Ondes Électriques : Pertes sur Câble Coaxial

Ondes Électriques sur un Câble Coaxial avec Pertes

• Un câble coaxial transporte des ondes électriques, mais avec des pertes d'énergie.
• Le modèle mathématique divise le câble en sections Δx.
• Une résistance linéique R modélise les pertes par effet Joule.
• L'équation nodale relie les courants entrant et sortant d'un nœud, avec ic représentant le courant capacitif.
• La loi des mailles relie les tensions dans une boucle en fonction de la résistance et de l'inductance linéiques.

Établissement de l'Équation des Ondes

• L'objectif est de dériver les équations qui gouvernent la propagation des ondes électriques dans le câble coaxial.
• La loi des nœuds est utilisée pour relier les courants aux nœuds du circuit équivalent.
• La loi des mailles est utilisée pour relier les tensions aux mailles du circuit équivalent.

Loi des Noeuds

• L'équation de la loi des nœuds est: i(x,t) = i(x + δx, t) + ic
• Dans la limite où δx tend vers zéro, cette équation peut être exprimée comme une dérivée partielle.
• La formulation de la loi des nœuds est: ∂i(x,t)/∂x = -T ∂u(x,t)/∂t
• T représente une capacité linéique.

Loi des Mailles

• L'équation de la loi des mailles est: u(x,t) - u(x+δx,t) = Rδx i(x,t) + Λδx di(x,t)/dt
• Λ représente une inductance linéique.
• Dans la limite où δx tend vers zéro, cette équation peut être exprimée comme une dérivée partielle.
• La formulation de la loi des nœuds est: -∂u/∂x = Ri + Λ ∂i/∂t

Équation de Propagation

• Combinaison des équations dérivées des lois des nœuds et des mailles pour éliminer une des variables (u ou i) et obtenir une équation en une seule variable.
• L'équation de propagation est: ∂²i/∂x² - TR ∂i/∂t - TL ∂²i/∂t² = 0.
• Cette équation prend en compte la résistance linéique (R) et l'inductance linéique (L).

Solution en Régime Sinusoïdal

• Dans le cas où R est égal à zéro, il n'y a pas de terme dissipatif et on obtient l'équation de d'Alembert.
• L'équation d'onde peut être résolue en régime sinusoïdal en supposant une solution de la forme f(x,t) = A * exp(j(ωt - qx)).
• q est une constante de propagation dépendant de la fréquence ω et des propriétés du câble.
• q ne doit pas être égal à k (k fait référence à une variable du problème de la valeur limite de la vibration de la chaîne).
• q est une grandeur complexe, avec une partie réelle et une partie imaginaire : q = qr + j * qi.
• La partie réelle qr représente la variation de phase de l'onde, tandis que la partie imaginaire qi représente l'atténuation de l'amplitude avec la distance.
• La constante de propagation q dans q(ω/co) = qr jqi décrit la façon dont l'onde se propage et s'atténue.

Interprétation de q Complexe

• La partie imaginaire de q est responsable de l'atténuation exponentielle.
• Alors que la partie réelle détermine l'oscillation.
• qr > 0 et décroissant implique qi < 0, et q < 0 est croissant.
• La direction de propagation est indiquée par le signe de qr et l'atténuation par le signe de qi.

Cas Limites

• L'analyse se concentre sur deux régimes de fréquence limites : hautes fréquences et basses fréquences.

Haute Fréquence

• Dans le régime de haute fréquence, le terme ωT >> 1.
• Si R tend vers 0, alors T tend vers + ∞.
• L'analyse se simplifie en utilisant des approximations basées sur cette condition ; de sorte que ω est beaucoup plus important que la haute fréquence R/L.
• À haute fréquence, l'atténuation dépend de la résistance R et de la fréquence ω.
• Une divergence est vérifiée, donc la partie réelle qr et la partie imaginaire qi sont de signe opposé.

Basse Fréquence

• Dans le régime de basse fréquence, le terme ωT << 1.
• Il n'est pas possible de faire une DL de racine.
• On apporte donc une information physique en ajoutant +1 ou -1.
• L'étude de q permet d'apporter des informations physiques.

Dissipation et Dispersion: un court bilan

• Dans un contexte de milieu homogène, linéaire et invariant dans le temps.
• La relation entre la fréquence et le nombre d'onde est appelée relation de dispersion.

Milieu Dissipatif

• Dissipation de l'énergie de l'onde à mesure qu'elle se propage, entraînant une diminution de l'amplitude avec la distance.

Milieu Dispersif

• Chaque fréquence se propage à une vitesse différente, modifiant la forme de l'onde au cours de la propagation.

Cas Particuliers

• Milieu Parfait : pas de pertes ni de dispersion, où équation d’Alembert est respectée.
• Avec des pertes, il y a équation avec τ et possibilité d'avoir une dissipation dans le milieu.

Conséquences de la Dispersion

• Une impulsion est composée de sinusoïdes de fréquences différentes, qui se décalent et s'élargissent mutuellement.

Vitesse de Phase et Vitesse de Groupe

• En présence de dissipation (R ≠ 0), chaque fréquence a sa propre vitesse de propagation, ce qui entraîne une dispersion.

Vitesse de Phase

• La vitesse à laquelle chaque composante fréquente se propage individuellement.
• La vitesse de phase est Cph = oméga/qr.

Vitesse de Groupe

• La vitesse à laquelle l'énergie totale de l'onde est transportée.
• La formule est degr = dw/da.

Analyse des Vitesses

• Cas 1 : S'il n'y a pas de pertes d'énergie, alors Co = Cph = Cgr
• Cas 2 : La vitesse C0 est différente de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe; la présence de dispersion implique que C0 n'est pas égal à Cph.

Somme de Sinusoïdes

• La somme de 2 sinusoides donne des battements.
• Il est plus facile de voir et d'entendre les battements si les fréquences sont proches l'une de l'autre.

Modélisation de 2 Ondes

• La modélisation de deux ondes en phase crée la fréquence de la moyenne et l'écart d'une demi-onde.