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# Tema: Álgebra de Boole ## Compuertas Lógicas Las compuertas lógicas son circuitos electrónicos que implementan operaciones lógicas booleanas. Cada compuerta tiene una o más entradas y una única salida. Las compuertas lógicas básicas son: * **AND:** La salida es 1 solo si todas las entradas so...

# Tema: Álgebra de Boole ## Compuertas Lógicas Las compuertas lógicas son circuitos electrónicos que implementan operaciones lógicas booleanas. Cada compuerta tiene una o más entradas y una única salida. Las compuertas lógicas básicas son: * **AND:** La salida es 1 solo si todas las entradas son 1. * **OR:** La salida es 1 si al menos una de las entradas es 1. * **NOT:** La salida es la negación de la entrada. ### Compuerta AND | A | B | Salida | | :---- | :---- | :----- | | false | false | false | | false | true | false | | true | false | false | | true | true | true | ### Compuerta OR | A | B | Salida | | :---- | :---- | :----- | | false | false | false | | false | true | true | | true | false | true | | true | true | true | ### Compuerta NOT | A | Salida | | :---- | :----- | | false | true | | true | false | ## Compuertas Lógicas Extendidas ### Compuerta NAND La compuerta NAND es la negación de la compuerta AND. Su salida es 0 solo si todas sus entradas son 1. | A | B | Salida | | :---- | :---- | :----- | | false | false | true | | false | true | true | | true | false | true | | true | true | false | ### Compuerta NOR La compuerta NOR es la negación de la compuerta OR. Su salida es 1 solo si todas sus entradas son 0. | A | B | Salida | | :---- | :---- | :----- | | false | false | true | | false | true | false | | true | false | false | | true | true | false | ### Compuerta XOR La compuerta XOR (OR exclusiva) produce una salida de 1 solo si las entradas son diferentes. | A | B | Salida | | :---- | :---- | :----- | | false | false | false | | false | true | true | | true | false | true | | true | true | false | ## Algebra de Boole ### Postulados El álgebra de Boole se basa en un conjunto de postulados que definen su comportamiento: * **Conmutatividad:** * $A + B = B + A$ * $A * B = B * A$ * **Asociatividad:** * $(A + B) + C = A + (B + C)$ * $(A * B) * C = A * (B * C)$ * **Distributividad:** * $A + (B * C) = (A + B) * (A + C)$ * $A * (B + C) = (A * B) + (A * C)$ * **Identidad:** * $A + 0 = A$ * $A * 1 = A$ * **Complemento:** * $A + \overline{A} = 1$ * $A * \overline{A} = 0$ ### Teoremas A partir de los postulados, se derivan teoremas importantes: * **Dominación:** * $A + 1 = 1$ * $A * 0 = 0$ * **Idempotencia:** * $A + A = A$ * $A * A = A$ * **Absorción:** * $A + (A * B) = A$ * $A * (A + B) = A$ * **De Morgan:** * $\overline{A + B} = \overline{A} * \overline{B}$ * $\overline{A * B} = \overline{A} + \overline{B}$ ## Simplificación de Expresiones Booleanas ### Mapas de Karnaugh Los Mapas de Karnaugh (K-maps) son una herramienta gráfica utilizada para simplificar expresiones booleanas. Permiten identificar patrones y redundancias en las expresiones, facilitando la obtención de circuitos más sencillos y eficientes. **Ejemplo** Simplificar la siguiente expresión booleana utilizando un Mapa de Karnaugh: $F(A, B, C) = \overline{A}BC + A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C}$ 1. **Construir el Mapa de Karnaugh:** | | $\overline{A}\overline{B}$ | $\overline{A}B$ | $AB$ | $A\overline{B}$ | | :---- | :------------------------ | :--------------- | :--- | :--------------- | | **$\overline{C}$** | 0 | 0 | 1 | 1 | | **$C$** | 0 | 1 | 0 | 1 | 2. **Agrupar términos:** Agrupar los términos adyacentes con valor 1. 3. **Escribir la expresión simplificada:** $F(A, B, C) = A\overline{B} + B C + AB\overline{C}$ En resumen, el álgebra de Boole y las compuertas lógicas son fundamentales en el diseño de circuitos digitales y sistemas computacionales.