Chapitre 5: Ondes Électriques avec Pertes

Chapitre 5 : Ondes Électriques dans un Milieu Électrique avec Pertes

• Ce chapitre porte sur la transmission d'ondes électriques à travers un câble coaxial, en considérant les pertes d'énergie.

Câble Coaxial avec Pertes

• Le schéma représente un câble coaxial modélisé avec une résistance linéique (R) et des éléments inductifs et capacitifs distribués.
• La résistance linéique (R) est la source des pertes par effet Joule.
• u(x,t) est la tension au point x au temps t.
• i(x,t) est le courant au point x au temps t.
• δx représente un élément de longueur infinitésimale du câble.
• T est une constante.

Établissement des Équations des Ondes

• Il faut appliquer les lois fondamentales de l'électricité pour dériver les équations qui régissent la propagation des ondes le long du câble.

Loi des Nœuds

• i(x, t) = i(x + δx, t) + ic : le courant entrant dans un nœud est égal à la somme des courants sortant.
• ic représente le courant à travers le condensateur Txδx.
• La limite de [f(x + δx, t) - f(x, t)] / δx lorsque δx tend vers 0 est égale à la dérivée partielle de f par rapport à x (∂f/∂x).

Loi des Mailles

• u(x, t) - u(x + δx, t) = Rδx i(x, t) + ∧δx di(x, t)/dt : la différence de potentiel entre deux points est égale à la somme des chutes de tension dues à la résistance et à l'inductance.
• Rδx i(x, t) représente la chute de tension due à la résistance.
• ∧δx di(x, t)/dt représente la chute de tension due à l'inductance.
• La limite de -∂u/∂x = Ri + ∧ di/dt lorsque δx tend vers 0.

Équation de Propagation

• ∂i/∂x + T ∂u/∂t = 0 et -T (R ∂i/∂t + ∧ ∂²i/∂t² + ∂u/∂∂x) = 0 : deux équations différentielles qui décrivent la relation entre le courant i et la tension u en fonction du temps et de la position.
• En combinant les équations et en faisant une soustraction, on peut annuler u.
• ∂²i/∂x² - T∧ ∂²i/∂t² - TR ∂i/∂t - T∧ ∂²u/∂∂x = 0 : l'équation résultante après avoir combiné les deux équations initiales.

Nouvelle Équation

• ∂²i/∂x² - TR ∂i/∂t - T∧ ∂²i/∂t² = 0

Terme Dissipatif

• c₀ = vitesse qu'auraient les signaux électriques si la résistance du câble était nulle.
• En l'absence de résistance (R = 0), il n'y aurait pas de terme dissipatif, et l'équation deviendrait l'équation d'Alembert.

Solution en Régime Sinusoïdal

• La solution est exprimée sous la forme f(x, t) = A ej(ωt-qx), où A est l'amplitude, ω est la fréquence angulaire, et q est le nombre d'onde.
• q ≠ k
• En calculant dérivées, on peut charchar une nouvelle cara ici q(w)
• −q²f(x, t) = ∂²f/∂x², jωf(x, t) = ∂f/∂t, -ω²f(x, t) = ∂²f/∂t².
• L'expression de q est donnée par q² = (ω²/c₀²)(1 - j/(τω)).

Analyse du Nombre d'Onde q

• Dans l'expression, 9(ω) = ±(ω/c₀) √(1 - j/(τω)), "le sens de propagation des ondes"
• Le nombre d'onde q est complexe car R ≠ 0, ce qui implique une atténuation du signal.
• Les signaux sont atténués exponentiellement avec la distance parcourue.

Analyse de la Propagation

• q est complexe, ce qui implique que l'amplitude diminue exponentiellement avec la distance.
• Diverses transformations mathématiques sont utilisées pour analyser le comportement de l'onde et identifier les termes responsables de l'atténuation et de la propagation.
• qᵢ > 0 indique une atténuation, et la distance caractéristique d'atténuation est donnée par la = 1/|qᵢ|.
• Les ondes ne divergent jamais car l'énergie est physiquement impossible.

En Résumé

• Les paramètres essentiels sont :
  • c₀ : vitesse de propagation quand R = 0.
  • cph : vitesse de phase ; elle dépend de la fréquence en présence de résistance.
  • la : la distance caractéristique d'atténuation
  • q(ω) : la relation de dispersion.

Deux Cas Limites

• On examine deux cas limites : les hautes fréquences (ωτ >> 1) et les basses fréquences (ωτ << 1).

Régime Haute Fréquence (ωτ >> 1)

• Sous certaines conditions, la fréquence est considérée comme élevée.
• q(w) ≈ (ω/c₀) [1 - j/(2τω)].
• À ces fréquences, qᵣ ≈ ω/c₀ et qᵢ ≈ ω/(2τc₀).

Vérification et Analyse

• Vérification du signe de qᵢ et qᵣ opposé => divergence
• La vitesse de phase Cphase et la distance caractéristique d'atténuation la sont exprimées en fonction de ω et τ.
• Cphase augmente avec la fréquence, et la diminue avec la fréquence.

Cas Général

• Il faut savoir se servir d'un graphe qui minimiserait di/dt.
• On simplifie les paramètres du câble en haute fréquence pour mieux le comprendre
• Dans l'approche générale, on utilise des valeurs sans dimension pour simplifier l'analyse du comportement du signal dans le câble coaxial, en se concentrant sur les pertes dans le conducteur.

Dissipation et Dispersion

• Contexte : On considère un milieu homogène, linéaire et invariant dans le temps, avec une onde de la forme Aej(ωt-qx).

Relation de Dispersion

• q(ω) : est la relation entre la fréquence angulaire ω et le nombre d'onde q, qui caractérise la façon dont l'onde se propage dans le milieu.

Phénomène Physique : Dissipation et Dispersion

Milieu Dissipatif

• Si qᵢ ≠ 0 car la = 1/|qᵢ| pour exister => pour atténué l'Amplitude de l'onde par rapport à la distance.

Milieu Dispersif

• Si Cphase = ω/qᵣ est dispersive
• alors les signaux de frequence # ont une vitesse de pharx ≠.

Cas Particulier

Milieu Parfait (sans pertes) Homogène et infini

• C'est un milieu Homogène et infini ou L’Équat d'Alembert est sans dispersion.
  • qₒₒ=0 donc x dissipatif

Milieu avec pertes

• L’Équation est avec τ
• Possibilité d'avoir dissip et dispers. .

Pourquoi Dispersion

• une impulsion est composée de sinusoïde de fréquence F.
• un milieu dispersive les ondes se décalent les une des autre et ont une perte forme initiale.

Remarques

• Dispersion→ pertes de forme (≠vitesse de prop pour ≠fréquena) et perte synch
• Dissipation-> pertes d'énergie (Amplitude ≠)

Vitesse de phase et vitesse de groupe

• R≠0 perte d'énergie => dissipation, et une dispersion

Différents cas

• Cas 1 : Aucune porte d'énergie => Cph = Cgr.
• Cas 2 : Si Dispersion => Co≠ cph ≠ Cgr
• On les 2 sinusoïdes dans le vide

Somme de 2 sinusoïdes de fréquences proche

• Les Σ2 sin (fréquence et des frondais) à des battements
• C'est une infinite des différents vitesses sph (w)

Approximation

• Approximation de A(w) car la variable sl est frequentiell