Compueras Lógicas: AND, OR y NOT

• Las compuertas lógicas son circuitos electrónicos que implementan operaciones lógicas booleanas.
• Cada compuerta tiene una o más entradas y una única salida.
• Las compuertas lógicas básicas son AND, OR y NOT.

Compuerta AND

• La salida de la compuerta AND es 1 solo si todas las entradas son 1.
• Tabla de verdad de la compuerta AND:

Compuerta OR

• La salida de la compuerta OR es 1 si al menos una de las entradas es 1.
• Tabla de verdad de la compuerta OR:

Compuerta NOT

• La salida de la compuerta NOT es la negación de la entrada.
• Tabla de verdad de la compuerta NOT:

Compuertas Lógicas Extendidas

Compuerta NAND

• La compuerta NAND es la negación de la compuerta AND.
• Su salida es 0 solo si todas sus entradas son 1.
• Tabla de verdad de la compuerta NAND:

Compuerta NOR

• La compuerta NOR es la negación de la compuerta OR.
• Su salida es 1 solo si todas sus entradas son 0.
• Tabla de verdad de la compuerta NOR:

Compuerta XOR

• La compuerta XOR (OR exclusiva) produce una salida de 1 solo si las entradas son diferentes.
• Tabla de verdad de la compuerta XOR:

Algebra de Boole

• Se basa en un conjunto de postulados que definen su comportamiento.

Postulados

• Conmutatividad:
  • $A + B = B + A$
  • $A * B = B * A$
• Asociatividad:
  • $(A + B) + C = A + (B + C)$
  • $(A * B) * C = A * (B * C)$
• Distributividad:
  • $A + (B * C) = (A + B) * (A + C)$
  • $A * (B + C) = (A * B) + (A * C)$
• Identidad:
  • $A + 0 = A$
  • $A * 1 = A$
• Complemento:
  • $A + \overline{A} = 1$
  • $A * \overline{A} = 0$

Teoremas

• Dominación:
  • $A + 1 = 1$
  • $A * 0 = 0$
• Idempotencia:
  • $A + A = A$
  • $A * A = A$
• Absorción:
  • $A + (A * B) = A$
  • $A * (A + B) = A$
• De Morgan:
  • $\overline{A + B} = \overline{A} * \overline{B}$
  • $\overline{A * B} = \overline{A} + \overline{B}$

Simplificación de Expresiones Booleanas

Mapas de Karnaugh

• Los Mapas de Karnaugh (K-maps) son una herramienta gráfica utilizada para simplificar expresiones booleanas.
• Permiten identificar patrones y redundancias en las expresiones, facilitando la obtención de circuitos más sencillos y eficientes.
• Ejemplo de simplificación de la expresión booleana $F(A, B, C) = \overline{A}BC + A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C}$ utilizando un Mapa de Karnaugh:
• Construir el Mapa de Karnaugh:

Agrupar términos

• Agrupar los términos adyacentes con valor 1

Escribir la expresión simplificada

• $F(A, B, C) = A\overline{B} + B C + AB\overline{C}$

• El álgebra de Boole y las compuertas lógicas son fundamentales en el diseño de circuitos digitales y sistemas computacionales.