أساسيات في الرياضيات

• يبدو رمز الزاوية مشابها لرمز أقل من.
• متباينة ضلع - زاوية: إذا كان أحد أضلاع مثلث أطول من ضلع آخر، فإن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول يكون أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأصغر.
• متباينة زاوية - ضلع: إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث أكبر من قياس زاوية أخرى فإن الضلع المقابل للزاوية الكبرى يكون أطول من الضلع المقابل للزاوية الصغرى.
• التبرير المباشر: تبدأ بمعطيات صحيحة وتثبت أن النتيجة صحيحة، وتعتبر هذه الطريقة من طرق البرهان المباشر.
• التبرير غير المباشر: تفترض أن النتيجة خاطئة ثم تبين أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع المعطيات أو أي حقيقة سابقة كتعريف أو مسلمة أو نظرية, وتكون جميع خطوات البرهان صحيحة منطقيًا لإثبات خطا الافتراض, ويسمى كذلك برهان غير مباشر أو برهان بالتناقض.
• التناقض: مبدأ المنطق ينص على أنه لا يمكن تحقق الافتراض ونفيه في آن واحد.
• تستعمل البراهين غير المباشرة عادة لإثبات مفاهيم في نظرية الأعداد.
• من المفيد في البراهين غير المباشرة: تذكر أنه يمكنك تمثيل العدد الزوجي على صورة 2k والعدد الفردي على صورة 2k+1، حيث k عدد صحيح.
• نظرية الأعداد: فرع من فروع الرياضيات تختص بدراسة الأعداد وخصائص العمليات عليها وتصنيفها إلى زوجي فردي أولي غير أولي.
• يمكن أن يستعمل التبرير غير المباشر لإثبات صحة عبارات في الهندسة مثل نظرية متباينة الزاوية الخارجية.
• البرهان بالتناقض مقابل المثال المضاد: البرهان بالتناقض وإعطاء مثال مضاد أمران مختلفان.
• يستعمل المثال المضاد لإثبات خطأ تخمين أو افتراض, ولا يمكن استعماله لإثبات صحة التخمين أو الافتراض.
• تذكر أن التناقض في البرهان غير المباشر لا يكون دائما مع المعطيات أو الفرض الذي تبدأ به بل يمكن أن يكون مع حقيقة معلومة أو تعريف.
• من الأمثلة على التناقض مع حقيقة معلومة: قياس أي زاوية في مثلث يجب أن يكون أكبر من 0.
• مجموعة الاعداد الصحيحة تبدأ من السالب إلى الموجب وتمر بالصفر
• نظرية متباينة المثلث: مجموع طولي أي ضلعينِ في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
• بما أن المثلث يتكون من ثلاث قطع مستقيمة فيجب أن تتوافر علاقة خاصة بين أطوال هذه القطع.
• إذا كان مجموع أقصر طولينِ أكبر من طول الضلع الثالث فإن الأطوال الثلاثة تمثل أطوال أضلاع مثلث.
• إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعينِ مناظرين في مثلث آخر وكان قياس الزاوية المحصورة في المثلث الأول أكبر من قياس الزاوية المحصورة في المثلث الثاني فإن الضلع الثالث في المثلث الأول يكون أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني.
• إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين مناظرين في مثلث آخر وكان الضلع الثالث في المثلث الأول أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني فإن قياس الزاوية المحصورة في المثلث الأول يكون أكبر من قياس الزاوية المحصورة في المثلث الثاني.
• SAS عكس متباينة تسمى SSS.
• تعريف متباينة "SAS" باسم متباينة الرافعة.
• استعمل "SAS" لإثبات أن الزاوية المحصورة في مثلث أكبر من الزاوية المحصورة في مثلث آخر عكس متباينة.
• عند إيجاد مدى القيم الممكنة للمتغير x تحتاج إلى استعمال أحد الحقائق الآتية:
  • قياس أي زاوية في المثلث يكون أكبر من 0 وأقل من 180 دائمًا.
  • طول أي قطعة مستقيمة يكون أكبر من 0 دائمًا.

