Cálculo: Números Reales, Funciones, Límite y Continuidad

Guía de Estudio para el Primer Examen Parcial de Cálculo

Números Reales

• Se examinarán los axiomas de campo y orden dentro de los números reales.
• Es clave entender el concepto y la aplicación del valor absoluto.
• Se evaluará la capacidad para resolver desigualdades.
• Se necesita comprender y utilizar la notación de intervalos.

Funciones

• Se definen funciones por su dominio y rango.
• Se requiere comprender la interpretación de gráficas de funciones.
• Se consideran funciones algebraicas y trascendentes.
• El examen cubrirá la transformación de funciones, como desplazamiento, estiramiento, etc.
• Se evaluarán las operaciones con funciones, incluyendo suma, resta, multiplicación, división y composición.
• La función inversa es un tema fundamental.

Límite y Continuidad

• Es esencial conocer la definición formal de límite.
• Se evaluarán los límites laterales.
• Se consideran limites infinitos y límites al infinito.
• Asíntotas horizontales y verticales son temas clave.
• Se requiere entender la continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
• Se analizarán los tipos de discontinuidades.

Sugerencias

• Es recomendable repasar ejemplos y ejercicios resueltos.
• Se aconseja resolver ejercicios adicionales para cada tema.
• Se recomienda consultar dudas con el profesor o compañeros.
• Es fundamental repasar definiciones y teoremas clave.
• Se sugiere organizar el tiempo para dedicarlo a cada tema por igual.

Ejercicios de Práctica

Números Reales

• Resolver desigualdades como $3x - 2 < 7$, $|2x + 1| \geq 5$ y $\frac{x - 3}{x + 2} > 0$.
• Encontrar conjuntos solución para ecuaciones como $|x - 4| = 3$ y $|5 - 2x| = 1$.
• Escribir conjuntos en notación de intervalo, por ejemplo, ${x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 5}$ y ${x \in \mathbb{R} \mid x > 3 \text{ o } x < -1}$.
• Determinar la veracidad de enunciados como $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$, $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ y $\mathbb{Z} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{R}$.

Funciones

• Determinar el dominio y rango de funciones como $f(x) = \sqrt{x - 1}$, $g(x) = \frac{1}{x + 2}$ y $h(x) = x^2 - 4$.
• Dadas $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, encontrar $(f + g)(x)$, $(f \cdot g)(x)$ y $(f \circ g)(x)$.
• Determinar si funciones como $f(x) = x^3 - x$, $g(x) = x^4 + 2x^2 + 1$ y $h(x) = x^2 + x$ son pares, impares o ninguna.
• Encontrar la función inversa de $f(x) = 3x - 5$ y $g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$.

Límite y Continuidad

• Calcular límites como $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2)$, $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ y $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5x + 4}$.
• Determinar la continuidad de funciones como $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } x \leq 1 \ 2x - 1, & \text{si } x > 1 \end{cases}$ en $x = 1$ y $g(x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ en $x = 2$.
• Encontrar asíntotas horizontales y verticales de $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ y $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.
• Utilizar la definición formal para demostrar límites, como $\lim_{x \to 3} (2x - 1) = 5$ y $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.

Algorithmic Trading

Definición

• El trading algorítmico usa programas de computadora para ejecutar operaciones automáticamente según reglas y estrategias predefinidas.

Otros Nombres

• Trading Automatizado
• Trading de Caja Negra
• Trading Sistemático

Razones para Trading Algorítmico

• Posibilita la ejecución de órdenes al mejor precio posible.
• Reduce costos de transacción.
• Aumenta la velocidad de las operaciones.
• Maximiza el aprovechamiento de oportunidades de arbitraje.
• Permite la prueba retrospectiva de estrategias de trading.
• Disminuye la influencia de factores emocionales y psicológicos.

Funcionamiento

• Identificación de oportunidades y formulación de estrategias.
• Prueba retrospectiva de la estrategia con datos históricos ('backtesting').
• Automatización de la estrategia a través de programación personalizada o plataformas existentes.
• Ejecución automática de las operaciones según reglas predefinidas.
• Monitoreo del rendimiento y ajuste de la estrategia según sea necesario.

