Liczby Rzeczywiste: Aksjomaty Ciała

Rachunkowość Zaawansowana

• Rachunek różniczkowy i całkowy, rozszerzający podstawy rachunku różniczkowego

Rozdział 1. Liczby Rzeczywiste

1.1. Właściwości Algebraiczne

Aksjomaty Ciała

• Liczby rzeczywiste ($\mathbb{R}$) tworzą zbiór, który wraz z działaniami dodawania (+) i mnożenia (·) spełniają określone aksjomaty.

• (A1) Zamkniętość na dodawanie: $a + b \in \mathbb{R}$ dla wszystkich $a, b \in \mathbb{R}$.

• (A2) Łączność dodawania: $(a + b) + c = a + (b + c)$ dla wszystkich $a, b, c \in \mathbb{R}$.

• (A3) Element neutralny dodawania: Istnieje $0 \in \mathbb{R}$ taki, że $a + 0 = a = 0 + a$ dla każdego $a \in \mathbb{R}$.

• (A4) Element odwrotny dodawania: Dla każdego $a \in \mathbb{R}$ istnieje $-a \in \mathbb{R}$ taki, że $a + (-a) = 0 = (-a) + a$.

• (M1) Zamkniętość na mnożenie: $a \cdot b \in \mathbb{R}$ dla wszystkich $a, b \in \mathbb{R}$.

• (M2) Łączność mnożenia: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ dla wszystkich $a, b, c \in \mathbb{R}$.

• (M3) Element neutralny mnożenia: Istnieje $1 \in \mathbb{R}$ taki, że $a \cdot 1 = a = 1 \cdot a$ dla każdego $a \in \mathbb{R}$.

• (M4) Element odwrotny mnożenia: Dla każdego $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$, istnieje $a^{-1} \in \mathbb{R}$ taki, że $a \cdot a^{-1} = 1 = a^{-1} \cdot a$.

• (D) Rozdzielność: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ dla wszystkich $a, b, c \in \mathbb{R}$.

• (A5) Przemienność dodawania: $a + b = b + a$ dla wszystkich $a, b \in \mathbb{R}$.

• (M5) Przemienność mnożenia: $a \cdot b = b \cdot a$ dla wszystkich $a, b \in \mathbb{R}$.

Twierdzenie 1.1.1

• Niech $a, b, c \in \mathbb{R}$, wtedy:
  • Jeśli $a + b = a + c$, to $b = c$.
  • Jeśli $a + b = a$, to $b = 0$.
  • Jeśli $a + b = 0$, to $b = -a$.
  • $-(-a) = a$.

Dowód

• Dowód twierdzenia 1.1.1:
  • Zakładając $a + b = a + c$, dodaj $-a$ do obu stron by otrzymać $b = c$.
  • Jeśli $a + b = a$, to $b = 0$, ponieważ $a + 0 = a$.
  • Jeśli $a + b = 0$, to $b = -a$, ponieważ $a + (-a) = 0$.
  • $-(-a) = a$, gdyż dodanie $-a$ daje 0.

Twierdzenie 1.1.2

• Niech $a, b, c \in \mathbb{R}$, wtedy:
  • $a \cdot 0 = 0$.
  • Jeśli $a \neq 0$ i $a \cdot b = a \cdot c$, to $b = c$.
  • Jeśli $a \cdot b = a$, to $b = 1$.
  • Jeśli $a \neq 0$ i $a \cdot b = 1$, to $b = a^{-1}$.
  • $(a^{-1})^{-1} = a$ jeśli $a \neq 0$.