الوحدة الثالثة: زوايا المضلع

• قطر المضلع: قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متتالين فيه.
• مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي مجموع قياسات زوايا المثلثات التي تتشكل عند رسم جميع الأقطار الممكنة من أحد الرؤوس.
• المضلع هو شكل مغلق يتكون من ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر تلتقي كل قطعة بطرفي قطعتين أخريين من المضلع, ولا تقع أي نقطتين منها على استقامة واحدة وتكون رؤوس المضلع هي أطراف القطع المستقيمة فيهه.
• الزاوية الداخلية هي الزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين في مضلع وتقع داخله.
• نظرية لمجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب يساوي:‎ 180 ضرب عدد الاضلاع ناقص 2.
• يمكنك استعمال نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مُحدب لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع والقياسات المجهولة لزواياه.
• المضلع المحدب: مضلع يكون قياس أي من زواياه الداخلية أقل من 180 ولا يقطع امتداد أي ضلع فيه أي ضلع آخر من أضلاع المضلع
• لتذكر أن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة ويمكنك استخدام هذه الحقيقة ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد قياس الزاوية الداخلية لأي مضلع منتظم.
• المضلع المنتظم هو مُضلع محدب جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه متطابقة.
• الزوايا الخارجية: الزاوية الخارجية لمضلع مُحدب هي زاوية محصورة بين أحد أضلاعه وامتداد ضلع آخر.
• مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع 360 درجة
• مجموع قياسات الزوايا الخارجية بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي 360 درجة
• طريقة بديلة لإيجاد قياس زاوية خارجية لمضلع مُنتظم يمكنك إيجاد قياس زاوية داخلية وطرح هذا القياس من 180 لأن الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المرتبطة بها متكاملتان.
• أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع: مهندس وعالم بالحساب وعُرف باسم أبي كامل الحاسب وله رسالة في المضلع ذي الزوايا الخمس وذي الزوايا العشر.

متوازي الأضلاع

• شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين.
• كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان, كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابقتان, كل زاويتين متحالفتين في متوازي الأضلاع متكاملتان, إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة فإن زواياه الأربع قوائم.
• تكتب النظريات بمصطلحات عامة, أما في البرهان فيجب رسم شكل بحيث يمكن من خلاله الإشارة إلى القطع المستقيمة والزوايا بصورة دقيقة.
• قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.
• قطرا متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين.
• يمكنك استعمال معلومة ( قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر) لتحديد إحداثيات نقطة تقاطع قطري متوازي أضلاع في المستوى الإحداثي إذا عُلمت إحداثيات رؤوسه

تمييز متوازي الأضلاع

• إذا كان كل ضلعين متقابلين متوازيين فإنه متوازي أضلاع بحسب التعريف ولكن ليس هذا هو الشرط الوحيد.
• في الشكل الرباعي إذا كان كل ضلعين متقابلين متطابقين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
• إذا كانت كل زاويتين متقابلتين متطابقتين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع
• إذا كان قطرا شكل رباعي ينصف كل منهما الآخر فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
• إذا كان فيه ضلعان متقابلان متوازيين ومتطابقين فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
• يمكنك استعمال الجبر مع شروط متوازي الأضلاع لإيجاد القيم المجهولة التي تجعل شكلًا رباعيًا متوازي أضلاع.
• صيغة نقطة المنتصف: لبيان أن شكلا رباعيا يمثل متوازي أضلاع يمكنك استعمال صيغة نقطة المنتصف فإذا كانت نقطتا المنتصف للقطرين متساويتين فإن القطرين يُنصف كل منهما الآخر.
• متوازي الأضلاع في المستوى الإحداثي: يمكننا استعمال صيغ المسافة بين نقطتين والميل ونقطة المنتصف لتحديد إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع أم لا
• البرهان الإحداثي هو برهان مستعمل فيه أشكال في المستوى الإحداثي والجبر لإثبات مفاهيم هندسية.
• يمكن التعبير عن إحداثيات رؤوس المثلثات بمتغيرات.
• رينيه ديكارت: عالم رياضي فرنسي وهو أول من استعمل المستوى الإحداثي وقيل إنه فكر أولًا بربط كل موقع في مستوى مع زوج من الأعداد.

المستطيل

• متوازي أضلاع زواياه الأربع قوائم
• الزوايا الأربع قوائم, كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان, كل زاويتين متقابلتين متطابقتان, كل زاويتين متحالفتين متكاملتان, القطران ينصف كل مهما الآخر
• إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلا فإن قطريه متطابقتان
• إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة فإن زواياه الأربع قوائم
• إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فإن كل زاويتين متبادلتين داخليًا متطابقتان, وينطبق هذا على الزاويتين المتبادلتين بالنسبة لقُطر متوازي الأضلاع
• إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقتين فإنه مستطيل
• كل مستطيل متوازي أضلاع مستطيلا