Tipos de Estrategias

• Seguimiento de Tendencia: Capitalizar movimientos de precios sostenidos en una dirección. Comprar cuando el precio cruza por encima de un promedio móvil; vender cuando cruza por debajo.
• Retorno a la Media: Identificar desviaciones del precio promedio y operar hacia la media. Comprar cuando el precio cae por debajo de cierta desviación estándar de la media; vender cuando sube por encima.
• Arbitraje: Explotar diferencias de precios del mismo activo en diferentes mercados. Comprar un activo en un mercado, y vender simultáneamente en otro para lucrarse con la diferencia.
• Arbitraje Estadístico: Usar modelos estadísticos para identificar anomalías de precios. Trading de pares: identificar activos correlacionados y operar basándose en sus movimientos relativos.
• Creación de Mercado: Proporcionar liquidez con órdenes de compra y venta a ambos lados del mercado. Publicar órdenes límite para comprar y vender una acción alrededor del precio actual del mercado.
• Trading de Alta Frecuencia: Ejecutar un gran número de órdenes a velocidades extremadamente altas. Explotar pequeñas diferencias de precios o desequilibrios del flujo de órdenes.

Consideraciones Clave

• Trampa del 'Backtesting': Resultados positivos en datos históricos pueden no replicarse en trading real.
• Sobreajuste: Crear una estrategia demasiado específica a los datos históricos, que no generaliza bien a datos nuevos.
• Condiciones del Mercado: Estrategias efectivas en ciertas condiciones pueden fallar en otras.
• Costos de Transacción: Comisiones, deslizamientos y otros costos pueden erosionar las ganancias.
• Regulaciones: El trading algorítmico está sujeto a regulaciones contra manipulación del mercado y uso de información privilegiada.

Propiedades de la Transformada de Fourier

Linealidad

• $ax(t) + by(t) \leftrightarrow aX(f) + bY(f)$

Escalamiento Temporal

• $x(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} X(\frac{f}{a})$

Desplazamiento Temporal

• $x(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j2\pi ft_0} X(f)$

Desplazamiento en Frecuencia

• $e^{j2\pi f_0t}x(t) \leftrightarrow X(f - f_0)$

Conjugación

• $x^(t) \leftrightarrow X^(-f)$

Dualidad

• $X(t) \leftrightarrow x(-f)$

Diferenciación

• $\frac{d}{dt}x(t) \leftrightarrow j2\pi fX(f)$

Integración

• $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j2\pi f}X(f) + \frac{1}{2}X(0)\delta(f)$

Multiplicación

• $x(t)y(t) \leftrightarrow X(f) * Y(f)$

Convolución

• $x(t) * y(t) \leftrightarrow X(f)Y(f)$

Relación de Parseval

• $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df$

Criptografía: Seguridad Computacional y Cifrado

Contexto

• Se examinan los conceptos fundamentales de la seguridad computacional y los métodos de cifrado de flujos y bloques.

Seguridad Perfecta vs. Seguridad Computacional

• La seguridad perfecta, ejemplificada por el "one-time pad", asegura que el texto cifrado no revele información sobre el mensaje original, lo cual se indica con las ecuaciones: $P(M) = P(M|C)$ or $P(C) = P(C|M)$
• "One-time pad" se basa en la operación XOR: $C = M \oplus K$, donde K es una clave aleatoria de la misma longitud que el mensaje.

Seguridad Computacional

• Un esquema se considera computacionalmente seguro si un adversario no puede romperlo con recursos computacionales razonables.
• La probabilidad de éxito de un adversario en un esquema computacionalmente seguro es insignificante.

Funciones Insignificantes

• Una función f(n) se clasifica como insignificante si, para cada polinomio positivo p(n), existe un N ∈ ℕ tal que, para todo n > N, se cumple: $|f(n)| < \frac{1}{|p(n)|}$
• Por ejemplo, $f(n) = 2^{-n}$ es insignificant, y $f(n) = n^{-5}$ no lo es.

