Conjuntos y Elementos: Unión e Intersección

Sets and Elements

Union

• The union of two sets A and B, denoted as A ∪ B, is the set of all elements that are in A, in B, or in both.
• It is defined as: A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B}
• Example: If A = {1, 2, 3} and B = {3, 4, 5}, then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

Intersection

• The intersection of two sets A and B, denoted as A ∩ B, is the set of all elements that are common to both A and B.
• It is defined as: A ∩ B = {x | x ∈ A and x ∈ B}
• Example: If A = {1, 2, 3} and B = {3, 4, 5}, then A ∩ B = {3}

Difference

• The difference of two sets A and B, denoted as A - B, is the set of all elements that are in A but not in B.
• It is defined as: A - B = {x | x ∈ A and x ∉ B}
• Example: If A = {1, 2, 3} and B = {3, 4, 5}, then A - B = {1, 2}

Complement

• The complement of a set A, denoted as A' or Ac, is the set of all elements that are not in A.
• It is defined as: A' = {x | x ∉ A}
• Example: If A = {1, 2, 3} and the universal set U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, then A' = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Conjuntos y Elementos

Unión

• La unión de dos conjuntos A y B, denotada como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que están en A, en B, o en ambos.
• Está definida como: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
• Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

Intersección

• La intersección de dos conjuntos A y B, denotada como A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes a ambos A y B.
• Está definida como: A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
• Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∩ B = {3}

Diferencia

• La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada como A - B, es el conjunto de todos los elementos que están en A pero no en B.
• Está definida como: A - B = {x | x ∈ A y x ∉ B}
• Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A - B = {1, 2}

Complemento

• El complemento de un conjunto A, denotado como A' o Ac, es el conjunto de todos los elementos que no están en A.
• Está definido como: A' = {x | x ∉ A}
• Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entonces A' = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Números Irracionales

• Un número irracional es un número real que no se puede expresar como un decimal finito o fracción (por ejemplo, π, e, √2)
• Los números irracionales tienen dígitos infinitos no repetidos
• Ejemplos:
  • π (pi)
  • e (número de Euler)
  • √2 (raíz cuadrada de 2)
  • φ (razón áurea)

Intervalos

• Un intervalo es un conjunto de números reales entre un límite inferior y un límite superior
• Tipos de intervalos:
  • Intervalo abierto: (a, b) = {x | a < x < b}
  • Intervalo cerrado: [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
  • Intervalo semiabierto: (a, b] o [a, b) = {x | a < x ≤ b} o {x | a ≤ x < b}
• Notación:
  • (a, ∞) = {x | x > a}
  • (-∞, b) = {x | x < b}

Propiedades de Números Reales

• Propiedad Conmutativa:
  • a + b = b + a
  • a × b = b × a
• Propiedad Asociativa:
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • (a × b) × c = a × (b × c)
• Propiedad Distributiva:
  • a × (b + c) = a × b + a × c
• Identidad Aditiva:
  • 0 es la identidad aditiva (a + 0 = a)
• Identidad Multiplicativa:
  • 1 es la identidad multiplicativa (a × 1 = a)
• Inverso Aditivo:
  • Para cada a, existe -a tal que a + (-a) = 0
• Inverso Multiplicativo:
  • Para cada a ≠ 0, existe 1/a tal que a × (1/a) = 1

Operaciones con Números Reales

• Adición:
  • a + b = la suma de a y b
• Sustracción:
  • a - b = a + (-b)
• Multiplicación:
  • a × b = el producto de a y b
• División:
  • a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
• Exponenciación:
  • a^n = a × a ×...(n veces)

Desigualdades

• Una declaración de que una expresión es menor que, mayor que, menor o igual que, o mayor o igual que otra expresión
• Notación:
  • a < b (a es menor que b)
  • a > b (a es mayor que b)
  • a ≤ b (a es menor o igual que b)
  • a ≥ b (a es mayor o igual que b)
• Propiedades:
  • Propiedad Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
  • Propiedad de Adición: Si a < b, entonces a + c < b + c
  • Propiedad de Multiplicación: Si a < b y c > 0, entonces ac < bc