المعين والمربع

• المعين: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة.
• للمعين جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• إذا كان متوازي أضلاع معينا فإن قطريه متعامدان
• إذا كان متوازي أضلاع مُعينا فإن كل قطر فيه يُنصف كلا من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما
• المربع هو مُتوازي أضلاع جميع أضلاعه مُتطابقة وجميع زواياه قوائم وتذكر أن مُتوازي الأضلاع الذي زواياه الأربع قوائم يكون مُستطيلًا ومُتوازي الأضلاع الذي أضلاعه الأربعة مُتطابقة يكون مُعينا
• المربع, كُل مربع مُعين, ولكن ليس كُل مُعين مُربعًا وكُل مربع مُستطيل وليس كُل مُستطيل مُربعًا
• جميع خصائص مُتوازي الأضلاع والمُستطيل والمُعين تنطبق على المربع فمثلًا قُطرا المربع يٌنصف كُل منهما الآخر (متوازي أضلاع) وهما مُتطابقان (مُستطيل) ومٌتعامدان (مُعين)
• الشروط الكافية للمعين والمربع: إذا كان قطرا مُتوازي أضلاع مُتعامدين فإنه مُعين, إذا نُصف قٌطر مُتوازي أضلاع كُلًا من الزاويتين اللتين يصِل بين رأسيهما فإن متوازي الأضلاع يكون مُعينًا, وإذا كان ضلعان مُتتاليين في مُتوازي الأضلاع مُتطابقين فإنه مُعين, إذا كان الشكل الرباعي مُستطيلًا ومٌعينًا فإنه مربع
• المثلثات المُتطابقة بما أن للمُعين أربعة أضلاع مُتطابقة فإن كُلًا مِن قُطريه يُقسمه إلى مثلثين مُتطابقي الضلعينِ ومُتطابقين وإذا رسم القطران فإنهما يُقسمات المُعين إلى أربعة مثلثات قائمة ومُتطابقة
• تمثيل الشكل بيانيًا: عند تحليل شكل رُباعي باستعمال الهندسة الإحداثية لمساعدتك في وضع تخمين

شبه المُنحرف وشكل الطائرة الورقية

• شبه المُنحرف: هو شكل رٌباعي فيه ضلعان فقط مُتوازيان يُسميان قاعدتي شبه المٌنحرف.
• يُسمى الضلعان غير المُتوازيين ساقي شبه المٌنحرف.
• زوايا القاعدة: مُكون كُل منهما من قاعدة وأحد ضلعي الساقين
• إذا كان ساقا شبه المُنحرف مُتطابقينِ فإنه يُسمى شبه مُنحرف مُتطابق الساقين

نظريات شبه المُنحرف المُتطابق الساقين

• إذا كان شبه المُنحرف مُتطابق الساقين فإن زاويتي كُل قاعدة مُتطابقتان
• إذا كانت زاويتا قاعدة في شبه المُنحرف مُتطابقتين فإنه مُتطابق الساقين
• يكون شبه المُنحرف مُتطابق الساقين إذا وفقط إذا كان قُطراه مُتطابقين
• شبه المُنحرف المُتطابق الساقين: تكون زاويتا كُل قاعدة في شبه المُنحرف مُتطابقتين فقط إذا كان شبه المٌنحَرف مُتطابق الساقين
• رمز التوازي "||" يعني يُوازي والرمز "|/" يعني لا يوازي
• تٌسمى القطعة المُتوسطة لشبه المُنحرف أيضًا القطعة المُنصف
• القطعة المُتوسط لشبه المٌنحرف: هي قطعة مُستقيمة تصل بين مُنتصفي ساقيه
• القطعة المُتوسطة لشبه المٌنحرف تُوازي كُلًا مِن القاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين
• شكل الطائرة الورقية هو شكل رٌباعي يّتكون مِن زوجين مُتمايزين من الأضلاع المُتجاورة المُتطابقة
• قطرا شكل الطائرة الورقية مُتعامدان
• يوجد في شكل الطائرة الورقية زوج واحد فقط من الزوايا المُتقابلة المُتطابقة هما الزاويتان المحصورتان بين كُل ضلعين غير مُتجاورين غير مُتطابقين.

هذه الوحدة تغطي أساسيات الهندسة والرياضيات، بما في ذلك الزوايا والمثلثات. تشمل الزوايا الحادة والقائمة والمنفرجة، بالإضافة إلى أنواع المثلثات مثل متطابق الأضلاع والضلعين والمختلف الأضلاع. كما تتناول نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث والبرهان التسلسلي.