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Questions and Answers
Quando una matrice quadra è invertibile?
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In che modo una matrice A può trasformare un vettore v?
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Qual è l'equazione caratteristica di una matrice A?
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Cosa rappresentano gli autovalori di una matrice?
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Qual è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti in una matrice?
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Qual è la relazione tra la traccia e il determinante di una matrice con i suoi autovalori?
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Che cosa implica una matrice con rango massimo?
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Cosa significa che un sistema LTI è asintoticamente stabile?
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Cosa indica la presenza di un elemento nullo nella prima colonna della tabella di Routh?
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Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla simmetria quadrantale?
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Se in un sistema LTI ci sono variazioni di segno tra i coefficienti della colonna, cosa può implicare?
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Qual è il ruolo di ε nella tabella di Routh?
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Cosa significa la notazione $ϕ(λ) = ϕ_1(λ)ϕ_2(λ)$?
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Quale affermazione è corretta riguardo all'instabilità di un sistema LTI?
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Qual è il polinomio caratteristico associato a un sistema LTI che non è asintoticamente stabile?
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Quando una matrice A è considerata invertibile?
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Qual è una conseguenza diretta di avere un autovalore nullo in una matrice A?
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Cosa rappresenta la matrice di transizione nello stato eA(t−t0)?
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Quale componente dell'equazione rappresenta il movimento forzato dell'uscita yF(t)?
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Cosa indica la notazione Ψ(t−t0) nella formulazione del sistema?
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In un sistema LTI, cosa rappresenta il termine movimento libero dello stato xL(t)?
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Qual è il significato di eA(t−τ)B all'interno della soluzione dello stato?
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Cosa indica l'equazione di stato x(t) = eA(t−t0)x0 + ∫t0 eA(t−τ)Bu(τ)dτ?
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Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al sistema di disequazioni fratte?
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Qual è l'importanza della linearizzazione nei sistemi non lineari?
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In che modo il metodo grafico è utile per risolvere il sistema di disequazioni?
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Quale affermazione è corretta riguardo alla stabilità nei sistemi non lineari?
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Cosa rappresentano le linee orizzontali verdi nel grafico del prof?
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Qual è la condizione fondamentale per la stabilità asintotica di un sistema LTI?
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Cosa si intende per tabella di Routh ben definita?
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Cosa accade se in una riga della tabella di Routh appare uno zero?
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Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla struttura della tabella di Routh?
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Cosa si può dedurre da un cambio di segno tra i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh?
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In un polinomio caratteristico, quali sono i coefficienti utilizzati per costruire la tabella di Routh?
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Qual è la rappresentazione alla base della costruzione delle righe successive nella tabella di Routh?
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Study Notes
Criterio di Routh
- Il criterio di Routh fornisce una condizione necessaria e sufficiente per determinare la stabilità asintotica di un sistema LTI basandosi sui coefficienti del suo polinomio caratteristico.
- La stabilità asintotica implica che il sistema si stabilizza nel tempo e i suoi stati si avvicinano allo zero in modo asintotico.
Tabella di Routh
-
Per applicare il criterio di Routh, si costruisce una tabella con struttura triangolare, con n+1 righe, dove n è il grado del polinomio caratteristico.
-
Le prime due righe della tabella sono formate dai coefficienti del polinomio, alternando i coefficienti di grado pari e dispari.
-
Le righe successive sono calcolate usando le due righe precedenti, seguendo una formula determinante.
Condizioni per la Stabilità
- Un sistema LTI è asintoticamente stabile se la tabella di Routh è "ben definita", ovvero non presenta zeri nella prima colonna, e tutti i coefficienti della prima colonna hanno lo stesso segno.
- Un cambio di segno nei coefficienti della prima colonna indica la presenza di una radice con parte reale positiva.
Operazioni sulla tabella di Routh
-
Si possono moltiplicare tutte le righe per un coefficiente positivo senza alterare la validità del criterio.
-
Se si incontra uno zero nella prima colonna, si può sostituirlo con un ε piccolo e positivo, continuando a calcolare le righe successive.
Linearizzazione
- La linearizzazione è un processo che approssima un sistema non lineare a un sistema lineare.
- Questo processo è utile per studiare la stabilità di un certo stato (o punto di equilibrio) di un sistema non lineare.
- La linearizzazione si basa sul concetto di stabilità locale, che riguarda il comportamento del sistema in prossimità di un punto di equilibrio.
Differenze tra stabilità nei sistemi lineari e non lineari
- Nei sistemi lineari la stabilità è globale, ovvero se un sistema è stabile, lo è per tutti i possibili stati iniziali.
- Nei sistemi non lineari, la stabilità è locale, ovvero la stabilità di un certo stato non garantisce la stabilità di tutti gli altri stati.
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Description
Questo quiz esplora il criterio di Routh, una tecnica fondamentale per valutare la stabilità asintotica dei sistemi LTI. Scoprirai come costruire la tabella di Routh e quali condizioni devono essere soddisfatte affinché un sistema sia stabile. Testa le tue conoscenze su polinomi caratteristici e stabilità di sistema.
