Appunti di Analisi Matematica I

Il coefficiente binomiale rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi, senza considerare l'ordine.

Il triangolo di Tartaglia fornisce un metodo visivo per calcolare i coefficienti binomiali. Ogni numero nel triangolo è la somma dei due numeri sopra di esso.

La produttoria è un'operazione che moltiplica una sequenza di numeri, simile alla sommatoria che somma i numeri.

I numeri naturali sono i numeri interi positivi, compresi lo zero. Sono un concetto primitivo in matematica e possono essere rappresentati come una progressione geometrica con ragione 1.

Il principio di induzione matematica è un metodo dimostrativo che utilizza una base e un passo induttivo per dimostrare che un'affermazione è vera per tutti i numeri naturali.

Se una successione an converge a un limite l e tutti i termini della successione sono maggiori o uguali a zero (an ≥ 0), allora il limite l è maggiore o uguale a zero (l ≥ 0).

Se una successione an converge a un limite l e tutti i termini della successione sono minori o uguali a zero (an ≤ 0), allora il limite l è minore o uguale a zero (l ≤ 0).

Due successioni an e bn si dicono asintotiche se il limite del loro rapporto, quando n tende all'infinito, è uguale a 1. In altre parole, le due successioni si comportano in modo simile per valori molto grandi di n.

Se il limite del rapporto tra due successioni an e bn è uguale a 0, la successione an è di ordine inferiore rispetto a bn. Se il limite è infinito, an è di ordine superiore rispetto a bn. Se il limite è diverso da 0 e da infinito, le due successioni hanno lo stesso ordine.

Se il limite del rapporto tra due successioni infinitesime an e bn è uguale a 0, la successione an è di ordine superiore rispetto a bn. Se il limite è infinito, an è di ordine inferiore rispetto a bn. Se il limite è diverso da 0 e da infinito, le due successioni hanno lo stesso ordine.

Se esiste il limite del rapporto tra il termine n-esimo e il termine (n+1)-esimo di una successione an positiva e il limite è minore di 1, la successione converge a 0. Se il limite è maggiore di 1, la successione diverge a infinito. Se il limite è uguale a 1, il test non fornisce informazioni sul comportamento della successione.

Una successione si dice infinitesima se il suo limite, quando n tende all'infinito, è uguale a 0.

Una successione si dice infinita se il suo limite, quando n tende all'infinito, è uguale a infinito.

Due funzioni $f$ e $g$ sono asintotiche per $x \rightarrow x_0$ se il limite del rapporto tra le due funzioni per $x \rightarrow x_0$ è uguale a 1.

Una funzione $f(x)$ è asintotica a una retta $g(x) = mx$ per $x \rightarrow \pm \infty$ se il limite di $f(x)/x$ per $x \rightarrow \pm \infty$ è finito e diverso da zero.

Se il limite di una funzione $f(x)$ per $x \rightarrow x_0$ è infinito, la retta $x = x_0$ è un asintoto verticale per $f(x)$.

Se il limite di una funzione $f(x)$ per $x \rightarrow \pm \infty$ è finito, la retta $y = l$ è un asintoto orizzontale per $f(x)$.

Una funzione $f(x)$ è continua in un punto $x_0$ se il limite di $f(x)$ per $x \rightarrow x_0$ esiste ed è uguale a $f(x_0)$.

Un punto di discontinuità eliminabile è un punto in cui il limite di una funzione esiste ed è finito, ma il valore della funzione nel punto è diverso dal limite.

Un punto di discontinuità di salto è un punto in cui il limite destro e il limite sinistro della funzione non sono uguali.

Un punto di discontinuità di III specie è un punto in cui il limite della funzione non esiste o non è finito.

Una funzione f è infinitesima per x che tende a x0 se il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale a 0. In sostanza, la funzione si avvicina sempre più a zero man mano che x si avvicina a x0.

Una funzione f è infinita per x che tende a x0 se il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale a +∞ o -∞. In sostanza, la funzione cresce o decresce senza limite man mano che x si avvicina a x0.

Se f e g sono infinitesime per x che tende a x0 e g(x) è diversa da 0 in un intorno di x0, e il limite del rapporto f(x)/g(x) per x che tende a x0 è uguale a 0, f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g. In altre parole, f si avvicina a zero più velocemente di g.

Se f e g sono infinitesime per x che tende a x0 e g(x) è diversa da 0 in un intorno di x0, e il limite del rapporto f(x)/g(x) per x che tende a x0 è uguale a ±∞, f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g. In altre parole, f si avvicina a zero più lentamente di g.

Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g, possiamo scrivere f(x) = o(g(x)). Questo significa che f è 'piccola' rispetto a g in un intorno di x0.

Se f e g sono infinitesime (o infinite) per x che tende a x0 e g(x) è diversa da 0 in un intorno di x0, e il limite del rapporto f(x)/g(x)α per x che tende a x0 è uguale a un numero finito l, allora f è di ordine α rispetto a g. In altre parole, f cresce o decresce allo stesso modo di g elevata alla potenza α.

Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g, possiamo scrivere f(x) = o(g(x)). Questo significa che f è 'piccola' rispetto a g in un intorno di x0.

Se f, g e h sono infinitesime per x che tende a x0 e g(x) è diversa da 0 in un intorno di x0, se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g e se g è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a h, allora f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a h. In altre parole, la relazione di ordine superiore è transitiva.

Se una funzione f è continua in [a, b] e derivabile in (a, b), e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto x0 nell'intervallo aperto (a, b) in cui la derivata della funzione è zero (f'(x0) = 0).

Se una funzione f è continua in [a, b] e derivabile in (a, b), allora esiste almeno un punto x0 nell'intervallo aperto (a, b) in cui la derivata della funzione è uguale al rapporto incrementale della funzione tra a e b, ovvero f'(x0) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Se la derivata di una funzione è maggiore o uguale a zero in un intervallo, la funzione è crescente in quell'intervallo. Se la derivata è minore o uguale a zero in un intervallo, la funzione è decrescente in quell'intervallo.

Se la derivata prima di una funzione è positiva in un punto, la funzione è crescente in quel punto. Se la derivata prima è negativa, la funzione è decrescente. Se la derivata è zero, la funzione ha un punto stazionario (massimo, minimo o flesso).

Un teorema matematico che stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Se una funzione f è continua su un intervallo I e assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b), allora l'immagine di I mediante f è un intervallo.

Se una funzione continua f è anche iniettiva su un intervallo I, allora f è strettamente monotona su I.

Se una funzione f è continua e iniettiva su un intervallo I, allora la sua funzione inversa f⁻¹ è continua su f(I).

Un teorema che afferma che una funzione continua f su un intervallo chiuso e limitato [a, b] raggiunge un massimo e un minimo in quel intervallo.

Un teorema che afferma che se una funzione continua g(x) su un intervallo [a, b] assume valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c in (a, b) tale che g(c) = 0.

Un punto x0 si dice punto di accumulazione per un insieme A se ogni intorno di x0 contiene almeno un punto di A diverso da x0.

Se una funzione f(x) tende a un valore finito L quando x tende a un punto x0, allora si dice che f(x) è continua in x0.