TFTD de e^(-jwn₀).
• La secuencia constante 1 tiene una TFTD de Σ 2πδ(w + 2πk).
• a^n u[n] tiene transformada 1 / (1 − ae^(−jw)).

Ejemplo 1

• Se calcula la transformada inversa de X(e^(jw)) = 1 /((1 - ae-jw)(1 - be-jw)) , descomponiéndola en fracciones parciales y utilizando las transformadas conocidas.

Procesos estocásticos en tiempo discreto

• Los procesos discretos estacionarios en sentido amplio cumplen: E{x[n]} = m_x[n] = m_x, y E{x[n₁]x[n₂]} = R_x[n₁ - n₂] = R_x[τ].
• La densidad espectral de potencia de ruido es: S_x(e^(jw)) = ΣR_x[n]e^(-jwn)

Ruido Blanco

• Rx[τ] σ²_x δ[τ] → Sx(e^(jw)) σ²_x, ∀w
• Ruido complejo: r[n] = ri[n] + j · rq[n], donde ri[n] y rq[n] son procesos estocásticos independientes e idénticamente distribuidos (IID).

Procesos estacionarios discretos aplicados a sistemas LTI

• Ryx[τ] = h[τ]∗ Rx[τ].
• Ry[τ] = Ryx(τ) ∗ h[−τ]* = Rx[τ] ∗ h[τ] ∗ h[−τ]*.
• S_y(e^(jw)) = S_x(e^(jw)) · |H(e^(jw))|^2.
• m_y = E{y[n]} = Σh[k]e^(-jw0n) = m_x · H(e^(j0)).

Filtros FIR (Finite Impulse Response)

• La respuesta al impulso es de longitud finita y h[n] = 0, ∀ n < N₁ y n > N₂, con N₁ ≤ N₂.
• La salida de un filtro FIR se expresa como y[n] = Σh[k]x[n−k].
• Los filtros FIR son estables por definición.
• Para que un filtro FIR sea realizable se requiere la condición de causalidad: h[n] = 0, ∀ n < 0.

Filtros Causal

• h[n] = 0, ∀ n < 0 y n > L - 1.
• La longitud del filtro FIR, se define como L = N₂ - N₁ + 1
• El transitorio de un filtro FIR es el período durante el cual la memoria del filtro está incompleta, que es L - 1 muestras.

Filtros causales simétricos

• Una versión no causal centrada n = 0, h[k] = h[-k]
• H(e^(jw)) = h[0] + 2Σh[n]cos(wn).
• Un desplazamiento de (L - 1)/2, H’(e^(jw)) = H(e^(jw)) * e^(jw(L-1)/2.
• Un filtro FIR simétrico y causal provoca un retardo de grupo τg = -d∠{H(e^(jw))}/dw = (L-1) / 2 muestras.

Implementación HW de filtros FIR

• Los fabricantes FPGAs (Xilinx y Altera) ofrecen módulos ASIC dedicados a operaciones matemáticas intensivas.
• Las principales operaciones de los DSPs aplicadas a sistemas lineales digitales son las de tipo MAC (Multiply and Accumulate).

Implementación SW

• Se usan métodos basados en el filtrado en el dominio de la frecuencia mediante la FFT: "Overlap-Add" y "Overlap-Save".
• La cuantificación de los coeficientes h[n] y el número de bits (nb) afectan la respuesta en frecuencia del sistema.

Diseño de Filtros FIR con Enventanado

• Se define la respuesta en frecuencia deseada Hd (ejw)

Proceso general

• Obtener la respuesta al impulso a partir de la transformada inversa hd[n] = (1/2π)∫Hd (ejw)ejwn dw.
• Hd (ejw) es una función definida a trozos con discontinuidades en los límites de las bandas que da lugar a hd[n] no-causal y de longitud infinita.
• Restringir la longitud del filtro FIR y forzar la condición de causalidad, h[n] = hd[n], 0 ≤ n ≤ L - 1.
• La operación se puede generalizar como una función de enventanado h[n] = hd[n] · w[n] ↔ H(ejw) = Hd (ejw) * W (ejw).

Enventanado Parametrizado

• Ventana de Kaiser

Diseño óptimo de filtros FIR (Parks-McClellan)

• Minimizar el error máximo de E(e^(jw)) = W(e^(jw)) · (Hd(e^(jw)) - Ae(e^(jw))).

Formulas

• -10 · log10(δ1 · δ2) − 13]/[2.324 · Δω] + 1