Dowód

• Dowód twierdzenia 1.1.2:
  • Dowodzi, że $a \cdot 0 = 0$ wykorzystując właściwość rozdzielności i element neutralny dodawania.
  • Jeśli $a \cdot b = a \cdot c$ i $a \neq 0$, mnożąc przez $a^{-1}$ obie strony, otrzymujemy $b = c$.
  • Wykazano, że jeśli $a \cdot b = a$, to $b = 1$ przez pomnożenie przez $a^{-1}$.
  • Dowodzi, że jeśli $a \cdot b = 1$, to $b = a^{-1}$ przez pomnożenie przez $a^{-1}$.
  • $(a^{-1})^{-1} = a$ udowodniono, bazując na własności elementu odwrotnego mnożenia.

Twierdzenie 1.1.3

• Niech $a, b \in \mathbb{R}$. Wtedy:
  • $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$.
  • $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.
  • Jeśli $a \cdot b = 0$, to $a = 0$ lub $b = 0$.

Dowód

• Dowód twierdzenia 1.1.3:
  • Dowodzi własności $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$ wykorzystując właściwości dodawania i mnożenia.
  • Udowodniono, że $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$ wykorzystując poprzednią własność.
  • Wykazano, że jeśli $a \cdot b = 0$, to $a = 0$ lub $b = 0$ kontradykcją.

Twierdzenie 1.1.4

• Jeśli $a, b \in \mathbb{R}$, to:
  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Dowód

• Rozpisanie wyrażeń $(a + b)^2$, $(a - b)^2$ oraz $a^2 - b^2$ prowadzi do udowodnienia tożsamości algebraicznych.

1.2. Własności Porządkowe

Aksjomaty Porządku

• (O1) Prawo Trichotomii: Dla $a, b \in \mathbb{R}$ zachodzi dokładnie jedna z relacji: $a < b$, $a = b$, lub $a > b$.
• (O2) Przechodniość: Jeśli $a < b$ i $b < c$, to $a < c$.
• (O3) Dodawanie: Jeśli $a < b$, to $a + c < b + c$ dla każdego $c \in \mathbb{R}$.
• (O4) Mnożenie: Jeśli $a < b$ i $c > 0$, to $ac < bc$. Jeśli $a < b$ i $c < 0$, to $ac > bc$.

Twierdzenie 1.2.1

• Jeśli $a > 0$, to $-a < 0$. Jeśli $a < 0$, to $-a > 0$.
• Jeśli $a > 0$ i $b > 0$, to $a + b > 0$ i $a \cdot b > 0$.
• Jeśli $a \in \mathbb{R}$, to $a^2 \geq 0$.
• Jeśli $a \neq 0$, to $a^2 > 0$.
• $1 > 0$.
• Jeśli $a > 0$, to $a^{-1} > 0$. Jeśli $a < 0$, to $a^{-1} < 0$.

Dowód

• Dowód twierdzenia 1.2.1:
  • Jeśli $a > 0$, to dodając $(-a)$ do obu stron nierówności, otrzymuje się $-a < 0$.
  • Dwa dodatnie liczby dodane lub pomnożone dają wynik dodatni.
  • Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
  • Kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni.
  • $1 > 0$ wynika z faktu, że $1 = 1^2$.
  • Jeśli $a > 0$, to $a^{-1} > 0$, a jeśli $a < 0$, to $a^{-1} < 0$, co wynika z definicji elementu odwrotnego.

Twierdzenie 1.2.2

• Niech $a, b \in \mathbb{R}$. Wtedy:
  • Jeśli $a < b$, to $-b < -a$.
  • Jeśli $a < b$ i $c < d$, to $a + c < b + d$.
  • Jeśli $0 < a < b$ i $0 < c < d$, to $ac < bd$.
  • Jeśli $a > 0$, to $a > a^{-1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a > 1$, oraz $a < a^{-1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a < 1$.
  • Jeśli $0 < a < b$, to $b^{-1} < a^{-1}$.

Dowód

• Dowody własności porządkowych liczb rzeczywistych, wykorzystujące aksjomaty porządku i właściwości elementu odwrotnego.

