Bysentrum preferanse modell

Anta at det eksisterer en byregion med 12 distinkte soner, hvor beboere typisk bor i én sone og arbeider i en annen. Hvis vi antar at sone 1 fungerer som et sentralt forretningsdistrikt (CBD) og alle andre soner er ordnet sekvensielt basert på deres radiale avstand fra sone 1, hvor mange unike kombinasjoner eksisterer det hvor arbeidsplassen ligger nærmere CBD enn bostedet?

Gitt at $U_{ij} = - \beta d_{ij} + \epsilon_{ij}$ representerer nytten en person opplever ved å reise fra sone i til sone j, der $\epsilon_{ij}$ er uavhengige og normalfordelte med null forventning og varians 50, og $\beta = 0.2$, beregn forventet nytte ved å reise fra i til j. Hvordan tolker du fortegnet til dette leddet?

Definer $\epsilon = \epsilon_{11} - \epsilon_{12}$, hvor $\epsilon_{11}$ og $\epsilon_{12}$ er uavhengige og normalfordelte med null forventning og varians 50. Hva er fordelingen av $\epsilon$, og hva er forventningen og variansen?

Benytt resultatet fra forrige spørsmål. Hva er sannsynligheten for at en person foretrekker å bo i sone 2 og jobbe i sone 1 fremfor å bo og jobbe i sone 1, gitt at $d_{11} = 0$ og $d_{12} = 50$?

La $X$, $Y$, $Z$ og $W$ være tilfeldige variabler. Bevis at $\text{Cov}[X + Y, W] = \text{Cov}[X, W] + \text{Cov}[Y, W]$.

Anta at $X$, $Y$ og $Z$ er uavhengige tilfeldige variabler. Bevis at $\text{Cov}[X + Y, Z + Y] = \text{Var}[Y]$.

Anta at for alle par $(i, j)$ hvor $i = 1, ..., 12$ og $j = 1, ..., 12$, $\epsilon_{ij}$ er uavhengige med null forventning og konstant varians $\sigma^2 \neq 0$. Definer $\tilde{\epsilon}{ij} = \epsilon{ij} + \epsilon_{ji} - \epsilon_{ii} - \epsilon_{jj}$. Finn forventning og varians til $\tilde{\epsilon}{ij}$ når $i \neq j$ og kovariansen mellom $\epsilon{12}$ og $\epsilon_{13}$. Er disse uavhengige variabler?

I en byregion bestående av 4 distinkte soner, gitt en matrise T som spesifiserer antall pendlere som bor i sone $i$ og jobber i sone $j$, finn marginaltotalene til tabellen. Hvordan tolker du disse tallene? Hva kjennetegner sone 1?

Hvordan ville tabellen sett ut hvis valg av arbeidssted var uavhengig av bosted i den samme byregionen med 4 soner?

Bruk en kji-kvadrattest for uavhengighet på dataene for å undersøke om arbeidssted er uavhengig av bosted, ved å bruke et signifikansnivå på 5%. Hvilken konklusjon trekker du? Er dette en rimelig konklusjon? Hva er en svakhet ved denne testen?

Anta at $d_{ii} = 0$ for alle verdier av $i$. Vis at $$ln\left(\frac{T_{ij}T_{ji}}{T_{ii}T_{jj}}\right) = -\beta(d_{ij} + d_{ji}) + (\epsilon_{ij} + \epsilon_{ji} - \epsilon_{ii} - \epsilon_{jj})$$

Definer $F_{ij} = -\beta(d_{ij} + d_{ji}) + (\epsilon_{ij} + \epsilon_{ji} - \epsilon_{ii} - \epsilon_{jj})$. Hvordan vil du tolke størrelsen $d_{ij} + d_{ji}$? Hvilken verdi har residualen til $F_{11}$? Vis at residualene til $F_{12}$ og $F_{21}$ alltid vil være like. Hvorfor kan det være et problem?

For å dempe problemene som er identifisert, vurder å bruke kun verdier for $F_{ij}$ der $i > j$. Hvor mange slike verdier finnes det? Har residualene konstant varians? Er alle residualene uavhengige? Kan vi bruke OLS for å estimere $\beta$?

En GLS (generalisert minste kvadraters metode) brukes for å analysere data fra et område med 12 soner. GLS tar for seg heteroskedastisitet og korrelasjon i residualene. Regresjonskoeffisienten for nyedistanser er 0.0121953 med en standardfeil på 0.0004149 og en tilhørende p-verdi <2e-16. Tolk denne utskriften i detalj.

Regresjonsmodellen er: lm(formula = nyelogverdier ~ nyedistanser). En ny regresjon kjøres for en spesifikk befolkningsgruppe, og formelen endres til: lm(formula = logverdierGruppe2 ~ nyedistanser). Den estimerte koeffisienten for nyedistanser er 0.0252023 med en standardfeil på 0.0003473 (p <2e-16). Sammenlign resultatene fra de to regresjonene. Er forskjellen signifikant? Hvilken konklusjon kan du trekke fra disse studiene?

Anta i Oppgave 4 at et stort antall personer velger en kombinasjon av bosted/arbeidssted, hvor nytten for hver person i kan utledes $U_{ij} = - \beta d_{ij} + \epsilon_{ij}$. Hvordan kan modellen utledes som en logisk konsekvens av denne setningen?

Anta at reisefrekvensen er en funksjon av pendleavstanden, og estimeres ved regresjon der nyelogverdier brukes som avhengig variabel, og nyedistanser benyttes som uavhengig variabel. Hvordan vil du vurdere den resulterende modellen dersom histogrammet over residualene viser betydelig skjevhet, og normalitet er en sterk antagelse?

Anta at $T_{ij} = A_i B_j e^{-\beta d_{ij} + \epsilon_{ij}}$, der $A_i$ og $B_j$ er konstanter. Forklar hvorfor en direkte OLS regresjon med $T_{ij}$ som den avhengige variabelen, fører til logistiske avledningsproblemer. Hvilket rammeverk kan man modellere dette innenfor?

Vis at selv om det ikke er spesifisert eksplisitt i oppgavesettet, kan parameteren $\beta$ i Oppgave 4 tolkes direkte som representerende "villigheten til å betale" for å redusere reiseavstanden.

Under hvilke spesifikke forhold vil bruken av vanlige minste kvadrater (OLS) i stedet for generaliserte minste kvadrater (GLS) i konteksten av modell 4 føre til konsistente, men ineffektive estimatorer, men de rapporterte standardfeilene vil være upålitelige?