Cifrado de Flujo ("Stream Ciphers")

• Cifrado de flujo: cifra datos bit a bit o byte a byte, a menudo usado para flujos largos como tráfico de red.
• Aunque no alcanzando la seguridad perfecta, los cifrados de flujo pueden lograr seguridad computacional.
• Operan generando un flujo de clave pseudoaleatorio XORed con el texto plano: $C_i = M_i \oplus K_i$.
• La seguridad del cifrado de flujo depende de la impredecibilidad de el generador de números pseudoaleatorios (PRG) usado.

Seguridad PRG (Generador de números pseudoaleatorios)

• Definición de PRG: un algoritmo determinista que extiende una semilla corta y aleatoria en una secuencia pseudoaleatoria más larga: $G: {0,1}^n \rightarrow {0,1}^m$, donde m > n.
• Un PRG predichible significa que existe un adversario A tal que la probabilidad de predecir la semilla a partir de la salida no es insignificante: $Pr[A(G(s)) = s] > negl(n)$
• Un PRG seguro es indistinguible de una secuencia aleatoria verdadera. Formalmente: $|Pr[A(G(s)) = 1] - Pr[A(r) = 1]| \le negl(n)$
• Donde A es un algoritmo PPT (Probabilistic Polynomial-Time) que intenta distinguir la salida del PRG de una secuencia aleatoria.

Ataques Comunes a Cifradores de Flujo

• Conocimiento del Texto Plano: Recuperar el flujo de clave XORing el texto plano descubierto con el texto cifrado.
• Ataque de Solo Texto Cifrado: Adivinar el flujo de clave utilizando solamente el texto cifrado.
• Ataque de Texto Plano Elegido: Obtener los textos cifrados correspondientes a los textos planos elegidos para reconstruir el flujo de clave.
• Ataque de Clave Relacionada: Explotar el uso de claves relacionadas para descifrar el flujo de clave.

Ejemplos Comunes

• RC4.
• Salsa20.
• ChaCha20.

Cifradores de Bloque ("Block Ciphers")

• Definicón de cifrado de bloque: cifrado de texto plano en bloques de tamaño fijo.
• Empleados para protección datos en reposo, ejemplo: archivos o bases de datos.
• La encriptación la controla una clave secreta, con su inverso para el proceso de decifrado.

Seguridad del Cifrado de Bloque

• Un cifrado de bloque debe ser indistingible de una permutación verdaderamente aleatoria. Formalmente: $|Pr[A(E_k(x)) = 1] - Pr[A(p(x)) = 1]| \le negl(n)$
• Donde $E_k(x)$ es la encriptación del texto y k es la clave.

Ejemplos de Cifrado de Bloque

• DES
• AES

Modos de Operación

• Modos de Operación Definidos:
• Libro de Códigos Electrónico (ECB): cada bloque de texto está cifrado independientemente, utilizando la misma llave.
• Encadenamiento del Bloque de Cifrado (CBC): cada bloque de texto plano se XOR con el bloque de texto cifrado anterior antes de encriptarse. _ Contador (CTR): cada bloque de texto plano se XOR con un valor unico de contador que se cifra usando la llave.

Modos y sus Modificaciones

ECB

• Ventajas: Simple y eficiente
• Desventajas: expone cada bloque de cifrado multiple vez, y si los planos texto base se repiten pueden revelar información.

CBC

• Ventajas: Produce diferentes bloques de cifrado incluso cuando se encripta el mismo texto plano, evitando el desprendiemiento de información.
• Desventajas Requiere un vector para la inicialización , y como la incriptación es secuencial, la parallelización no es posible. Notación $C_i = E_k(P_i \oplus C_{i-1})$ Donde C0 Es un vector de inicialización aleatorio.

CTR

• Ventajas puede parallelizar la encripción, no requiere vectores de inicialización.
• Desventajas necesita asegurarse no se use multiple veces el mismo valor de contador, exponiendo información clave.

La Distribución Normal Estándar

Definición

• Una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1.
• El área total bajo la curva es igual a 1.
• Aproximadamente el 68% del área bajo la curva está dentro de 1 desviación estándar de la media.
• Aproximadamente el 95% del área bajo la curva está dentro de 2 desviaciones estándar de la media.
• Aproximadamente el 99.7% del área bajo la curva está dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Gráfico

• La curva es simétrica alrededor de la media, con el punto más alto en la media.
• El área bajo la curva representa la probabilidad de observar un valor dentro de un cierto rango.
• Diferentes regiones bajo la curva están sombreadas para representar el porcentaje de datos dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media.
• El área dentro de 1 desviación estándar de la media es aproximadamente del 68%.
• El área dentro de 2 desviaciones estándar de la media es aproximadamente del 95%.
• El área dentro de 3 desviaciones estándar de la media es aproximadamente del 99.7%.