1.3. Aksjomat Ciągłości

Definicje

• Ograniczenie Górne: Liczba $M$ jest ograniczeniem górnym zbioru $S$, jeśli $s \leq M$ dla wszystkich $s \in S$.
• Ograniczenie Dolne: Liczba $m$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $S$, jeśli $s \geq m$ dla wszystkich $s \in S$.
• Ograniczony z Góry: Zbiór $S$ jest ograniczony z góry, jeśli ma ograniczenie górne.
• Ograniczony z Dołu: Zbiór $S$ jest ograniczony z dołu, jeśli ma ograniczenie dolne.
• Ograniczony: Zbiór $S$ jest ograniczony, jeśli jest ograniczony zarówno z góry, jak i z dołu.
• Najmniejsze Ograniczenie Górne (Supremum): Najmniejsze ograniczenie górne zbioru $S$, oznaczane $\sup S$, to ograniczenie górne $M$ takie, że $M \leq M'$ dla każdego ograniczenia górnego $M'$ zbioru $S$.
• Największe Ograniczenie Dolne (Infimum): Największe ograniczenie dolne zbioru $S$, oznaczane $\inf S$, to ograniczenie dolne $m$ takie, że $m \geq m'$ dla każdego ograniczenia dolnego $m'$ zbioru $S$.

Aksjomat Ciągłości

• Każdy niepusty zbiór liczb rzeczywistych, ograniczony z góry, ma najmniejsze ograniczenie górne w $\mathbb{R}$.

Twierdzenie 1.3.1

• Każdy niepusty zbiór liczb rzeczywistych, ograniczony z dołu, ma największe ograniczenie dolne w $\mathbb{R}$.

Dowód

• Dowód twierdzenia stwierdza, że dla zbioru ograniczonego z dołu S, zbiór T złożony z przeciwnych elementów S, jest ograniczony z góry, więc istnieje supremum dla T, a zatem infimum dla S.

Własność Archimedesa

• Dla każdego $x \in \mathbb{R}$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $n > x$.
• Dla każdego $x > 0$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $\frac{1}{n} < x$.
• Dla każdego $y > 0$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $n - 1 \leq y < n$.

Twierdzenie 1.3.2 (Własność Archimedesa)

• $\mathbb{N}$ nie jest ograniczony z góry.

Dowód

- Zakłada się, że zbiór liczb naturalnych jest ograniczony z góry, co prowadzi do sprzeczności z aksjomatem ciągłości.

Twierdzenie 1.3.3

• Dla każdego $x \in \mathbb{R}$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $n > x$.
• Dla każdego $x > 0$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $\frac{1}{n} < x$.
• Dla każdego $y > 0$, istnieje $n \in \mathbb{N}$ takie, że $n - 1 \leq y < n$.

Dowód

• Wykorzystuje brak ograniczenia z góry zbioru liczb naturalnych do wykazania, że dla każdej liczby rzeczywistej istnieje większa liczba naturalna.

Twierdzenie 1.3.4 (Gęstość $\mathbb{Q}$ w $\mathbb{R}$)

• Jeśli $a, b \in \mathbb{R}$ i $a < b$, to istnieje liczba wymierna $r \in \mathbb{Q}$ taka, że $a < r < b$.

Dowód

• Wykorzystuje właściwość Archimedesa do wskazania, że każda liczba rzeczywista może być przybliżona przez liczbę wymierną.

Twierdzenie 1.3.5 (Gęstość $\mathbb{I}$ w $\mathbb{R}$)

• Jeśli $a, b \in \mathbb{R}$ i $a < b$, to istnieje liczba niewymierna $t$ taka, że $a < t < b$.

Dowód

• Istnienie liczby niewymiernej $t$, zawierającej się pomiędzy liczbami $a$ i $b$ dowodzi, że zbiór liczb niewymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych.

1.4. Przedziały i Ułamki Dziesiętne

Przedziały

• Przedział Otwarty: $(a, b) = {x \in \mathbb{R} \mid a < x < b}$
• Przedział Zamknięty: $[a, b] = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$
• Przedział Półotwarty: $(a, b] = {x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b}$ i $[a, b) = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b}$
• Przedział Nieskończony: $(a, \infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x > a}$, $[a, \infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x \geq a}$, $(-\infty, b) = {x \in \mathbb{R} \mid x < b}$, $(-\infty, b] = {x \in \mathbb{R} \mid x \leq b}$
• Przedział Nieograniczony: $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$

Własność Przedziałów Zagnieżdżonych

• Dla każdego $n \in \mathbb{N}$, niech $I_n = [a_n, b_n]$ będzie przedziałem zamkniętym takim, że $I_{n+1} \subseteq I_n$. Wtedy $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$.

Twierdzenie 1.4.1 (Własność Przedziałów Zagnieżdżonych)

• Dla każdego $n \in \mathbb{N}$, niech $I_n = [a_n, b_n]$ będzie przedziałem zamkniętym takim, że $I_{n+1} \subseteq I_n$. Wtedy $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$.

Dowód

• W celu udowodnienia niepustości przekroju zagnieżdżonych przedziałów należy pokazać, że supremum dolnych końców przedziałów jest mniejsze bądź równe infimum górnych końców przedziałów.

Reprezentacja Dziesiętna

• Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić jako ułamek dziesiętny:
  • $x = b.a_1 a_2 a_3 \dots$ gdzie $b \in \mathbb{Z}$ oraz $a_i \in {0, 1, 2, \dots, 9}$ dla każdego $i \in \mathbb{N}$.

Niejednoznaczność Reprezentacji Dziesiętnej

• Niektóre liczby rzeczywiste mają więcej niż jedną reprezentację dziesiętną, np. $1 = 0.99999\dots$.

Twierdzenie 1.4.2

• Każdą liczbę rzeczywistą w $[0, 1]$ można zapisać jako ułamek dziesiętny.

Dowód

• Rozbijanie odcinka $[0, 1]$ na coraz mniejsze podprzedziały pozwala na reprezentację dziesiętną każdej liczby rzeczywistej z tego przedziału.

1.5. Zbiory Przeliczalne i Nieprzeliczalne

Definicje

• Zbiory Równoważne: Dwa zbiory $A$ i $B$ są równoważne (mają tę samą moc), oznaczane $A \sim B$, jeśli istnieje bijekcja $f: A \rightarrow B$.
• Zbiór Skończony: Zbiór $S$ jest skończony, jeśli jest pusty lub równoważny zbiorowi ${1, 2, \dots, n}$ dla pewnego $n \in \mathbb{N}$.
• Zbiór Nieskończony: Zbiór jest nieskończony, jeśli nie jest skończony.
• Zbiór Przeliczalny: Zbiór $S$ jest przeliczalny, jeśli jest równoważny podzbiorowi $\mathbb{N}$.
• Zbiór Nieprzeliczalny: Zbiór jest nieprzeliczalny, jeśli nie jest przeliczalny.
• Zbiór Przeliczalnie Nieskończony: Zbiór $S$ jest przeliczalnie nieskończony, jeśli jest równoważny $\mathbb{N}$.

Własności

• Każdy zbiór skończony jest przeliczalny.
• Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
• Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.

Twierdzenie 1.5.1

• Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ jest przeliczalnie nieskończony.

Dowód

• Funkcja identycznościowa jest bijekcją ze zbioru liczb naturalnych w ten sam zbiór.

Twierdzenie 1.5.2

• Zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ jest przeliczalnie nieskończony.

Dowód

• Zdefiniowanie bijekcji między liczbami naturalnymi i całkowitymi dowodzi przeliczalności zbioru liczb całkowitych.

Twierdzenie 1.5.3

• Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest przeliczalnie nieskończony.

Dowód

• Ustawienie liczb wymiernych w uporządkowaną tablicę tworzy zbiór przeliczalny.