Fórmula

• La distribución normal estándar se define mediante la función de densidad de probabilidad:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

• donde:
  • x es el valor de la variable
  • $\pi$ es una constante matemática aproximadamente igual a 3.14159
  • e es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828

Tabla de Áreas

• Ofrece el área bajo la curva normal estándar entre 0 y z, para diversos valores z.

Funciones Vectoriales de Variable Real

Definición

• Una función vectorial de variable real es una función $\overrightarrow{r}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ que asigna a cada número real $t$ un vector $\overrightarrow{r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$.
• Las funciones $f_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son las funciones componentes de $\overrightarrow{r}$.
• Ejemplo: $\overrightarrow{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$

Dominio

• Es el conjunto de valores de $t$ donde todas las funciones componentes $f_i(t)$ están definidas.

Límite

• El límite de $\overrightarrow{r}(t)$ cuando $t \to a$ es el vector de los límites de las funciones componentes: $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = (\lim_{t \to a} f_1(t), \lim_{t \to a} f_2(t),..., \lim_{t \to a} f_n(t))$
• Siempre que existan todos los límites de las funciones componentes.

Continuidad

• $\overrightarrow{r}(t)$ es continua en $t = a$ si:
  • $\overrightarrow{r}(a)$ está definida.
  • $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t)$ existe.
  • $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{r}(a)$.
• Equivalentemente, $\overrightarrow{r}(t)$ es continua en $t = a$ si todas sus funciones componentes $f_i(t)$ son continuas en $t = a$.

Derivada

• La derivada de $\overrightarrow{r}(t)$ se obtiene derivando cada función componente: $\overrightarrow{r}'(t) = (f_1'(t), f_2'(t),..., f_n'(t))$
• Notación: $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{r}'(t)$

Interpretación Geométrica

• $\overrightarrow{r}'(t)$ es un vector tangente a la curva descrita por $\overrightarrow{r}(t)$ en el punto $\overrightarrow{r}(t)$.

Reglas de Derivación

• $\overrightarrow{r}(t)$ y $\overrightarrow{s}(t)$ son funciones vectoriales derivables, y $f(t)$ es una función escalar derivable:
  • $\frac{d}{dt}[\overrightarrow{r}(t) + \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) + \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt}[c\overrightarrow{r}(t)] = c\overrightarrow{r}'(t)$
  • $\frac{d}{dt}[f(t)\overrightarrow{r}(t)] = f'(t)\overrightarrow{r}(t) + f(t)\overrightarrow{r}'(t)$
  • $\frac{d}{dt}[\overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) \cdot \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \cdot \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt}[\overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}(t)] = \overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{s}(t) + \overrightarrow{r}(t) \times \overrightarrow{s}'(t)$
  • $\frac{d}{dt}[\overrightarrow{r}(f(t))] = \overrightarrow{r}'(f(t))f'(t)$

Integral

• La integral de $\overrightarrow{r}(t)$ se calcula integrando cada función componente: $\int \overrightarrow{r}(t) dt = (\int f_1(t) dt, \int f_2(t) dt,..., \int f_n(t) dt)$

Longitud de Arco

• La longitud de la curva descrita por $\overrightarrow{r}(t)$ desde $t = a$ hasta $t = b$ es: $L = \int_a^b ||\overrightarrow{r}'(t)|| dt = \int_a^b \sqrt{[f_1'(t)]^2 + [f_2'(t)]^2 +... + [f_n'(t)]^2} dt$

Parametrización con Respecto a la Longitud de Arco

• Una curva $\overrightarrow{r}(t)$ se puede parametrizar en función de la longitud de arco $s$, donde $s(t) = \int_a^t ||\overrightarrow{r}'(u)|| du$. La nueva parametrización $\overrightarrow{r}(s)$ cumple que $||\overrightarrow{r}'(s)|| = 1$.