Twierdzenie 1.5.4

• Przedział otwarty $(0, 1)$ jest nieprzeliczalny.

Dowód

• Wykorzystuje argument diagonalny Cantora aby pokazać, że nie można ułożyć listy wszystkich elementów z (0, 1).

Twierdzenie 1.5.5

• Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ jest nieprzeliczalny.

Dowód

• Zbiór $\mathbb{R}$ jest nieprzeliczalny, ponieważ zawiera nieprzeliczalny podzbiór $(0, 1)$.

1.6. Przestrzeń Euklidesowa

Przestrzeń Euklidesowa $\mathbb{R}^n$

• Zbiór wszystkich uporządkowanych $n$-tek liczb rzeczywistych, oznaczany $\mathbb{R}^n$, nazywany jest $n$-wymiarową przestrzenią Euklidesową:
  • $\mathbb{R}^n = {(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in \mathbb{R} \text{ dla } i = 1, 2, \dots, n}$

Odległość w $\mathbb{R}^n$

• Odległość między dwoma punktami $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ i $y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ w $\mathbb{R}^n$ jest zdefiniowana jako:
  • $d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$

Własności Odległości

• $d(x, y) \geq 0$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{R}^n$, i $d(x, y) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = y$.
• $d(x, y) = d(y, x)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{R}^n$.
• $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ dla wszystkich $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ (Nierówność Trójkąta).

Kula Otwarta

• Kula otwarta o środku w punkcie $x \in \mathbb{R}^n$ i promieniu $r > 0$ jest zdefiniowana jako:
  • $B(x, r) = {y \in \mathbb{R}^n \mid d(x, y) < r}$

Otoczenie

• Otoczeniem punktu $x \in \mathbb{R}^n$ jest kula otwarta o środku w $x$.

Zbiór Otwarty

• Zbiór $G \subseteq \mathbb{R}^n$ jest zbiorem otwartym, jeśli dla każdego $x \in G$ istnieje otoczenie punktu $x$, które jest zawarte w $G$.

Zbiór Zamknięty

• Zbiór $F \subseteq \mathbb{R}^n$ jest zbiorem zamkniętym, jeśli jego dopełnienie $\mathbb{R}^n \setminus F$ jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 1.6.1 (Nierówność Trójkąta)

• Dla wszystkich $x, y, z \in \mathbb{R}^n$, $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$.

Zasady racjonalnego odżywiania się

• Słowo "dieta" jest kojarzone z odchudzaniem, a tymczasem oznacza sposób odżywiania się dostosowany do potrzeb organizmu.

Zapotrzebowanie organizmu na składniki pokarmowe

• Organizm potrzebuje pokarmu zarówno do wzrostu, rozwoju oraz przeprowadzania procesów życiowych. Potrzeby organizmu zależą też od wieku, stanu zdrowia, masy ciała, stanu fizjologicznego, wykonywanej pracy i aktywności fizycznej, czynników zewnętrznych czy temperatury powietrza.

Czym jest bilans energetyczny

• Bilans energetyczny to różnica między ilością energii dostarczanej w pożywieniu a ilością energii zużywanej na procesy metaboliczne i codzienną aktywność.
• W naszym organizmie wynosi zero.
• Nadmiar będzie gromadzony w postaci tkanki tłuszczowej.
• Dodatni bilans energetyczny można wyrównać dzięki większej aktywności fizycznej.
• Ujemny bilans energetyczny oznacza, że dostarczamy organizmowi za mało energii.
• W takiej sytuacji organizm musi zużywać własne tkanki, co może prowadzić do niedowagi.
• Wartość energetyczną produktów spożywczych wyrażamy w kilokaloriach (1 kcal = 1000 cal) lub w kilodżulach (1 kcal = 4,1868 kJ).

Zapotrzebowanie energetyczne organizmu

Przykładowa tabela spalania kalorii